Статья: СТАТЬЯ: Эвристические методы

… РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.И.ГЕРЦЕНА
КАФЕДРА МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Статья НА ТЕМУ:
" ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ "

Выполнил: студент факультета ИПДО . специальности «Математика» ГавриковаТ.

Проверил: старший преподаватель кафедры
Кандидат пед. наук доцент Радченко В.П.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2012
Содержание.
1.Понятие эвристики, частные и общие эвристики. ……………………………………………. 2
2. Эвристические методы при обучении алгебре. Частные и общие эвристики…………… …3
3. Система эвристик при решении уравнений, неравенств и их систем, использование
предельных и частных случаев, соображения непрерывности и симметричносим…….……...7

3.1. Соображение непрерывности……………..……………………………………………….7 . 3.2. Поиск решения при рассмотрении предельных случаев…………………..…………….8
3.3. Использование симметричности уравнения……………………………………………..9
4. Заключение……………………………………………………………………………………...10
5. Используемая литература………………………………………………………………………11
-933453719830 1.Понятие эвристики, частные и общие эвристики. ///////////////////////////// …..Одни источники указывают, что"эвристика" (от греческого«heurésko»-отыскиваю, открываю) впервые появился в трудах греческого математика Паппа Александрийского (2-ая половина IIIв.н.э.)«Искусство решать задачи». Д. Пойа дает справку о том, что Папп Александрийский выделил как минимум два приема – регрессивное и прогрессивное рассуждение, т.е. решение задачи от конца (цели) к началу (данным) либо наоборот. Другие источники приоритет первого упоминания отдают трудам Аристотеля.………………………. Впервые учение об эвристических методах разработано и введено Сократом.В Древней Греции под эвристикой понимали систему обучения, практикуемую Сократом, когда учитель приводит ученика к самостоятельному решению какой-либо задачи, задавая ему наводящие вопросы. Подобные процедуры – в виде диспутов – были широко распространены в средневековых университетах. Построение диспутов осуществлялось в соответствии с выработанными нормативами, которые были творчески переосмыслены в XX столетии. Так, например, они легли в основу проекта В.С. Библера «Школа диалога культур». Многие авторы упоминают вклад в эвристику Раймонда Луллия, который еще в XIV в. пытался создать машину для решения задач на основе всеобщей классификации понятий(морфологический анализ). .....В XVIII в. Георг Лейбниц (1646-1716) и Рене Декарт (1596- 1650) независимо друг от друга развили идею Р. Луллия и предложили универсальные языки классификации всех наук. Эти идеи легли в основу теоретических разработок в области создания интеллекта. В настоящее время эвристическими способами решения задач называют способы, позволяющие минимизировать перебор возможных решений, зачастую основанные на интуиции. . Значительный интерес к исследованию эвристических методов возник в связи с возможностью решения ряда задач (распознавание объектов, доказательство теорем ),в которых человек не может дать точный алгоритм решения с помощью технических устройств. Начиная с30гг. прошлого века стали появляться публикации различных авторов, предлагающих свои методы решения творческих задач в области инженерного конструирования(позже для решения гуманитарных и социальных задач),которые получили общее название «эвристические методы» С конца 40-х гг. Г.С. Альтшуллером был создан и стал развиваться такой мощный подход к решению инженерных и изобретательских задач, как ТРИЗ-теория решения изобретательских задач, исслеующая механизмы развития технических систем с целью создания практических методов решения этих задач. В 60-х годах прошлого века возникло так называемое «Эвристическое программирование».
2. Эвристические методы при обучении алгебре. Частные и общие эвристики. …..Определение эвристического метода преподавания дается,например, В. Репьевым. Только название метода здесь звучит несколько иначе - эвристическая беседа. Этот метод состоит в том, что учитель ставит перед классом проблему (теорему, задачу), а затем путем целесооб-разных вопросов приводит учащихся к ее решению. Но суть этих определений одна - само- стоятельный, планируемый лишь в общих чертах поиск решения поставленной проблемы. ...Роль эвристической деятельности в науке и в практике обучения математике подробно осве-щается в книгах американского математика Д. Пойа. В книге"Как решать задачу" он пытается охарактеризовать эвристику как специальную отрасль знания. Цель эвристики - исследовать правила и методы, ведущие к открытиям и изобретениям. Интересно, что основным методом, с помощью которого можно изучить этапы творческого мыслительного процесса, является, по его мнению, исследование личного опыта в решении задач. Автор пытается вывести неко-торые правила, следуя которым можно прийти к открытиям, не анализируя той психической деятельности, в отношении которой предлагаются эти правила. "Первое правило - надо иметь способности, а наряду с ними удачу. Второе правило - стойко держаться и не отступать, пока не появится счастливая идея". Интересна приводимая в конце книги схема решения задач, чтобы добиться успеха. Она включает четыре этапа: 1. Понимание постановки задачи. 2. Составление плана решения. 3. Осуществление плана. 4. Взгляд назад (изучение полученного решения). В ходе выполнения этих этапов решающий задачу должен ответить на следующие вопросы: Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Не встречалась ли мне раньше эта задача, хотя бы в несколько другой форме? Есть ли какая-нибудь родственная данной задача? Нельзя ли воспользоваться ею? Нетрудно видеть, что эта схема подчеркивает главным образом один принцип эвристической деятельности: использование в том или ином виде прошлого опыта. Но этот принцип не может считаться единственным. Интересна с точки зрения применения эвристического метода в школе книга американского педагога У. Сойера "Прелюдия к мате-матике". "Для всех математиков, - пишет Сойер, - характерна дерзость ума. Математик не лю-бит, когда ему о чем-то рассказывают, он сам хочет дойти до всего". Эта "дерзость ума", по словам Сойера, сильно проявляется у детей. Долгое время в основе творчества лежали мето- ды проб и ошибок,перебора возможных вариантов, ожидание озарения и работа по аналогии. В узком смысле слова под эвристическими понимают интуитивные (неосознанные) методы решения задач. Вообще, общепринято при рассмотрении вопроса о характере эвристических приемов решения математических задач обращаться к Д. Пойа . Г.Д. Балк и М.Б. Балк рассматривают следующий перечень эвристических приемов:
переформулировка задачи, т.е замена ее равносильной, но более простой задачей;
привести контрпример (для задач на доказательство);
произвести проверку по размерности;
найти сходную задачу из ранее решенных ;
сформулировать какую-нибудь частную вспомогательную задачу (“подзадачу”);
индукция (лат; – наведение); рассмотрение частных случаев “наводит” на решение задачи в общем случае;
сформулировать более простую задачу;
найти закономерность;
умозаключение по аналогии;
прием “малых шевелений”; для задач, в которых требуется выбрать из некоторого множества фигур ту, которая является наилучшей; берем произвольную фигуру и пытаемся малыми шевелениями ее улучшить, т.е. из нескольких ее свойств изменяем только одно, стараясь сохранить остальные;
использовать непрерывность (для задач на оценку);
обратиться к предельному случаю; рассмотреть вспомогательную задачу, у которой условие или какие-то данные получаются из условия или данных исходной задачи путем предельного перехода;
перевести задачу с одного языка на другой; например, с языка геометрии на язык алгебры или физики;
ввести вспомогательную фигуру (вспомогательные неизвестные).
Рассмотрим аналогию и индукцию (частные и общие эвристики) - эвристические приемы, играющие важную роль при изучении алгебры.
В математике часто оказывается, что аналогичные, сходные условия приводят к сходным заключениям. Чтобы этим воспользоваться, надо приучить школьников формулировать математические предложения по аналогии.Но с самого начала надо подчеркнуть, что предпо- ложения, сформулированные по аналогии могут быть и ошибочны. Например, по аналогии со следующими признаками делимости: « Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число кратно 3» и « Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число кратно 9», можно сфор-мулировать и следующее предложение : « Если сумма цифр числа делится на 27, то и само число кратно 27», что ошибочно. Однако, очень часто предложения по аналогии истинны, и поэтому их привлекают для получения новых математических результатов.
Одно из основных положений метода аналогии: то, что сложно в исходной области, может оказаться простым в области аналогии и наоборот –то, что сложно в области аналогии, может оказаться простым, если воспользоваться понятиями исходной области. . …..Различают 1)простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках;2)распространенную аналогию, когда из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.…..В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть:а)строгой,при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;б)нестрогой,когда признаки объектов сравнения не находятся в явной взаимной зависимости. …..Например, при изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей .
Натуральные числа 949 + 835
Подписываем слагаемые одно под другим, так, чтобы одинаковые разряды слагаемых находились друг под другом.
949
+
835
-------
1784
Выполняем сложение поразрядно, начиная с единиц низшего разряда. Десятичные дроби
. 95.37 + 101.4
Подписываем слагаемые одно под другим, так, чтобы одинаковые разряды слагаемых находились друг под другом.
95.35
+
101.40
----------
196.75
Так как число 101.4 не имеет сотых долей, то вместо сотых ставим 0.
Выполняем сложение поразрядно, начиная с единиц низшего разряда.
Уже в младших классах целесообразно подчеркивать аналогию между некоторыми плос-кими и пространственными фигурами,например, между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, между квадратом и кубом. Аналогия между квадратом и кубом в том, что у квадрата его измерения равны и у куба его измерения равны. Учащиеся могут и сами догадаться, что грани куба – равные квадраты, все стороны квадрата- равные отрезки .
При знакомстве с понятиями площадь и объем можно установить аналогию между едини-цами длины и единицами площади, между единицами объема и единицами площади. Также следует обратить внимание на сходство в формулировках определений и понятий. Например, повторив с учащимися понятие квадратный сантиметр (квадратный сантиметр – это площадь квадрата со стороной 1 см), можно попросить самостоятельно дать определение понятию кубический сантиметр.
Таким образом, поиск решения по аналогии сводится к следующему: 1.Подбираем задачу, аналогичную исходной,то есть со сходными условиями и заключениями. 2.Решив вспомогательную задачу,проводят аналогичные рассуждения для решения исходной Умозаключение по аналогии можно выразить следующей схемой:
Объекты
А
B Cвойства объектов
a b c d
a b c x Вывод: x=d
При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассмотрения какого – либо объекта (“модели”), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования) в каком- либо смысле объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогии, носят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются одним из источ-ников научных гипотез,индуктивных рассуждений,играют важную роль в научных открытиях .….Обратимся к индукции - другому эвристическому методу. Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям явля-ется закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему (от лат. inductio – наведение). Рассмотрение частных случаев наводит на решение задачи в общем случае. Если задача трудная, то полезно попытаться выделить какой-либо очень простой частный случай, с которым можно справиться. Далее можно переходить к другим, более сложным частным случаям до тех пор, пока не получится решить исходную задачу. Переход от рассмотренной задачи к ее обобщению тоже позволяет обнаружить способ решения исходной задачи. В самом деле, к более общей задаче могут быть применены методы, которые не применимы к исходной. В частности, к поиску решения более общей задачи можно применить индукцию. Рассмотрим пример 1 . Выяснить без таблиц , что больше е 0,7 или 1,7 ?.................. Решение. Сформулируем более общую задачу: «Что больше ех или 1+х при 0<х<1 ? Для ее решения исследуем функцию f(x)= 1+x - ех на возрастание и убывание. Имеем f ' (x)= 1- ех < 0 при х>0, поэтому f (x) при х>0 убывает. Значит, f (x) < f (0) при х>0, так что 1+ х - ех <0 при х>0, в частности, е 0,7 > 1,7 . …..Приведем пример,в котором для поиска решения используем некоторые частные случаи. Задача. В Древнем Египте для вычисления площади четырехугольника со сторонами а,b,c,d использовали формулу . Докажите или опровергните это! Рассмотрим два частных случая: квадрат со стороной 1м и ромб со стороной 1 м. Очевидно, что площадь ромба меньше площади квадрата! А египетская формула дает для обоих случаев один и тот же ответ. Значит, она ошибочна.
3.Система эвристик при решении уравнений, неравенств и их систем, использование. . предельных и частных случаев, соображения непрерывности и симметричности.
Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций (непрерывность,ограниченность, четность и др.).
3.1. Соображение непрерывности.
Математики часто делают заключение об истинности математического предложения исходя из соображений непрерывности. Сама идея непрерывности функции ясна школьникам старших классов,если аргумент функции интерпретируется как время.Опираясь на наглядные представления, можно привести такие примеры непрерывных величин: путь, пройденный точкой, непрерывно растет со временем; непрерывно меняется площадь при перемещении отрезка. Отталкиваясь от таких наглядных представлений, можно дать математическое опре- деление того, что величина меняется непрерывно: это значит, что при любом выборе момента t0 в течении малого промежутка времени( t0 - h, t0 +h) значение этой величин величины отли- чается от значения в момент t0 меньше, чем на наперед заданное допустимое отклонение. Если какая-то величина (длина,угол) менялась непрерывно в течении какого-либо промежут- ка времени и в начальный момент была меньше какой-то постоянной величины «а», а в конечный момент - она больше«а», то в какой-то промежуточный момент она была равна «а». . Рассмотрим пример 1. Сколько корней имеет уравнение 2х =4· х ? Легко догадаться, что уравнение имеет корень х=4. Имеет ли оно еще хотя бы один корень? При х=0 2х - 4· х > 0 , а при х= 1 2х - 4· х < 0 , поэтому между 0 и 1 найдется такое промежуточное х, что 2х - 4· х = 0. Следовательно, уравнение имеет два корня. . Пример 2. Решите неравенство 2х + 3х +4х < 3 . Решение. Каждая из функций у =2х , у =3х , у = 4х непрерывная и строго возрастающая. По свойству монотонных функций (все функции определены на некотором промежутке D): сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией. Значит, такова и исходная функция y=2х + 3х +4х . При х = 0 функция y= 2х + 3х +4х равна 3. В силу непрерывности и строгой монотонности вышеуказанной функции при х > 0 имеем 2х + 3х +4х >3 , при х < 0 имеем 2х + 3х +4х < 3 . Следовательно, решениями данного неравенства являются все х < 0. Ответ: (-∞; 0).….
. 3.2. Поиск решения при рассмотрении предельных случаев. . Часто при решении задачи надо рассмотреть другую, вспомогательную задачу, которая получается, если в данной задаче, например, какие-либо фигуры заменить их предельными положениями (выбор предельных положений зависит от нас) или вместо исследуемых величин рассматривать их предельные значения. Далее используют следующее соображение: правдоподобно, что вывод, верный в предельном случае, верен и случаях, близких к предельному. Это позволяет получить правдоподобный ответ в исходной задаче, который, строго говоря, требует еще формального обоснования. Нередко оказывается, что к задаче в предельном случае можно свести решение исходной задачи. …..Пример 1. Решите уравнение sin( х 3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2. Решение. Для любого действительного числа х имеем:
sin(x3 + 2х2 + 1) ≤ 1, а х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше 1, то данное уравнение может иметь решение только при х = - 1 . При х = - 1 (-1)2 + 2(-1) + 2 =1 , а sin( -1 + 2·1 + 1)= sin2 ≠ 1, т.е.при х = - 1 корней нет. Ответ: Ø. Пример 2. Доказать неравенство . / /////Рассмотрим вспомогательную задачу, в которой некоторые значения заменим на большие (выбор значений зависит от нас). Последнюю цифру 6 в первом слагаемом левой части заменяем на 8, а последнюю цифру во втором слагаемом на 9. Тогда получим значение больше исходного
36+36+36+36 +26+26+26+26 <36+36+36+38 +26+26+26+29 =
= 36+36+36+2 +26+26+26+3 =36+36+2 +26+26+3=38 +29 = 2+3=5. Следовательно, левая часть неравенства меньше 5. Что и требовалось доказать. . Пример 3. Доказать, что при любом натуральном n выполняется неравенство: / 1 +12 + 13 + ∙ ∙ ∙ + 1n ≥n . Очевидно, что все слагаемые в этой сумме больше последнего. Поэтому рассмотрим другую задачу, в которой все слагаемые заменим на последнее, то есть на меньшее. Тогда получим значение меньше исходного. 12 + 13 + ∙ ∙ ∙ + 1n ≥ =1n+1n+∙∙∙+1n= n раз nn =n . Следовательно, левая часть больше правой. Что и требовалось доказать.
3.3. Использование симметричности уравнения.
Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения рассматриваемого уравнения.
Пример 1. Решить уравнение : х2 –х+135 –5+13=х2х –1255-12Решение. Ввиду симметричности уравнения очевидно, что один из корней есть х1 =5. Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишем уравнение в ином виде. Поскольку справедливы тождественные равенства
х2 –х+1=х-122 +34 и х(х-1)= х-122 - 1 4,
то уравнение можно переписать в виде: х-122+3435-5+13=х-122-14255-12Если х1 =5 корень уравнения , то х2 = 1 - х1  также корень уравнения , поскольку (х1-12 )2= (х2-12 )2, тогда х2 = 1-5 - второй корень уравнения.
Покажем, что если х2 = 1-5( х2 ≠0) есть корень рассмотренного уравнения, то х3 =1х2   также есть корень этого уравнения. Пусть х3 =1х2 - корень уравнения. Тогда
х32 –х3+135 –5+13=х32х3 –1255-12 => 1х22 –1х2+135 –5+13 = 1х221х2 –1255-12 =>
1-х2+х22х2235 –5+13 = 1х221-х2х2255-12 => 1-х2+х223х265 –5+13 = 1х221-х22х255-12 => х22 –х2+135 –5+13 =х22х2 –1255-12. Получилось исходное выражение. Поэтому х3 =1х2=>х3=11-5. По вышерассмотренному, если х3 =11-5 , то существует х4 = 1-х3 , который тоже является корнем уравнения, т.к. (х3-12 )2= (х4-12 )2. Тогда х4 = 1-11-5=1-5-11-5=-51-5=1-1-55=11-15 . Аналогично:если х1 =5,х1≠0 корень уравнения, то х5 =1х1   также корень этого уравнения. Тогда х5 =1х1 => х5 =15 . По вышеизложенному, пусть х5 =15  - корень уравнения. Тогда х6 = 1- х5 => х6 =1-15 . Поскольку уравнение есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более 6шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения .
Ответ: х1 =5 , х2 = 1-5 , х3=11-5,х4=11-15,х5 =15 , х6 =1-15.3251835-177165 Пример 2. Решить систему уравнений:
Решение. Симметричность системы наталкивает на мысль о возможности представления ее в виде в виде суммы квадратов входящих членов. Попробуем это сделать! Из первого уравнения системы вычтем второе уравнение, тогда . x2+ y2 + z2ху-хz-yz=0. Умножим на 2 обе части и получим => (x-y)2+ (x-y)2 +(y- z)2 = 0 => х=у=z. Первое уравнение системы принимает вид : 3x2=12. Следовательно, х=±2. Так как х=у=z, то х1 =2, у1 =2, z1 =2, х2 =2, у2 =2, z2 =2
Ответ: х1 =2, у1 =2, z1 =2, х2 =2, у2 =2, z2 =2.
4. Заключение.
Одним из основных методов, который позволяет проявить творческую активность в процессе обучения умениям решать задачи, является эвристический метод. Поэтому в совершенствовании методов обучения важное место должно занимать формирование у учащихся творческого эвристического мышления. Учитель должен не только дать комплект каких-либо метематических фактов, но и развить их математическую интуицию, привить навыки самостоятельного поиска новых закономерностей, ознакомить с достаточно общими едиными приемами поиска решения задач. И хотя методов гарантированного решения любой задачи не существует, ученик должен получить представление о тех общих приемах, которые особенно часто облегчают поиск решения задач.……………………………………….. ….. Известно, что в процессе изучения математики школьники часто сталкиваются с различными трудностями. Однако в обучении, построенном эвристически, эти трудности часто становятся своеобразным стимулом для изучения. Так, например, если у школьников обнаруживается недостаточный запас знаний для решения какой-либо задачи или доказательства теоремы, то они сами стремятся восполнить этот пробел, самостоятельно "открывая" то или иное свойство и тем самым сразу обнаруживая полезность его изучения. В этом случае роль учителя сводится к тому, чтобы организовать и направить работу ученика, чтобы трудности, которые ученик преодолевает, были ему по силам.
Ценность эвристических уроков по математике заключается в том, что учащиеся самостоятельно добывают новые знания, учаться их применять исходя из уже имеющегося опыта, учитель лишь подводит их к правильному решению.  «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею…» (Пойа Д.) Эвристическое обучение на уроке математики  способствует формированию своей точки зрения, своей позиции, своего математического видения окружающей действительности и миропонимания.  
5. Используемая литература.

1. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов. Журнал “Квантор”, 1991. – 215 с.
2. Балк М.Б, Балк Г.Д. Поиск решения.- Научно-популярная литер..-М.:Дет.лит.,1983,22-143.
3. Балк Г.Д.«О применении эвристических приемов в школьном преподавании «Математика
в школе», изд. «Просвещение», №5,1969,с.21-28 .
4. Балк М.Б,Балк Г.Д. « О привитии навыков эвристического мышления. Журнал «Математика в школе», № 2, 1985, с.55-60.
5. А.С. Штерн, Н.О.Железная. Огрубление как способ доказательства неравенств.
6. Е.С.Муравьев, В.В.Орлов, В.П.Радченко «Функции. Уравнения и неравенства». Учебно-методическое пособие, С.-Петербург, «Образование»,1993.