Конспект урока по алгебре и началам анализа 10 класс Методы решения тригонометрических уравнений.

Алгебра и начала анализа. 10 класс.
Тема: Методы решения тригонометрических уравнений.
Метод решения хорош, если с
самого начала мы можем предвидеть-
и впоследствии подтвердить это,-
что, следует этому методу,
мы достигаем цели.
Лейбниц
Цели: 1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.
2. Содействовать развитию математического мышления учащихся.
3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Ход урока.
Вводная беседа.
- Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений . мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методо, что первые прм.
Этап 1. Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решения.
Задание. Рядом с каждым уравнением указать номер метода, которым можно решить данное уравнение наиболее рационально.
Обсуждение проводится в быстром темпе и выясняется, что наибольшее количество методов можно применить при решении последнего уравнения. Отмечается, что первые три из указанных метода являются традиционными для решения уравнений. Что касается последнего метода, то он рассматривается достаточно редко. Поэтому предлагается остановиться на этом методе особо.
Этап 2.
Метод использования свойств ограниченности функций.
Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех x выполняется неравенства f(x)≤a и g(x)≤b, и дано уравнение f(x)+g(x)=a+b, то оно равносильно системе fx=agx=b
Этап 1. Классификация тригонометрических уравнений по методам решения.
№ Уравнения № метода Методы
1 sinx3-cos6x=24б 1.Разложение на множители.
2.Введение новой переменной;
а)сведение к квадратному;
б)универсальная подстановка;
в)введение вспомогательного аргумента.
3. Сведение к однородному.
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
а)обращение к условию равенства тригонометрических функций;
б)использование свойств ограниченности функции
2 1-cosx sinx 1-cosxsinx=4sin2xcosx1 3 3sinx-1+cosx1+cos⁡xsin2x=sin2x1 4 5sinx-2cosx=13,2(б,в) 5 sin3xcos2x=14б 6 cos2x=2cosx-sinx1,2б 7 1-sin2x=cosx-sinx1,2,3б 8 cos3x=sinx4а 9 4-cos2x=4sinx2a 10 sin3x-sin5x=04б 11 tan3чtan5ч+π/3=14a 12 2tanx2-cosx=21,2б,4а Решение уравнения №1 из таблицы.
sinx3-cos6x=2Ответ:3 π2+6πl, l∈ZТрое учащихся решают уравнения №8,10,11
Ответы: №8 x=(4n+1)π8,n∈Z;x=4k-1π4,k∈Z№10 x=πk, k∈Z ; x=2n+1π8, n∈Z№11 (6n+1)π48, n∈ZЭтап 3.
Систематизируем решения уравнения вида asinx+bcosx=c abc≠0методом сведения данного уравнения к однородному уравнению. Выясняем преимущества данного метода над основными способами решения этого уравнения. Отметим, что он, так же как метод рационализации, применяется в физике при сложении гармонических колебаний.
Знания учащихся проверяются тестом с последующей проверкой.
На магнитной доске ученик составляет системно-обобщающую таблицу, раскрывающую идею решения уравнения вида asinx+bcosx=c abc≠034651952990215 x=-2arttanba +2πk, k∈Z0 x=-2arttanba +2πk, k∈Z34651951668780 x=2arttanab+c +2πn, n∈Z0 x=2arttanab+c +2πn, n∈Z3465195923290 x=2arttana±√∆b+c +2πn, n∈Z0 x=2arttana±√∆b+c +2πn, n∈Z34601522287387x∈G
0x∈G
-971551587518b+c≠000b+c≠0-971552513107b+c=000b+c=08962082081167∆<000∆<0779780923290∆>000∆>09072311584409∆≠000∆≠0170529825088851
001
235018625093828
008
172533220372384
4
236007120381197
7
234988514725655
5
176847514729872
2
23501869237166
6
17687769237163
3
346543741029Решения
Решения
170006441029№ уравнения
0№ уравнения
87971-1255Условия на коэффициенты
00Условия на коэффициенты

Тест
Раскройте идею решения уравнения вида asinx+bcosx=c abc≠0, показав стрелками зависимость решений от условий, наложенных на коэффициенты.
39836381769745
x=2arttana±√∆b+c+2πk, k∈Z
x=2arttana±√∆b+c+2πk, k∈Z20334241769745
x=2arttanab+c+2πk, k∈Z
x=2arttanab+c+2πk, k∈Z-283111770149x=π1+2n,n∈Zx=-2arttanba+2πk, k∈Zx=π1+2n,n∈Zx=-2arttanba+2πk, k∈Z37977401214755∆>0∆>09806901246468∆=0∆=023498811214755∆<0∆<04231842549187-sinx+cosx=1,200-sinx+cosx=1,228047955486405sinx+4cosx=5005sinx+4cosx=513709655486403sinx-4cosx=5003sinx-4cosx=5-285755486404sinx-5cosx=5004sinx-5cosx=53401460168220a+c≠0a+c≠0272966121057a+c=0
a+c=0

Выполнил_______________ оценка___________
Этап 4.
Отмечаем, что в уравнении asinx+bcosx=c abс-любое действительное число,
Если a=b=0, а c≠0, то уравнение теряет смысл;
Если a=b=c=0, то x-любое действительное число, т.е. уравнение обращается в тождество.
Уравнение sinx+cosx=1 можно решить, по крайней мере, шестью способами.
На доске 5-6 учеников показывают различные способы этого уравнения. Проводим сравнительный анализ и комментарий решений.
Этап 5
Урок завершает самостоятельная работа. Под копировальную бумагу.
Вариант1-№6; №2
Вариант2 - №7;№3
Учитель собирает копии решений.
Учащиеся осуществляют самопроверку по готовым решениям на доске, получают разъяснении по возникающим при этом вопросам.
Вариант 1
№6
sin2x=√2(cosx-sinx)<=>cos2x-sin2x=√2(cosx-sinx) <=>(cosx-cosx)(cosx+sinx-√2)=1 №2
1-cosч1-cosx sinx=4sin2xcosx Ответ: x=(2n+1)π, x=-1n π/12+πn/2Далее учитель подводит итоги урока, сообщает , даёт пояснения к домашнему заданию
Домашнее задание: решить уравнения из таблицы №4 (несколькими способами), №5, №9.