Проектирование многоуровневой системы задач с параметром по теме: «Производная»

Министерство образования и науки Самарской области
Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов
САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ
И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ
Итоговая работа
На курсах повышения квалификации
По ИОЧ ВБ
«Методические особенности обучения решению задач с параметром в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
(15.06 - 19.06.2015г.)
Проектирование многоуровневой системы задач с параметром по теме:
«Производная»
Выполнила:
Валиева Ф.Г.,
учитель математики
ГБОУ СОШ им. М.К. Овсянникова
с. ИсаклыСамара
2015 г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКАФИО (полностью) Валиева Фанузя Галимзяновна
Место работы ГБОУ СОШ им. М.К. Овсянникова с.Исаклы,
Исаклинского района, Самарской области
Должность Учитель математики
Предмет Математика
Класс 10
Цели:
реализация требований ФГОС ООО при изучении темы:«Производная»
Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности по теме «Производная»; формирование умений решать задачи с параметрами.
Развитие исследовательской и познавательной деятельности.
Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России является методологической основой разработки и реализации федерального государственного образовательного стандарта общего образования.
Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образовании о школьном курсе математики.
В основе Стандарта лежит системно-деятельностный подход.
Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования:
личностным;
метапредметным;
предметным.
Задачи:
- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;
-развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления;
-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.
Задачи с параметрами - это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо прежде всего умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения и исследования.
Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умении объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач.
В настоящее время достаточно широкое распространение получила идея совмещения обучения решению задач с обучением их конструированию. Под конструированием задачи – мы будем понимать процесс создания новой задачи. В основе конструирования задачи – лежит умение составлять квадратный трехчлен. При этом используются различные приемы: аналогия, варьирование коэффициентов квадратного трехчлена, варьирование новой переменной, варьирование требования задач. В качестве коэффициентов и новой переменной могут выступать более сложные функции. Тем самым можно использовать такой квадратный трехчлен, который поможет в организации повторения более сложных функций: показательной, логарифмической, тригонометрической. С одной стороны нужно знать свойства квадратного трехчлена, а с другой стороны повторяются свойства функции, тем самым достигается комбинированность задачи.
Выбор задачи с параметрами для обучения их решению и конструированию, можно объяснить следующими обстоятельствами:
при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;
решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;
происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;
приобретаются навыки к исследовательским работам;
помощь при подготовке к экзаменам;
происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.
Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:№ Этапы решения задач Формируемые УУД
Анализ условия (введение буквенных обозначений) целеполагание;
выделение существенной информации;
формулирование задачи и прогнозирование способов решения;
абстрагирование;
аналогия;
классификация (типологизация);
знакосимволические действия.
Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями планирование;
систематизация;
знакосимволические действия;
моделирование.
Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона) создание способа решения залачи;
корректировка условия;
моделирование в графическом виде.
Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного) анализ и выявление существенной информации;
выведение следствий;
построение цепи рассуждений;
выдвижение и проверка гипотез;
преобразование модели.
Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней) анализ;
выведение следствий;
конкретизация;
знакосимволическое действие (интерпретация).
Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению) анализ;
синтез;
поиск аналогов;
построение цепи рассуждений;
умение сжато передать содержание;
умение схемы, символы, модели;
создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
Рефлексия смыслообразование;
планирование;
контроль;
коррекция;
оценка;
волевая саморегуляция;
готовность к саморазвитию, к самообразованию;
умение самостоятельно определять цели своего обучения;
ставить и формулировать для себя новые задачи;
развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.
Многоуровневая система задачВ основе методики обучения на базе многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач.
Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой.
Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы. Подобное табличное (матричное) представление системы задач темы помогает осуществить полноценное наполнение на каждом уровне ее математического и деятельностного (формирование УУД) компонентов и тем самым реализовать критерии предметной и деятельностной полноты (имея в виду познавательные УУД) формируемой системы учебных задач. При этом если базовые задачи выполняют в системе роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть универсальные учебные действия (общие методы и приемы деятельности) в выделенных ситуациях.
Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер (используются такие общеучебные действия, как классификация, подведение под понятие, выведение следствий, действия, построение логической цепи рассуждений, доказательство и т.д.). Используемые при этом задачи отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик идентифицирует (распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий, применяет усвоенные знания в практическом плане для некоторого известного класса задач и получает новую информацию на основе применения усвоенного образца деятельности
При решении задач второй строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а реконструируются в несколько видоизмененных условиях (здесь проявляются такие общеучебные действия, как выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, знаково-символические действия, включая математическое моделирование, структурирование знания).
Наконец, при решении задач третьей строки учебная деятельность носит исследовательский творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий (выдвигать гипотезу, проверять: обосновывать или опровергать, выдвигать новую и т.д., осуществлять исследовательскую деятельность). Решение задач соответствующего блока требует от учащегося обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; системного видения курса. Вместе с тем, оно не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов и в заданиях 17,18, 20, 21КИМов ЕГЭ.
Многоуровневая система задач по теме «Производная»
№ п/п Название задачи Тип задачи № Содержание задачи
1 Вычисление производной по определению. ЗЗ 1 y=axМЗ 2 y=a2x+12НЗ 3 y=cosax2 Нахождение производных суммы, произведения, частного функций ЗЗ 4 y=ax+4x2МЗ 5 y=ax+12x2НЗ 6 y=x+a∙3x3 Исследование монотонности функции ЗЗ 7 При каких значениях параметраaфункцияy=2x3-ax2+ax-14 возрастает на всей числовой прямой?
МЗ 8 При каких значениях параметра a функция y=2ax3+9ax2+30ax+66 убывает для всех значений x?
НЗ 9 Найти множество всех чисел a, при каждом из которых функция f(x) = sin 2x – 8(a + 1)sinx + (4a2 + 8a – 14)xявляется возрастающей на всей числовой прямой и не имеет при этом критических точек.
4 Отыскание точек экстремума ЗЗ 10 При каких значениях параметра a функция y=x3-3ax2+27x-5имеет одну стационарную точку?
МЗ 11 Определите, при каком значении параметра a максимум функции y=ax2+2ax+2a2-1равен 9
НЗ 12 При каких значениях параметра a функцияf(x) = (a2 – 3a + 2) (cos2х4 – sin2х4) + (a – 1)x + sin 1 не имеет критических точек?
5 Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежуткеи дифференцируемой на интервале ЗЗ 13 Выяснить, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции y=x2-12x+a на отрезке [1;3] равно нулю.
МЗ 14 При каком значении параметра a наименьшее значение функции y=xx+a равно y=-63НЗ 15 При каких значениях параметра aфункция y=a2-cos2x3-sin2x+aпринимает значения меньше 5 для любых x6 Полное исследование и построение графика ЗЗ 16 При каком наименьшем натуральном k уравнение x3 + 3x2 – 45x + k = 0 имеет ровно один корень?
МЗ 17 При каком значении параметра a минимум функцииf(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9равен 1?
НЗ 18 При каком значении параметра a минимум функции f(x) = –2x3 + 3x2 + 12x + 4a равен 1?
7 Уравнение касательной к графику функции в данной точке ЗЗ 19 При каких значениях параметра a прямаяy=ax-2является касательной к графику функции y=1+lnx?
МЗ 20 При каких значениях параметра a касательная к графику функции y=a-x2отсекает от первой четверти равнобедренный треугольник площадью 932НЗ 21 При каких значениях параметра aкасательные к графику функции y=4x2-ax, проведенные в точках его пересечения с осьюx, образуют между собой угол 60°8 Применение производной к решению задач по геометрии, физике и экономике ЗЗ 22 Какие должны быть стороны прямоугольника с периметром P, чтобы его площадь была максимальной?
МЗ 23 Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок 3). Периметр окна равен P.Определить радиус полукруга R, при котором площадь окна является наибольшей.
НЗ 24 Картина высотой a подвешена на стене таким образом, что ее нижний край выше уровня глаз наблюдателя наh единиц. На каком расстоянии x от стены должен находиться наблюдатель, чтобы угол обзора картины был наибольшим (рисунок 7a)?
Решения
y=ax∆y=ax0+∆x-ax0=a∆x∆y∆x=a∆x∆x=alim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0a∆x∆x=ay=a2x+12∆y=a2(x0+∆x)+12-a2x0+12=a2∆x4x0+2∆x+2=4a∆x2x0+∆x+1∆y∆x=4a∆x2x0+∆x+1∆x=4a(2x0+∆x+1)lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→04a(2x0+∆x+1)=4a(2x0+1)y=cosax∆y=cosax0+∆x-cosax0=-2sinax0+∆x+x02sinax0+∆x-x02=-2sinax0+∆x2sina∆x2∆y∆x=-2sinax0+∆x2sina∆x2∆xlim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0-2sinax0+∆x2sina∆x2∆x=lim∆x→0-2sinax0+∆x2lim∆x→0sina∆x2∆x=-2sinax0∙a2=-asinax0y=ax+4x2y=ax+4x2y'=a+8xy=ax+12x2y'=2ax2-4xax+12x22=-2ax2-4x4x4=-ax+22x3y=x+a∙3xy=3xx+a, x>-a-3xx+a, x<-ay'=6x+3a, x>-a-6x-3a, x<-aПри каких значениях параметраaфункцияy=2x3-ax2+ax-14 возрастает на всей числовой прямой?
При каких значениях параметра a функция f(x) = 2ax3 + 9ax2 + 30ax + 66 убывает для всех значений x?
Решение:
1. Функция f(x) убывает для всех значений x, если производная
f′(x) = 6ax2 + 18ax + 30a = 6a(x2 + 3x + 5) < 0
для всех x.
2. Отсюда находим, что a < 0.
3. Ответ: a ∈ (–∞; 0).
Найти множество всех чисел a, при каждом из которых функция f(x) = sin 2x – 8(a + 1)sinx + (4a2 + 8a – 14)x является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет при этом критических точек.
1. При любом фиксированном a данная функция дифференцируема в каждой точке числовой прямой.
2. Так как функция f(x) возрастает, то в каждой точке x должно выполняться неравенство f′(x) ≥ 0.
3. Так как, кроме того, f(x) не имеет критических точек, то при любом x должно быть выполнено неравенство f′(x) ≠ 0.
4. Таким образом, если функция удовлетворяет условию задачи, то при всех x должно быть выполнено неравенство f′(x) > 0.
5. С другой стороны, если при всех x выполнено неравенство f′(x) > 0, то функция, очевидно, не имеет критических точек и возрастает.
6. Найдем производную данной функции:
f′(x) = 2 cos 2x – 8(a + 1) cosx + 4a2 + 8a – 14.
Теперь задачу можно переформулировать так: найти все значения параметра a, при каждом из которых для любого x выполнено неравенство
cos 2x – 4(a + 1) cos x + 2a2 + 4a – 7 > 0. (1)
7. Учитывая, что cos 2x = 2 cos2 x – 1, и полагая cos x = t, где –1 ≤ t ≤ 1, перепишем неравенство (1) следующим образом:
2t2 – 1 – 4(a + 1)t + 2a2 + 4a – 7 > 0,
или
t2 – 2(a + 1)t + a2 + 2a – 4 > 0. (2)
8. Обозначив функцию в левой части неравенства (2) через ϕ(t), дадим новую формулировку исходной задачи: найти все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции ϕ(t) на отрезке [–1; 1] положительно.
9. Производная ϕ′(t) = 2t – 2(a + 1) обращается в нуль при t0 = a + 1.
10. Наименьшее значение функции ϕ(t) на отрезке [–1; 1] есть:
ϕ(–1) = a2 + 4a – 1, если a + 1 ≤ –1;
ϕ(a + 1) = –5, если –1 < a + 1 < 1;
ϕ(1) = a2 – 5, если a + 1 ≥ 1.
11. Так как наименьшее значение функции ϕ(t) на отрезке [–1; 1] должно быть положительно, то значения параметра a, удовлетворяющие условию задачи, принадлежат двум промежуткам: a ≤ –2 и a ≥ 0.
12. Если a ≤ –2, то искомые значения параметра a удовлетворяют неравенству a2 + 4a – 1 > 0.
13. Если a ≥ 0, то искомые значения параметра a удовлетворяют неравенству a2 – 5 > 0.
14. Следовательно, множество искомых значений a есть объединение решений двух систем неравенств:
а≤ -2а2+4а-1>0(3)
а ≥ 0
а2 -5 > 0 (4)
15. Множество решений системы (3) есть промежуток –∞ < a < –2 –√5 , а множество решений системы (4)— промежуток a >√5 .
16. Ответ: a ∈ (–∞; –2 –√5) ∪ (√5; +∞).
При каких значениях параметра a функция y=x3-3ax2+27x-5имеет одну стационарную точку?
Определите, при каком значении параметра a максимум функции y=ax2+2ax+2a2-1равен 9
При каких значениях параметра a функция f(x) = (a2 – 3a + 2) (cos2х4 – sin2х4) + (a – 1)x + sin 1 не имеет критических точек?
1. Так как данная функция дифференцируема на всей числовой прямой, то критическими точками функции f(x) являются те точки, в которых производная f′(x) = 0.
2. В данном случае имеем f′(x) =12 (a – 1)(a – 2) (–sinх2) + (a – 1).
3. Очевидно, что если a = 1, то f′(x) = 0 при любом x ϵ R, т. е.
для заданной функции каждая точка x ∈ R является критической.
4. Предположим, что a ≠1. Тогда уравнение f′(x) = 0 примет вид
(a – 2) sinх2 = 2. (1)
Отсюда следует, что если |a – 2| < 2, т. е. если a ∈ (0; 1) ∪ (1; 4),
то уравнение (1) не имеет корней и, значит, при указанных значениях a функция f(x) не имеет критических точек.
5. Ответ: a∈ (0; 1) ∪ (1; 4).
Выяснить, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции y=x2-12x+a на отрезке [1;3] равно нулю.
При каком значении параметра a наименьшее значение функции y=xx+a равно y=-63При каких значениях параметра aфункция y=a2-cos2x3-sin2x+aпринимает значения меньше 5 для любых xНаименьшее значение числителя и наибольшее значение знаменателя достигается при разных значениях х. Поэтому для нахождения наименьшего значения функции удобно использовать производную. Перепишем неравенство в виде
α<5+sin2x1+(3-cos2x)3=3+(3-cos2x)1+(3-cos2x)3=1+t1+t, гдеt=3-cos2x, t∈2;3Найдем наименьшее значение функции f(t) =3+t1+t3, на отрезке2;3. Так как производная f '(t) =1-9t2-2t3(1+t3)2отрицательна при t ∈2;3,то f убывает и принимает наименьшее значение при t=3, fнаим. = f(3) = 314.
Ответ: a∈(-∞;314)При каком наименьшем натуральном k уравнение x3 + 3x2 – 45x + k = 0 имеет ровно один корень?
1. Построим эскиз графика функции y1 = x3 + 3x2 – 45x и определим наименьшее натуральное значение k, при котором этот график пересекает прямую y2 = –k ровно в одной точке.
2. а) D(y1) = R;
б) у1/ = 3x2 + 6x – 45;
в) у1/= 0 при x1 = –5; x2 = 3;
г) y1(–5) = 175; y1(3) = –81;

Рис 1.

Рис.2.
д) изменение знаков производной у1/ в интервалах (–∞; –5), (–5; 3) и (3; +∞) иллюстрирует рис. 1. На рис. 2 дано схематическое изображение графика функции y1.
3. Очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение, если –k > 175 или –k < –81, т. е. k < –175 или k > 81. Наименьшее натуральное значение k равно 82.
4. Ответ: k = 82.
При каком значении параметра a минимум функцииf(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9равен 1?
1. f′(x) = –6x2 + 6x + 12.
2. y′ = 0 при x1 = –1; x2 = 2.
3. y(2) = 20 + 4a = 1; a1 = – 194.
4. y(–1) = –7 + 4a = 1; a2 = 2.

5. Схематическое изображение графика функции показывает, что ее минимум достигается в точке x1 = –1; поэтому нужно взять значение a2 = 2.
6. Ответ: a = 2.
При каком значении параметра a минимум функции f(x) = –2x3 + 3x2 + 12x + 4a равен 1?
При каких значениях параметра a прямая y=ax-2 является касательной к графику функции y=1+ln⁡x?
При каких значениях параметра a касательная к графику функции y=a-x^2 отсекает от первой четверти равнобедренный треугольник площадью 9/32
так как   , по условию касательная должно  пересекать функцию в четверти , значит .  Треугольник равнобедренный и прямоугольный следовательно другие углы равны , но откуда касательная принимает вид      точка касания  касательной  с графиком по оси абсцисс равна         .  по формуле касательной к графику   так как площадь треугольника должна равняться              ,  то    так как        четверть .   Откуда           
При каких значениях параметра a касательные к графику функции y=4x^2-|a|x, проведенные в точках его пересечения с осью x, образуют между собой угол 60°
Какие должны быть стороны прямоугольника с периметром P, чтобы его площадь была максимальной?
Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок 3). Периметр окна равен P.Определить радиус полукруга R, при котором площадь окна является наибольшей.


Картина высотой a подвешена на стене таким образом, что ее нижний край выше уровня глаз наблюдателя наh единиц. На каком расстоянии x от стены должен находиться наблюдатель, чтобы угол обзора картины был наибольшим (рисунок 7a)?

Литература
Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
В.С. Высоцкий, Задачи с параметрами для подготовки к ЕГЭ
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: РИА "Текст"; МП "ОКО", 1992. -290 с.
Качалова Г. А. О необходимости включения содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» в учебный модуль «Основы математики» // MateriałyMiędzynarodowejNaukowi-PraktycznejkonferencjiPostępówwnauce. Nowepoglądy, problemy, innowacje. 29.07.2012. — 31.07.2012. Część 2. — Łódź, 2012. — С. 67–70.
Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.-144 с.
Родионов Е.М. Решение задач с параметрами. М.: МП «Русь-90»,1995