Разработка урока Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии.
9 класс.
Урок – лекция. (Метод укрупненной математической единицы).
Цель: ввести понятие арифметической и геометрической прогрессий, рассмотреть свойства прогрессий, формулы суммы, познакомить с характеристическим свойством прогрессий, доказать формулы n- го члена методом математической индукции.
ХОД УРОКА.
ПРОГРЕССИИ.
Арифметическая Геометрическая
÷ а1; а2; а3;…; аn-1; аn .... b1; b2; b3;…; bn-1; bnОпределение.
Арифметической Геометрической
прогрессией называется числовую последовательность, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему
сложенному с одним умноженному на одно
и тем же числом. и тоже число.(≠ 0)
an+1 = an + d bn+1 = bnqd = an+1 - an q =bn+1bn
d наз. разностью q наз. знаменателем
прогрессии прогрессии
Если d > 0,то прогрессия Если b1> 0, q >1 то прогрессия
является возрастающей является возрастающей
последовательностью, и последовательностью, и
убывающей, если d < 0. убывающей, если b1> 0,
0<q<1.Свойства.
Формула n- го члена.
an = а1 + d( n – 1) bn = b1q n – 1 , q≠0, b≠0.Характеристическое свойство.
Каждый член, начиная со второго равен
среднему арифметическому среднему геометрическому
соседних с ним членов:
an = an-1 + an+12 |bn| =bn-1 *bn+1
(обратить внимание на название прогрессии и на выделенные слова этого свойcтва).
bn2 = bn-1bn+1,
bn – любые числа.
2; - 6; 18
-6=2*18 (-6)2 = 2*18
Формулы суммы.
Sn = a1 + an2 n Sn = bnq- b1q-1Sn = 2a1+d(n-1)2 n Sn =b1 (qn - 1)q-1 , q≠1
Sб/уб.=b11-q , q < 1
4) a1 +an = a3 + an-2
Сумма членов, равноотстоящих
от концов прогрессии, равна сумме
крайних членов. (Это свойство в
учебнике не выделено, но оно
применяется для доказательства
формулы суммы n членов, поэтому
это свойство надо доказать отдельно
перед формулой Sn).
Доказательство указанных формул можно дать также для обеих прогрессий одновременно.
Замечание: при доказательстве формулы n – го члена прогрессии используется метод математической индукции. Но в учебном пособии он не называется. Полезно дать метод математической индукции.
Метод математической индукции.
Проверить. Верно ли данное высказывание при n = 0, 1, 2, ….
(Верность равенства может начинаться не с 0, и не с 1, а с 2…).
Предположить, что данное высказывание верно для n = k.
Доказать, утверждение верно при n = k+1.
(При этом используется математические утверждения и то, что оно верно при n = k).
По аксиоме индукции, если утверждение верно при n = k+1, то по доказанному оно будет верно и для n = k+2, то есть для любого n.
Докажем методом математической индукции 1- е свойство.
an = а1 + d( n – 1) bn = b1q n – 1
Доказательство.
1). Проверим, верно ли данное высказывание при n = 1, 2
a1 = а1 + d( 1 – 1) – верно. b1 = b1q 1 – 1 – верно.
а2 = а1 + d( 2 – 1)= а1+d –верно b2 = b1q 2 – 1=b1q – верно
(по опред.) (по опред.)

2). Предположим, что данное высказывание верно при n = k, т.е.
ак= а1 + d( к– 1) – верно. bк = b1q к – 1 – верно.

3). Докажем, что утверждение верно при n = k+1, т. е.

ак+1= а1 + кd – ? bк+1 = b1q к – ?
ак+1= ак + d (по опред.), но bк+1 = bкq (по опред.), но
ак= а1 + d( к– 1), то bк = b1q к – 1, то
ак+ 1= а1 + d( к– 1) + d = bк+1 = b1q к – 1q= b1q к
= а1 + кd ( исп-ся вынесение
общего множит. за скобки)
4). По аксиоме индукции, если an ( bn) верно при n = k+1, то оно будет верно и для любого n.
Итог урока.
Домашнее задание: доказать 4 – е свойство арифметической прогрессии.