Урок алгебры и начал математического анализа, 11 класс Тема : «Наибольшее и наименьшее значения функции»

Урок алгебры и начал математического анализа, 11 класс
Тема : «Наибольшее и наименьшее значения функции»
Цели урока: установить межпредметные связи математика – физика, научиться применять производную при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, решать задачи на наибольшее и наименьшее; развивать логическое мышление учащихся, интерес к математике.
Оборудование: карточки для самостоятельной работы, карточки с условиями задач.
Тип урока: интегрированный урок изучения новых знаний.
. . Ход урока
Проверка домашнего задания путем проведения самостоятельной работы.( 10мин.)
Вариант 1.
Записать алгоритм исследования функции на монотонность.
у = х3 – 3х2 а) найти промежутки возрастания и убывания функции; б) найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
Вариант 2.
Записать алгоритм исследования функции на экстремумы.
у = х4 – 8х2 +3 а) найти промежутки возрастания функции; б) найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
Вариант 1. 1.1. Найти производную функции. 1.2. Решить неравенства fʹ(x}>0 и fʹ(x)<0. 1.3.Записать найденные промежутки 2. уʹ = 3х2 -6х = 3х(х – 2). Стационарные точки х = 0 и х = 2. уʹ >0 при хϵ ( - ∞ ; 0) ∪ ( 2; +∞ ); уʹ<0 при хϵ( 0;2). х = 0 точка максимума, у(0) = 0. х = 2 – точка минимума, у(2) = -4. Ответ: функция у = х3 – 3х2 возрастает при х ϵ( ∞;0) ∪ (2;+∞), убывает при хϵ(0;2).
Вариант 2. 1.1. Найти производную функции. 1.2. Найти стационарные точки. 1.3. С помощью метода интервалов определить знак производной на каждом промежутке. 1.4. Определить точки максимума и минимума. 1.5. Найти значения функции в этих точках. 2. у = 4х3 – 16х = 4х( х 2 – 4) = 4х( х-2)(х+2). Стационарные точки х = 0; х = -2; х = 2. уʹ>0 при хϵ(-2;0)∪(2; +∞); уʹ<0 при хϵ( -∞;-2)∪(0;2). х = -2 и х = 2 – точки минимума; у(-2)=у(2) =-13; х = 0 – точка максимума, у(0) =3. Ответ: функция у х4 – 8х2 +3 взрастает при хϵ(-2; 0) ∪ (2;+∞), убывает при хϵ( -∞; -2) ∪ ( 0;2).
2.Актуализация опорных знаний учащихся.
Назовите алгоритмы нахождения промежутков возрастания и убывания, точек экстремума.
3.Изучение нового материала
На практике часто приходится решать задачи . в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех тех значений, которые функция принимает на отрезке.
Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет несколько критических точек на этом отрезке.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b] нужно: 1) найти значения функции на концах отрезка, т.е. f(a) и f(b); 2) найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b); 3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х3 + 3х2 – 36х на отрезке [-4;3] ( №937)- решает учитель
у(-4) = 2 (-4)3+ 3(-4)2 – 36(-4) = -128+ 48+144 = 64; у(3) = 2*33+3*32-36*3 = 54+27-108 = -27. Находим критические точки уʹ=6х2+6х-36; 6х2+6х-36 = 0; х2+х-6 = 0; х1=-3; х2=2. Эти точки принадлежат данному отрезку. у(-3) = 2(-3)3 +3(-3)2-36(-3) = -54+27+108 = 81; у(2) = 2*23+3*22-36*2 = 16+12-72 = -44. Ответ: Наибольшее значение функции равно 81, наименьшее значение равно -44
4.Решение упражнений №938 –решает ученик на доске. у = х4-8х2+5 на отрезке{-3;2] Решение у(-3) = 14; у(2) = -11; уʹ = 4х3-16х = 4х(х2-4) = 4х(х-2)(х+2). Критические точки х1=0; х2 = -2;х3=2. Данные точки принадлежат данному отрезку. у(0) = 5; у(-2) = у(2) =-11. Ответ: Наибольшее значение функции равно 14, наименьшее значение равно -11.
5. Интеграция математики и физики.
Выученный сегодня материал поможет нам решить физические задачи.
№1.Закон прямолинейного движения задан уравнением s = -t3+ 9t2– 24t-8. Найти максимальную скорость движения.
Решение
Скорость движения тела есть первая производная от пути по времени. v = sʹ = -3t2 + 18t -24. Найдем vʹ = -6t + 18; -6t +18 = 0; t = 3. При t<3 vʹ>0; при t >3 vʹ<0. Значит, t=3 – точка максимума. v(3) = -3*32+18*3 -24 = -27+54-24 = 3(м/с). Ответ: 3м/с№2 Закон прямолинейного движения задан уравнением s = -t3 + 3t2 + 9t +3. Найти максимальную скорость движения тела.
Решение
v = sʹ = -3t2 + 6t +9; vʹ = -6t + 6; -6t + 6= 0; t = 1. При t<1 vʹ > 0; при t >1 vʹ <0. Значит. t = 1 –точка максимума.v (1) =12(м/с) Ответ: 12м/с6. Подведение итогов урока.
Сегодня на уроке мы научились находить наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке, увидели, как знания по математике помогают решать физические задачи.
Учитель собирает тетради для проверки самостоятельной работы.
7. Домашнее задание:п.52,пыучить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. №939,946.