Обобщающий урок по алгебре и началам анализа на тему: Методы решения показательных уравнений 11 класс
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №32»
Составитель:
руководитель МО
Оршокдугова Р.М.
2014 г.
Девиз урока :
«Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий»
Т. Эдисон
Цели урока:
а) образовательные:
-закрепить решение простейших показательных уравнений;
-показать дополнительные методы решения показательных уравнений;
-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
в) воспитательные:
-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
-учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.
Ход урока
Звучит песня: «Погода в школе»
Результаты медицинского осмотра и антропометрических данных показали, что состояние здоровья школьников в нашей стране с каждым годом ухудшается. И на первое место выходят заболевания опорно-двигательного аппарата- 82%.. Появляются заболевания сердечно-сосудистой системы: вегето - сосудистая дистония , головные боли. Когда голова постоянно находится в наклонном положении, нарушается кровообращение.
.
Одной из важнейших задач, стоящих перед школой, является сохранение здоровья детей.
Можно считать, что здоровье ученика в норме, если:
а) в физическом плане – умеет преодолевать усталость, здоровье позволяет ему справляться с учебной нагрузкой;
б) в интеллектуальном плане – проявляет хорошие умственные способности, наблюдательность, воображение, самообучаемость;
в) в нравственном плане – честен, самокритичен, эмпатичен;
г) в социальном плане – коммуникабелен, понимает юмор, сам умеет шутить;
д) в эмоциональном плане – уравновешен , способен удивляться и восхищаться.
Конечно, здоровье учащихся сегодня на уроке определяется благоприятным эмоциональным настроем.
Учитель:
Эпиграфом нашего урока я хочу предложить слова
Г. Лессинга
«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».
Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить при решении показательных уравнений. Но при этом помните :
«Здоровье - не все, но все без здоровья - ничто»
Сократ
А помогут мне в этом мои ассистенты
Ассистент 1
В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величинами. Оценка по контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий,
стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.
Асс.2 Ученые-биологи, изучая жизнь бактерий, установили, что рост числа бактерий происходит по формуле N=5t, где N-число колоний бактерий в момент времени t, t- время размножения
Вычислите, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до 25). За 3 секунды? (увеличится до 125). Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий
Зависимость такого типа между двумя переменными была замечена не только в процессе роста числа микроорганизмов, но и, например, в спорте – зависимость длины прыжка спортсмена с трамплина от начальной скорости полета, в медицине – способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы.
В рамках предвыборной кампании каждый кандидат выбирает себе в помощники двух доверенных лиц. Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, проводя агитационную работу, привлекает в команду этого кандидата еще по одному человеку. На следующий день агитационная работа проводится уже командой в 4 человека. Что произойдет с командой кандидата, если эту работу продолжить по той же схеме? Команда кандидата будет очень быстро расти.
Такая функция называется показательной.
Учитель
И сегодня на уроке, мы должны дать определение показательной функции, рассмотреть некоторые свойства и научится применять эти свойства при решении показательных уравнений разными методами.
Итак, попробуйте сформулировать определение показательной функции.
(вопросы задают ассистенты по очереди, снимая с доски «звездочки»,открывая правила)
1) функцию какого вида называют показательной;
2) какова область определения показательной функции;
3) каково множество значений показательной функции;
4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а; Слайд 35 (2),37 Построить эскиз графика функции у=4х+1,5 и найти ее множество значений
Далее один учащийся выступает с кратким сообщением по теме урока, содержание которого сводится к историческим сведениям: кто ввел понятие показательной функции, кто впервые дал понятие показательных уравнений и описал способы их решения.
Асс 1.группы
Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем
· профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель
· Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis
· «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Асс2 группы
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента
· с показателем a = e = 2,71828...
· встроенная во многие языки программирования функция.
Записали число Классная работа Тема Девиз
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Постройте схематически эскиз графика у=4.5х+1,5 ( 4 примера)
Выдать звездочки
Вопрос:
5)уравнение какого вида называется показательным;
6)какая теорема используется для решения показательного уравнения;
7)какие основные методы решения показательных уравнений существуют?
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
На доске записаны уравнения :ученики рассказывают каким методом решали д/з
Метод уравнивания показателей: 22x-4 = 64 Ответ: x = 5
Метод введения новой переменной. 4x + 2x+1 – 24 = 0 Ответ: x =2.
Функционально- графический метод или метод подбора
3x = 4 – x Ответ: x = 1.
метод введения новой переменной и разложения на множители 52x+1 – 13*15x + 54*9x-1 = 0
Ответ: x1 = -1, x
· 1,4.
метод уравнивания показателей степеней. 7 2x+1+ 7 2x+2 + 7 2x+3 = 57.
Ответ: x = -0,5
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Звучит легкая музыка
Проверка самостоятельной работы: каждый учащийся после получения корня уравнения, должен подойти к ассистенту,чтобы получить «звезды»для оценки.).
По окончании этой работы учащиеся должны прийти к общему выводу:
На компьютере
Графически
Подбором
Преимущества
Автоматизация вычислений
Простота метода
Простота и быстрота выполнения, если корни целые и известен промежуток, на котором они определяются
Недостатки
Не соблюдается масштаб, пересечение с осью Ox неявное
Неточность, трудоемкость и затраты времени.
Можно потерять некоторые корни
Кроме того, компьютер не всегда окажется рядом, а графически и методом подбора можно решать только очень простые уравнения, имеющие целые корни, небольшие по абсолютной величине.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Изучение новых способов решения показательных уравнений: Учитель еще раз обращает внимание на цель урока: научиться решать показательные уравнения аналитическим методом. Алгоритма решения показательных уравнений через коэффициенты, как, например, квадратных уравнений, нет. Но существуют способы решений некоторых видов показательных уравнений, с которыми учащиеся на уроке и должны познакомиться. На этом уроке рассматриваются только два способа решения показательных уравнений:
Равенство оснований и замена переменной.
Применение показательной функции
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Ассистент1. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.
Ассистент2
Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.
Ассистент1
Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 141513 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели
Г. Лейбниц
Для успешного решения показательных уравнений необходимо:
1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, – не терять решений уравнения.
2. Активно знать все показательные тождества.
3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.
4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):
определить тип уравнения;
вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Молодцы,
вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.
Если вы набрали 20-26 , то получаете оценку «5».
Если вы набрали 14-19 , то получаете оценку «4».
Если вы набрали 7-13 , то получаете оценку «3».
Если вы набрали 0-6 , то получаете оценку «2».
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED Package 1415
Методы решения показательных уравненийTimes New RomanБумажный пакет