Открытый урок по алгебре в 9 классе по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
МБОУ Целинная СОШ
Открытый урок по алгебре
в 9 классе по теме
«Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Подготовила и провела
учитель математики
квалификационной категории
Ильина В. П.
п. Целинный март 2014г.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Цели урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения комбинированных задач; развитие познавательного интереса к математике.
Задачи:
Образовательные:
совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул арифметической и геометрической прогрессий;
применять свои знания в практических ситуациях;
расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач;
Развивающие:
развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;
Воспитательные:
воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; воспитывать чувство прекрасного;
формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;
Тип урока: отработка умений и навыков, применение знаний при решении комбинированных задач.
Ход урока:
Эпиграф урока.
Закончился XX век.Куда стремится человек?Изучены космос и море,Строенье звёзд и вся Земля.Но математиков зовётИзвестный лозунг:
“Прогрессио – движение вперёд”.
Сообщение темы и целей урока.
Как вы думаете, о чём пойдёт речь на нашем уроке? (ответ ребят)
Конечно о прогрессиях. Сегодня мы её встретим не только в стандартных задачах, но и в комбинированных нестандартных , а также и в логической задачах. Сегодня мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, а также вспомнить, насколько математика может быть занимательной. Нам предстоит поработать и с формулами, посадить “волшебное дерево” и услышать исторические факты, решить задачу и написать тест.
II. Работа с формулами.
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.
Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.
Восприятие речи на слух. Проговариваю название формулы один раз, а учащиеся пишут номер формулы (двое у доски, остальные под копирку на листочках, повернувшись так, чтобы работать спиной к доске).
Вопросы к формулам
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии.
Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.
Сумма n-первых членов геометрической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
Свойство членов арифметической прогрессии.
Свойство членов геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии.
Формулы.
1. an = a1 + ( n-1)d
2. bn = b1• qn-1
3. Sn.
4. Sn =
5. S =.
6. an = .
7. bn=
8. d = an + 1 – an.
9. q =
Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняем проверку по коду.
Получили 9-значное число 513 426 798.
Это КОД ОТВЕТА.
III. Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися.
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в “Книге абака” (1202 г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке “Наука о числах”, увидевшей свет в 1484 году.
IV. Устная работа.
На доске алфавит и зашифрованное имя учёного.
а б в г д е ё ж 3 и й
к л м н о п Р с т
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
У Ф X ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Выполнив задания, узнаем имя учёного, о котором затем прослушаем сообщение и решим задание, опираясь на доказанную им теорему.
l.a3=8, a5=26, а4=?
2. а1=5, d=5, S5=?
3. b6=144, b5=24, q=?
4. b1=2, b2=5, b3 =?
5. b4=4, b9=21, b8=?
6. b3= 16, b4=96, q=?
7. a3=9, a2=6, S3=?
8. a10=21, a11=35, d=?
9. (bn): 7; 7; 7;... q=?Закодированное имя-Пьер Ферма.
V. Сообщение об учёном.
Пьер Ферма.
Пьер Ферма (1601-1665) - крупнейший французский ученый семнадцатого века. По происхождению сын мелкого торговца. В молодости получил юридическое образование и стал адвокатом. В Тулузе, где он занимался адвокатурой, стал советником парламента и в этой должности, не отмеченной никакими особыми событиями, он и провел свою жизнь. Математикой занимался исключительно из любви к ней. Именно в математических исследованиях он находил для себя настоящий отдых. Эти математические занятия и привели его к крупнейшим открытиям почти во всех областях математических наук. Ферма вел обширную переписку с крупнейшими учеными того времени, в которой давал глубокий анализ и критику существующих математических теорий и сообщал свои исследования и задачи. Ферма много сделал по части обоснования и дальнейшего развития высшей математики (дифференциального исчисления и аналитической геометрии). Его именем названы несколько теорем современной арифметики (теории чисел). Одна из них, называемая «великой теоремой Ферма», гласит: «Уравнение хn + уn = zn неразрешимо в целых числах ни при каких натуральных значениях п >-3».
Эта теорема, несмотря на простоту ее формулировки, до сих пор еще полностью не разрешена.
Задача Ферма.
Показать, что если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии -
al,a2,a3,..., то —
Решение.
V. Решение задач.1) Посмотрим, как можно использовать задачу Ферма на уроках
алгебры.
Задача. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 7,
первый член этой прогрессии равен 2. Найти второй член этой
прогрессии.
4406265157480Решение. Используем утверждение задачи Ферма:
57778651892304038600285751828800285750104775
2) Работа по карточкам у доски (3 человека решают, .VI. Практическая часть урока.
“Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь, подражая избранным образцам и постоянно тренируясь”,– говорил Д.Пойа.
1.Задача. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.
Дано: а1+а2 +а3=27 –сумма трёх членов арифметической прогрессии; а1-1;
а2 -3; а3+3– геометрическая прогрессия
Найти: а1; а2; а3.
Решение.
d2 +4d-60=0,
d1=6, d2=-10.
Если d1=6, то ; .
Если d2=-10, то ; .
Ответ: если арифметическая прогрессия 3; 9; 15, то геометрическая прогрессия 2; 6; 18.
Если арифметическая прогрессия 19; 9; -1, то геометрическая прогрессия 18; 6; 2.
5. Логическая задача.
Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно “достанет” до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8м?
Решение: через 33 дня. Один день – 2м. Два дня – 4м. Три дня – 8м. 36-3=33 дня.
VII. Индивидуальная работа.
В этом году вы сдаёте экзамен по алгебре в форме тестов ГИА . Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме “Прогрессии”. (Текст теста по вариантам).
Решается тест в тетради, записывается в тетради номер ответа, тесты сдаются и выполняется проверка по коду. Ученики на выбор решают 1-2 задания, самостоятельно выбрав для себя уровень сложности.
«3» - задания 1, 2, 4, 6, 7. «4» - задания 3, 5, 9.
«5» - задания 8, 10, 3.
Тест - 4 А -9
Вариант 1.
1.В арифметической прогрессии a5 = 8,7 и a8 =12,3.Найдите d и a1
a)d=l,6 и a1 = 2,3; б) d=3,6 и a1=-5,7; в) d=l,2 и a1=3,9; r)d=l,4 и a1=3,l.
2. В арифметической прогрессии a1=-5,6 и а2=-4,8. На каком месте(укажите номер) находится число 16?
а)n=14; б)n=13; в) n=27; г) n=28.
3. В арифметической прогрессии a1=29,2 и а2=27,9. На каком месте(укажите номер) стоит первое отрицательное число? Найдите это число.
а) -1,1; б) -0,9; в) -0,7; г) -0,3.
4. Найдите сумму первых восемнадцати членов арифметическойпрогрессии, заданной формулой аn=4n+9.
а) 732; б) 846; в) 768; г) 934.
5. В геометрической прогрессии ,. Найдите знаменатель
3495675390525q. а) 2; б) ; в) или ; г) .
296227519050
6. В геометрической прогрессии a1=, 0, a2=. Найдите пятый член этойпрогрессии.
а)
7. В геометрической прогрессии . Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.
а) -9,3; б) 6,3; в) 3,2; г) -18,9.
8. Найдите первый член арифметической прогрессии, если a1+a6=26 иа2+а3=18. а) 3; б) 2; в) 4; г) 1,5.
9. Для периодической дроби 0,58(3) найдите несократимуюобыкновенную дробь. Запишите разность числителя и знаменателя.
а) 3; б) 7; в) 5; г) 2.
10. Дано: (bn) -геометрическая прогрессия, b1=2, q=3. Какой цифройоканчивается b15?
а) 6; б) 8; в) 4; г) 2.
1200150
VIII. Подведение итогов.
Итак, сегодня мы в нестандартных комбинированных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, , поработали с формулами, встретились с занимательной математикой и посадили “волшебное дерево” при решении занимательной логической задачи, услышали исторические факты, решили задачу и написали тест.
Какой материал повторили?Что узнали нового?
Урок сегодня завершён,Но каждый должен знать:Познание, упорство, трудК прогрессу в жизни приведут.
IX. Выставление оценок.
За работу с формулами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке.
X. Домашнее задание .1.составить 3 комбинированных задачи по теме “Прогрессии” и их решения оформить на альбомном листе.
2. Повторить формулы по теме «Прогрессии», подготовиться к контрольной работе.
Формулы.
1. an = a1 + ( n-1)d
2. bn = b1• qn-1
3. Sn.
4. Sn =
5. S =.
6. an = .
7. bn=
8. d = an + 1 – an.
9. q =
Задания:
l.a3=8, a5=26, а4=?
2. а1=5, d=5, S5=?
3. b6=144, b5=24, q=?
4. b1=2, b2=5, b3 =?
5. b4=4, b9=21, b8=?
6. b3= 16, b4=96, q=?
7. a3=9, a2=6, S3=?
8. a10=21, a11=35, d=?
9. (bn): 7; 7; 7;... q=?