Решение задач арифметическая и геометрическая прогрессии
Класс 9 «Б»
Урок 48.
Дата:28.12
Тема: Решение задач.
Цели урока:
1. Образовательная:
Повторить и обобщить знания учащихся по теме « Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Познакомить учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;
Формирование начального представления о пределе числовой последовательности;
Знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической
Тип урока: Урок изучения нового материала. Урок изучения нового материала, повторения и обобщения полученных знаний по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия" 2 часа
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие. Отсутствующие. Запись темы урока. Сообщение целей и задач урока: обобщение изученного по теме «Прогрессии»; подготовка к контрольной работе; прослушаем сообщение об одном из учёных-математиков. Имя этого учёного узнаем, разгадав шифровку.
2. Устная работа.
На доске алфавит и зашифрованное имя учёного.
а
б
в
г
д
е
ё
ж
3
и
w
И
к
л
м
н
о
п
Р
с
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
У
Ф
X
ц
ч
ш
щ
ъ
ы
ь
э
ю
я
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Выполнив задания, узнаем имя учёного, о котором затем прослушаем сообщение и решим задание, опираясь на доказанную им теорему.
l.a3=8, a5=26, а4=?
2. а1=5, d=5, S5=?
3. b6=144, b5=24, q=?
4. b1=2, b2=5, b3 =?
5. b4=4, b9=21, b8=?
6. b3= 16, b4=96, q=?
7. a3=9, a2=6, S3=?
8. a10=21, a11=35, d=?
9. (bn): 7; 7; 7;... q=? Закодированное имя-Пьер Ферма.
2. Сообщение об учёном.
3. Проверка домашнего задания.
1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.
2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант .
Математический диктант
Задания:
№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).
№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).
№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).
По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям на экране.
Решения:
Фронтальная работа.
Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача №1.
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
а)
Решение:
а) (фронтальная работа, запись на доске)
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) (самостоятельно)
данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
6. Продолжить работу с презентацией.
3)
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .
Если n неограниченно возрастает, то
4) Слайд №5.
Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n . Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.
Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.
Решение:
Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение:
Задача №4.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если
Решение:
Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.
Задача №5. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.
1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555 /10 2-й способ. 0,(5)=0,555=
Задача №6. (самостоятельное решение)
Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 0,(12)= 4/33.
Подведение итогов.
С какой последовательностью сегодня познакомились?
Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Самостоятельная работа. ( выполняется в рабочих тетрадях ,по окончании работы записи решений сдаются на проверку)
Задания
Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15?
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;
Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.
Самопроверка
Домашнее задание. №241