«Проектирование многоуровневой системы задач по теме «Задачи на движение, работу, концентрацию»

Министерство образования и науки Самарской области
Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов
САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ
И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ





Итоговая работа
на курсах повышения квалификации
«Проектирование многоуровневой системы задач по теме «Задачи на движение, работу, концентрацию»
(27.01 - 14.02.2014г.)



Выполнила:
Гаврилина Жанна Юрьевна,
учитель математики
ГБОУ СОШ № 26 г. Сызрань
Самарской области







Сызрань, 2014 г.
Пояснительная записка

1. ФИО Гаврилина Жанна Юрьевна
2. Место работы Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная школа №26
г.Сызрани
3. Должность учитель математики
4. Предмет математика
5. Класс 9
6. Базовый учебник Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова .
Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных
учреждений - М.:Просвещение, 2009


Текстовые задачи широко представлены в школьном курсе математики, включены в тексты итоговой аттестации в 9 и в 11 классах. Но по данным статистической обработки результатов ЕГЭ, текстовые задачи вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных учащихся. Для успешного решения текстовых задач не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы, но тем не менее многих учащихся эта тема ставит в тупик. В связи с этим возникает необходимость создания системы многоуровневых задач по этой теме.
Цель работы: сформирование у учащихся умений составлять математическую модель по тексту задачи, составлять уравнение, сопоставлять с ранее изученным.
На каждом этапе решения задач с параметром формируются универсальные учебные действия.
Этапы решения задачи
Формируемые УУД

Анализ условий
Целеполагание, выделение существенной информации, прогнозирование способа решения, аналогия, классификация, знакосимволические действия.

Схематическая запись условия
Планирование, систематизация, моделирование.

Составление математической модели
Корректировка условия, моделирование в графическом виде, создание способа решения задачи.

Решение математической модели
Анализ и выявление существенной информации, выделение следствий, построение цепи рассуждений, выдвижение и проверка гипотезы, преобразование модели.

Интерпретация модели
Анализ, выделение следствий, конкретизация.

Исследование задачи
Поиск аналогов, умение передать содержание, создание способов решения проблем, умение применять схемы, анализ и синтез.

Рефлексия
Самооценка, самоанализ, готовность к саморазвитию, умение определить цели, ставить и формулировать для себя новые задачи, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности.


Ниже приводится многоуровневая система задач по решению и исследованию текстовых задач на движение, работу, концентрацию. Данная система задач включает в себя задачи трёх уровне: базовые, модифицированные и исследовательские.





Базовые задачи.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 80 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2ч 40 мин позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. (Вар 8, 30 вар, 2012)
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него.
Решение.
Пусть х км/ч – скорость течения реки, собственная скорость теплохода 16 км/ч. Тогда скорость по течению равна (16 + х) км/ч, против течения (16 – х) км/ч. По условию задачи расстояние до пункта назначения равно 240 км, тогда время, затраченное на путь по течению 13 EMBED Equation.3 1415 часов, против течения: 13 EMBED Equation.3 1415 часов.
Составим уравнение с учётом стоянки:
13 EMBED Equation.3 1415
Освобождаясь от знаменателя, получим:
240(16 – х) + 240(16 + х) = 32(162 – х2)
Разделим обе части уравнения на 8, упрощая получим
х2 - 16 = 0, х = -4; 4. Отрицательное значение не удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 4 км/ч.

Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько
деталей в час13 EMBED Equation.3 1415делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали
больше?
Решение.
Пусть второй рабочий за 1 час делает х деталей, тогда первый (х + 2) детали. По условию
задачи рабочие выполняют по 224 детали, первый на всю работу тратит 13 EMBED Equation.3 1415 ч, а второй
13 EMBED Equation.3 1415 ч.
Составим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Избавляясь от знаменателя, получим:
224(х + 2) – 224х – 2х(х + 2) = 0
Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые.
Х2 + 2х – 224 = 0, х1 = - 16 (не удовл. усл.), х2 = 14
Ответ. 14 деталей.

Смешали 14 литров 30% водного раствора с 10 литрами 18%-ного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? (Лыс. 2013, Вар 24)
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415- количество вещества в 1 и 2 растворах соответственно.
4,2 + 1,8 = 6 (л) – вещества в 2-х растворах
14 + 10 = 24(л) –объём двух растворов
Пусть х % вещества в получившемся растворе. Составим пропорцию.
24 л – 100%
6 л - х %, тогда 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Х=25 Ответ. 25 %.
К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько % соли содержится в полученном растворе?
Свежие грибы содержат98% воды, после сушки – 125. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы после сушки получить 7 кг сухих грибов?
Один раствор содержит 20% кислоты, а второй – 70% кислоты. Сколько литров первого раствора нужно взять, чтобы получить 100 л раствора с 50% содержанием кислоты?
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы получить сплав с 30% содержанием меди?






Модифицированные задачи.

1.( к базовой задаче 1.) Из пункта A в пункт B одновременно выехали два мотоциклиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути  со скоростью, на 12 км/ч меньшей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым мотоциклистом. Найдите скорости мотоциклистов. Ответ дайте в км/ч.
Решение.


V
t
S

I
Х км/ч
13 EMBED Equation.3 1415 ч
S км

II
72 км/ч
13 EMBED Equation.3 1415ч
13 EMBED Equation.3 1415км


Х – 12 км/ч
13 EMBED Equation.3 1415ч
13 EMBED Equation.3 1415км


Введя обозначения (с учётом х > o), составим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Разделив обе части уравнения на S и освободившись от знаменателя, получим:
Х2 – 84х + 13 EMBED Equation.3 1415= 0
Х1=48, х2=36
Следовательно, скорость первого 48 или 36 км/ч, скорость второго 36 или 24 км/ч.

2. (к базовой задаче 2.)От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.
Решение.
Обозначим х км/ч – скорость катера в стоячей воде;
у км/ч – скорость течения.
Поскольку скорость катера при движении по течению (х + у), а против течения (х – у), то суммируя время, затраченное на путь по течению и против течения, получим:

13 EMBED Equation.3 1415
По второй части последней фразы условия получаем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Разделив 1 уравнение на 2, а второе уравнение на 24, получим систему уравнений
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Освобождаясь во втором уравнении от знаменателя, найдём х = 7у. Подставляя х = 7у в первое, получим у = 2, х = 14.
Ответ. Скорость катера в стоячей воде 14 км/ч, скорость течения 2 км/ч.


Двум рабочим поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проработал 4 часа, а второй 10 часов, оказалось, что они выполнили половину работы. Проработав вдвоём ещё 6 часов, они установили, что им осталось выполнить 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415часть всей работы. За какое время каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?

Решение.
Обозначим производительность труда первого рабочего – х, второго – у часть работы в час. Первый рабочий за 4 часа выполнил 4х часть работы, а второй за 10 часов 10у. Примем всю работу за 1, тогда, поскольку по условию они выполнили половину работы, то 4х + 10у = 13 EMBED Equation.3 1415. Вдвоём рабочие трудились ещё 6 часов, следовательно, первый работал 4 + 6 = 10 часов, а второй: 10 + 6 = 16 часов. По условию они выполнили за это время
1 - 13 EMBED Equation.3 1415 всей работы, тогда, рассуждая аналогично, получим 10х + 16у = 13 EMBED Equation.3 1415.
Составим систему уравнений.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Умножая первое уравнение системы на 16, второе на -1, решаем способом сложения.
13 EMBED Equation.3 1415
Получаем, что производительность труда первого рабочего составляет 13 EMBED Equation.3 1415часть работы в 1 час, а второго - 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда всю работу первый рабочий выполняет за 1: 13 EMBED Equation.3 1415 часа, второй за 1: 13 EMBED Equation.3 1415часов.
Ответ: 24 ч, 30 ч.

( к базовой задаче 3.) Двое рабочих, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут отремонтировать квартиру за 7 дней. Если бы ремонт выполнял каждый в отдельности, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них, работая в отдельности, может выполнить ремонт квартиры?
Решение.
Пусть х дней требуется первому рабочему на ремонт квартиры, тогда (х – 3) дня требуется второму рабочему на ремонт квартиры. Первый работал 7 дней и выполнил 13 EMBED Equation.3 1415 часть работы; второй работал 5,5 дней и выполнил 13 EMBED Equation.3 1415 часть работы. По условию они выполнили всю работу, получаем уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Освобождаясь от знаменателя, получим 2х2 – 41х + 42 = 0,
х1 = 14, х2 = 13 EMBED Equation.3 1415. Но х2 меньше 3, что невозможно.
Второму рабочему на ремонт квартиры требуется 14 - 3 = 11 дней.
Ответ. 14 дней, 11 дней.

( к базовой задаче 4) Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20 %?
Решение.
В 180 г сиропа содержится 25% сахара, что составляет 13 EMBED Equation.3 1415 грамм.
Пусть добавили х граммов воды, тогда в (180 + х) гр раствора сахара 20 %, что составляет
0,2(180 + х) = 45. Решаем получившееся уравнение.
36 + 0,2х = 45
0,2х = 9
х = 45 Ответ. 45 граммов.



Литература.
1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова .
2. Иванюк М.Е, Липилина В.В., Максютин А.А. Проблемы реализиции ФГОС при обучении математике в основной и старшей общеобразовательной школе.Самара, 2014. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений - М.:Просвещение, 2009
2. Л.В.Кузнецова и др. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе.
- М.:Просвещение, 2013
3. И.Ф.Шарыгин. Решение задач, 10 класс. - М.:Просвещение, 1994
4. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. Математика, подготовка к ГИА, 2014. Легион,
Ростов-на-Дону, 2013.








Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native