Методическое пособие Изучаем тригонометрию с интересом
Т.В. Степанова
И.Е. Бородина
Изучаем тригонометрию
с интересом
Методическое пособие для учителей математики
Борисоглебск 2004г
Рецензенты:
Заместитель директора Борисоглебского филиала Воронежского государственного университета по учебной работе, Заслуженный учитель РФ Шаталова М. И.
Заслуженный учитель математики МОУ СОШ №10
Попова Т. И.
Учитель математики первой категории МОУ СОШ №4 Саликова И. И.
Степанова Т. В., Бородина И.Е. Изучаем тригонометрию с интересом. – Борисоглебск: МОУ СОШ№4, 2004.-с.
ISBN
Пособие составлено в помощь учителю математики при подготовке учащихся старших классов к итоговой аттестации в форме ЕГЭ, а также для проведения элективных курсов.
ISBN
©Степанова Т. В.
Бородина И.Е.
©МОУ СОШ №4
МОУ СОШ №4
Т.В. Степанова
И.Е. Бородина
Изучаем тригонометрию с интересом
Методическое пособие для учителей математики
Борисоглебск 2004г
Содержание
Стр.
Введение.
1.Необходимость введения элективных курсов для
учащихся общеобразовательного профиля. 7
2. Изучение аркфункций в школьном курсе алгебры и
начала анализа. 8
3. Примерное тематическое планирование учебного
материала. 9
4. Поурочное планирование. 11
§1.Повторение формул тригонометрии с
использованием углов заданных аркфункций.
Занятие 1.Повторение основных понятий arcsin a, 11
arccos a, arctg a, arcctg a.
Занятие 2. Зависимость между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента. 18
Занятие 3. Формулы приведения. 23
Занятие 4. Формулы сложения. 28
Занятие 5. Формулы двойного аргумента и понижения
степени. 33
Занятие 6. Формулы половинного аргумента.
Универсальная подстановка. 38
Занятие 7. Основные формулы, содержащие
аркфункции. 44
Занятие 8. Контрольная работа №1.(Тест). 52
§2. Обратные функции.
Занятие 9. Обратные функции. 57
Занятие 10. Обратные тригонометрические функции,
их свойства и графики. 63
§3. Решение уравнений и неравенств,
содержащих тригонометрические функции.
Занятие 11. Решение уравнений. 72
Занятие 12. Решение неравенств. 76
Занятие 13. Итоговое тестирование. 80
В данном пособие представлен материал элективного курса по тригонометрии, связанный с обратными тригонометрическими функциями. Этот материал может служить хорошей подготовкой к сдаче ЕГЭ.
Оно написано в соответствии с новой программой школьного курса математики.
Пособие имеет следующую структуру. Первая часть пособия раскрывает целесообразность введения этого курса в школьную программу. Во второй части предлагается примерное тематическое планирование и разработки поурочных планов. К каждому занятию дается система упражнений и тестовые контрольные работы.
Представленный материал содержит тематическое и поурочное планирование, будет полезен учителям и учащимся. Изучать его можно на дополнитель ных занятиях, на факультативе, на спецкурсе по пред мету. В данной разработке отражен в полном объеме теоретический материал по теме, собраны разнооб разные задания с подробными решениями и коммен тариями. Приведен в пример тест, состоящий из 17 заданий (по группам А, В и С) на обратные тригоно метрические функции с решениями и ответами.
Авторы надеются, что пособие окажется полезным не только для учителей математики, но и для учащихся старших классов при подготовке к итоговой аттестации.
Введение.
1. Необходимость введения элективных курсов для
учащихся общеобразовательного профиля.
В связи с дефицитом учебных часов по математике возникла необходимость введения дополнительных занятий для изучения некоторых вопросов программы общеобразовательного профиля. Эти занятия могут проводиться в форме элективных курсов. Программы элективных курсов строятся с учетом следующих требований:
1. Элективный курс должен развивать содержание одного из базовых курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне.
2. Элективный курс способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека. Степень обобщенно сти включенных в программу знаний соответствует поставленным в ней целям обучения и развития мышления школьников.
3. Элективные курсы должны знакомить учащихся с комплексными проблемами, выходящими за рамки традиционных учебных предметов.
4. Элективный курс должен планироваться на одну четверть или на одно полугодие (от 4 часов до 72 часов максимально).
2. Изучение аркфункций в школьном курсе
алгебры и начала анализа.
Значение темы «Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометриче ские функции» в школьном курсе математики труд но переоценить. Любое тригонометрическое уравне ние решается на основе обратных тригонометрических функций. Существует много заданий в тестах ЕГЭ на вычисление значений тригонометрических функций от обратных тригонометрических выражений и, наоборот, на уп рощение выражений, а также на нахождении области определения и области значений обратных тригонометрических функций.
В школьном курсе алгебры и начала анализа изучению этого вопроса уделяется очень мало времени. Рассматриваются понятия аркфункций на уровне, необходимом только для решения тригонометрических уравнений и неравенств, предлагаются упражнения, в которых требуется найти значения аркфункций и выполнить действия над ними.
Хорошей базой для повторения и углубленного изучения тригонометрии на более высоком уровне может служить использование заданий с порой на аркфункции.
Тематическое планирование.
Номера п/п.
Тема урока.
Календарные сроки и количество часов.
§1.Повторение формул тригонометрии с использованием углов заданных аркфункций.
1.
Повторение основных понятий arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a.
Январь (2ч.)
2.
Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Январь (2ч.)
3.
Формулы приведения.
Февраль (2ч.)
4.
Формулы сложения.
Февраль (2ч.)
5.
Формулы двойного и тройного аргументов и понижения степени.
Февраль (2ч.)
6.
Формулы половинного аргумента. Универсальная подстановка.
Март (2ч.)
7.
Основные формулы, содержащие аркфункции.
Март (4ч.)
8.
Контрольная работа №1. (Тест).
Март (2ч.)
§2. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
9.
Обратные и обратимые функции.
Апрель(2ч.)
10.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Апрель (2ч.)
§3.Решение уравнений и неравенств, содержащих тригонометрические функции.
11.
Решение уравнений.
Апрель (4ч.)
12.
Решение неравенств.
Май (4ч.)
13.
Итоговое тестирование.
Май (4ч.)
Поурочное планирование.
Занятие 1.
(2ч.)
Основные понятия arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a.
Цель: повторить основные понятия аркфункций, свойства
функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
Теоретическая часть.
Арксинусом числа а называется такое число (главный угол) из отрезка , синус которого равен а.
Опорная схема.
arcsin a =
· (главный угол)
·13 EMBED Equation.3 1415; (arcsin a13 EMBED Equation.3 1415).
sin
·=a (sin (arcsin a)=a).
13 EMBED Equation.3 1415.
arcsin 13 EMBED Equation.3 1415; arcsin 13 EMBED Equation.3 1415. arcsin(- a)= - arcsin a.
arcsin 0,3 < arcsin 0,8.
Промежуток значений arcsin a на оси ОХ в системе координат.
Арккосинусом числа а называется такое число (главный угол) из отрезка [0,
·], косинус которого равен а.
Опорная схема.
arccos a =
· (главный угол)
·13 EMBED Equation.3 1415; (arccos a13 EMBED Equation.3 1415).
cos
·=a (cos (arccos a)=a).
13 EMBED Equation.3 1415.
arccos13 EMBED Equation.3 1415; arccos13 EMBED Equation.3 1415.
arcos(- a)=
·- arccos a
arccos 0,3 > arccos 0,8.
Промежуток значений arcos a на оси ОХ в системе координат.
Арктангенсом числа а называется такое число (главный угол) из интервала13 EMBED Equation.3 1415, тангенс которого равен а.
Опорная схема.
arctg a =
· (главный угол)
·13 EMBED Equation.3 1415; (arctg a13 EMBED Equation.3 1415).
tg
·=a (tg (arctg a)=a).
13 EMBED Equation.3 1415.
arctg 13 EMBED Equation.3 1415; arctg 13 EMBED Equation.3 1415. arctg (-a)= - arctg a.
arctg 0,3 > arctg 0,8.
Промежуток значений arctg a на оси ОХ в системе координат.
Арккотангенсом числа а называ ется такое число (главный угол) из интервала (0, 13 EMBED Equation.3 1415), котангенс которого равен а.
Опорная схема.
arcctg a =
· (главный угол)
·13 EMBED Equation.3 1415; (arcctg a13 EMBED Equation.3 1415).
ctg
·=a (sin (arcctg a)=a).
13 EMBED Equation.3 1415.
arcctg 13 EMBED Equation.3 1415;
arcctg 13 EMBED Equation.3 1415. arcctg (-a)=
· - arcctg a
arcctg 0,3 > arcctg 0,8.
Промежуток значений arcctg a на оси ОХ в системе координат.
Практическая часть.
Устные упражнения.
№1.Вычислить:
1) arcsin13 EMBED Equation.3 1415 + arctg 1;
2) arccos 1+ arctg 0;
3) arctg13 EMBED Equation.3 1415 +arcsin13 EMBED Equation.3 1415);
4) arсcos 0 - 2arcsin13 EMBED Equation.3 1415;
5) arccos (-13 EMBED Equation.3 1415) + arctg13 EMBED Equation.3 1415;
6)
·- arcctg l;
7) 2 arctg 1 - arcsin 1;
8) arcctg (-13 EMBED Equation.3 1415)- arcos 0;
9) 13 EMBED Equation.3 1415+arctg (-13 EMBED Equation.3 1415).
№2.Что больше:
1) arcsin 1 или 1;
2) arccos 1 или 1;
3) arctg 1 или 1;
4) arcctg 0 или 1?
№3.. Как понимать символы:
arcsin а; arccos а; arctg а; arcctg а?
№4. Какими из четырех символов - arcsin а, arccos а, arctg а,
arcctg а - можно записать:
1) любой угол треугольника;
2) половину угла тре угольника?
№5. При каких значениях а имеют место тождества:
1) sin (arcsin a) = a; 3) tg(arctg a)=a;
2) cos (arcos a) = a; 4) ctg (arcctg a) = a?
№6. Вычислить:
1) sin (arcsin 0,23);
2) cos (arccos 1,2);
3) tg (arctg 2);
4) ctg ( arcctg 13 EMBED Equation.3 1415).
№7. Найти значение выражения:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
= 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415= -6-17= -23.
Ответ:-23.
№8. Найти arcsin (sin 10).
Решение: Если обозначить у = arcsin (sin 10), то по определению sin у = sin 10. Следовательно, необходимо найти такое число y из отрезка13 EMBED Equation.3 1415, для которого
sin у = sin 10. Для начала определим, в какой четверти находится угол в 10 радиан. Поскольку 3
· < 10 <13 EMBED Equation.3 1415, 10 - в III четверти и 10=3
·+
·;
·=10-3
·; 10 = 3
· + (10 -3
·), где
0< 10 - 3
· < 13 EMBED Equation.3 1415. По формулам приведения
sin10 = sin(3
· + (10-3
·)) = - sin(10- 3
·).
Таким образом,
siny = - sin(10-3
·) = sin(3
· - 10), где 13 EMBED Equation.3 1415< 3
· -10 < 0.
Следовательно,
у = arcsin (siny) = аrсsin(sin(3
· -10)) = 3
· - 10.
Ответ: 3
· - 10.
Определение и использование функций arccos x и arctg x аналогично.
№9. Оценить выражение:
5arcsina - 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
№10. Какие из выражений не имеют смысла?
а) arcsin13 EMBED Equation.3 1415 г) arctg 8 ж) arccos (13 EMBED Equation.3 1415
б) arcsin (13 EMBED Equation.3 1415) д) arcctg
· з)arcsin 13 EMBED Equation.3 1415.
в) arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 е) arctg 13 EMBED Equation.3 1415.
№11. При каких значениях х имеет смысл выражения?
а) arcsin (х -5)
б) arcctg 13 EMBED Equation.3 1415
в) arctg 13 EMBED Equation.3 1415
г) arccos (3x)
д)arcsin (x2-5x+6)
е) arcctg 13 EMBED Equation.3 1415
ж)arctg(x2-16)
з)arcos (13 EMBED Equation.3 1415)
и) arctg13 EMBED Equation.3 1415.
Домашнее задание:
№1.Вычислить.
а) arcsin(sin (13 EMBED Equation.3 1415));
б) arcsin(sin(13 EMBED Equation.3 1415).
в) arccos (cos 11);
г) arcos(cos 13 EMBED Equation.3 1415);
д) arctg (tg
·2).
е) arcsin (sin 13);
ж) arccos (cos 17);
№2. Вычислить:
а) arcsin 0+arccos 0+arctg 0;
б) arcsin13 EMBED Equation.3 1415 + arccos 13 EMBED Equation.3 1415 + arctg13 EMBED Equation.3 1415;
в) arcsin 13 EMBED Equation.3 1415+ arccos13 EMBED Equation.3 1415-arctg13 EMBED Equation.3 1415.
№3. При каких значениях х имеет смысл выражения?
arctg 13 EMBED Equation.3 1415; arcctg 13 EMBED Equation.3 1415;
arcsin (15х +45).
№4. Творческое задание.
Придумать примеры аналогичные №7.
Занятие 2.
(2ч.)
Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Цель: повторить формулы зависимости между
тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента; рассмотреть нахождение значений
выражений вида sin (arccos a), cos (arcsin a),
sin (arctg a), tg (arcos a) и т.д.
Самостоятельная работа.
Вариант А1
1. Вычислите:
а) arcsin 1 - arctg 0;
б) arccos13 EMBED Equation.3 1415+ arctg (-13 EMBED Equation.3 1415);
в)ctg (arcsin13 EMBED Equation.3 1415).
2. Сравните числа:
arcsin (-13 EMBED Equation.3 1415) и arccos (-13 EMBED Equation.3 1415).
3. Определите, имеет ли смысл выражение
arcsin (x-1) при х =13 EMBED Equation.3 1415; х = 0,9; х = sin(-13 EMBED Equation.3 1415). Объясните ответ.
Вариант А2
1. Вычислите:
a) arccos 0 - arctg 1;
б) arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415) + arctg13 EMBED Equation.3 1415;
в)tg(arccos13 EMBED Equation.3 1415).
2. Сравните числа:
arcсos(-13 EMBED Equation.3 1415) и arcsin (-13 EMBED Equation.3 1415).
3. Определите, имеет ли смысл выражение
arcos (x+1) при х = -13 EMBED Equation.3 1415; х = cos13 EMBED Equation.3 1415; x = -13 EMBED Equation.3 1415. Объясните ответ.
Теоретическая часть.
Вспомнить формулы:
sin2
·+cos2
· = 1;
tg
· = 13 EMBED Equation.3 1415
ctg
· = 13 EMBED Equation.3 1415
tg
·
· ctg
· = 1, 13 EMBED Equation.3 1415
1 + tg2
· = 13 EMBED Equation.3 1415
1+ ctg2
· = 13 EMBED Equation.3 1415
Практическая часть.
№ 1. Вычислить:
а) sin (arccos 13 EMBED Equation.3 1415);
(целесообразно показать различные способы выполнения
этого задания)
Решение.
способ (по определению arcos а).
а) Пусть arccos 13 EMBED Equation.3 1415 =(, тогда соs ( =13 EMBED Equation.3 1415, 0
· arccos а
·
·,
а =13 EMBED Equation.3 1415>0, поэтому 0<(<13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда sin ( - 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
способ (с использованием прямоугольного треугольника). Таким способом лучше пользоваться при выполнении заданий ЕГЭ.
sin (arccos 13 EMBED Equation.3 1415).
arccos 13 EMBED Equation.3 1415=
·, (
·-острый угол); cos
· =13 EMBED Equation.3 1415.
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Построим прямоугольный треугольник, выберем один из острых углов, по определению косинуса прилежащий катет принимаем за две единицы, а гипотенузу за семь единиц. Вычислим второй катет по теореме Пифагора. Из треугольника выразим значения нужной тригонометрической функции. В нашем случае sin
·.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
sin
· =13 EMBED Equation.3 1415; sin (arccos 13 EMBED Equation.3 1415) =13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание: по этому чертежу можно найти
tg (arccos 13 EMBED Equation.3 1415)= 13 EMBED Equation.3 1415, ctg (arccos 13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415.
б) cos (arcsin (13 EMBED Equation.3 1415 ));
Решение:
Пусть arcsin (13 EMBED Equation.3 1415 ) =(. Тогда sin ( = 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 < ( < 0.
Отсюда cos ( = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
д) arccos (cos 10);
Решение: Для этого преобра зуем соs 10 так, чтобы аргумент косинуса «лежал» между числами
0 и
·. Имеем:
cos 10 - cos (10 - 4
·), где 0 < 4
· -10 <
· .
Таким образом,
arccos (cos 10) = arccos (cos (4
· - 10)) = 4
· < 10.
Ответ: 4
· - 10.
е) arcctg (ctg (- 14)).
Решение: При условии, что аргумент ( котангенса таков, что
0 < ( <
· воспользуемся перио дичностью ctg х. Имеем:
ctg (- 14) = ctg (5
· - 14), где 0 < 5
· - 14<
·.
Следовательно,
arcctg (ctg (- 14)) = arcctg (ctg (5
· - 14)).
Ответ: 5
· - 14.
№2. Найти значение выражения.
tg(arccos13 EMBED Equation.3 1415;
Ответ: 24
б) cos(arctg2);
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
в) ctg(arctg4);
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
г) sin(arcctg13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Домашнее задание:
№1.Вычислить:
а) arctg (tg 13 EMBED Equation.3 1415); е)tg(arcsin13 EMBED Equation.3 1415);
б) arcsin (sin 13); ж) sin(arctg 6) + cos(arctg 6);
в) arccos (cos 17); з) tg(arcctg 5) + ctg (arctg 5);
г) arctg (tg 18); и)sec(arctg 9) + cosec (arctg 9);
д) arcctg (ctg (- 19)); к) tg2(arccos13 EMBED Equation.3 1415.
Занятие 3.
(2ч.)
Формулы приведения.
Цель: повторить формулы приведения; рассмотреть нахождение
значений выражений вида sin (
·±arccos a), cos (13 EMBED Equation.3 1415arcsin a),
sin (13 EMBED Equation.3 1415arctg a) и т.д.
Теоретическая часть.
Повторить таблицу с формулами приведения, вспомнить мнемоническое правило.
х
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
· +
·
· -
·
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2
·+
·
2
·-
·
sinx
cos
·
cos
·
-sin
·
sin
·
-cos
·
-cos
·
sin
·
-sin
·
cosx
-sin
·
sin
·
-cos
·
-cos
·
sin
·
-sin
·
cos
·
cos
·
tgx
-ctg
·
ctg
·
tg
·
-tg
·
-ctg
·
ctg
·
tg
·
-tg
·
ctgx
-tg
·
tg
·
ctg
·
-ctg
·
-tg
·
tg
·
ctg
·
-ctg
·
Знак приведенной функции угла
· совпадает со знаком приводимой функции при условии, что
· находится в первой четверти (хотя сами формулы верны для любого угла
·), функция меняется на «кофункцию» , если формула приведения содержит углы 13 EMBED Equation.3 1415, и функция не меняется, если формула содержит угол
·.
Практическая часть.
№1. Найти значение выражения:
а) sin(13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
sin(13 EMBED Equation.3 1415=sin(13 EMBED Equation.3 1415= sin(13 EMBED Equation.3 1415
= sin(13 EMBED Equation.3 1415=cos(13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
б) cos(13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Так как arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415) = -arcsin13 EMBED Equation.3 1415, то cos(13 EMBED Equation.3 1415=cos(13 EMBED Equation.3 1415= -sin(arcsin13 EMBED Equation.3 1415)= -13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: -13 EMBED Equation.3 1415.
в) tg13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Так как arccos (-13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415, то tg13 EMBED Equation.3 1415=
= tg13 EMBED Equation.3 1415= tg13 EMBED Equation.3 1415= сtg13 EMBED Equation.3 1415
Найдем сtg13 EMBED Equation.3 1415 с помощью прямоугольного треугольника.
13 EMBED Equation.3 1415=
·
cos
· =13 EMBED Equation.3 1415
ctg
· = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
г) ctg(arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415).
Решение:
Так как arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415= - arcsin13 EMBED Equation.3 1415, то ctg(arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415)=
=ctg(-arcsin13 EMBED Equation.3 1415) = ctg(
·-arcsin13 EMBED Equation.3 1415) = - ctg(arcsin13 EMBED Equation.3 1415).
Найдем сtg13 EMBED Equation.3 1415 с помощью прямоугольного треугольника.
arcsin13 EMBED Equation.3 1415
2 sin
· = 13 EMBED Equation.3 1415
ctg
· = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Тренировочные задания.
№2.Вычислить.
sin2(
·-arccos13 EMBED Equation.3 1415) + sin2(13 EMBED Equation.3 1415) + sin (13 EMBED Equation.3 1415).
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415.
б) tg (arcsin 0,8+13 EMBED Equation.3 1415) – 2ctg(arcsin 0,8-13 EMBED Equation.3 1415).
Ответ: 113 EMBED Equation.3 1415.
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем tg13 EMBED Equation.3 1415 с помощью прямоугольного треугольника
arcsin0,25 =
·
sin
· =0,25
sin
· = 13 EMBED Equation.3 1415
tg
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415= 1+13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Домашнее задание.
№1.Вычислить.
а) tg(13 EMBED Equation.3 1415+sin2(13 EMBED Equation.3 1415);
б) sin (arccos0,2 -
·);
в) tg (arcos13 EMBED Equation.3 1415);
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Занятие 4.
(2ч.)
Формулы сложения.
Цель: повторить формулы сложения, рассмотреть нахождение
выражений вида sin(arcos a + arcsin b), cos(arctg a + arcos b)
и т.д.
Теоретическая часть.
sin(
· +
·) = sin
· cos
· + cos
· sin
·
sin(
· -
·) = sin
· cos
· - cos
· sin
·
cos (
· +
·) = cos
· cos
· - sin
· sin
·
cos (
· -
·) = cos
· cos
· + sin
· sin
·
tg(
· +
·) =13 EMBED Equation.3 1415,
tg(
· -
·) = 13 EMBED Equation.3 1415,
ctg(
· +
·) = 13 EMBED Equation.3 1415,
ctg(
· -
·) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическая часть.
№1.Найти значение выражения:
sin (arcsin13 EMBED Equation.3 1415-arccos13 EMBED Equation.3 1415).
Решение.
Используя формулу sin(
· -
·) = sin
· cos
· - cos
· sin
·, получаем
sin (arcsin13 EMBED Equation.3 1415-arccos13 EMBED Equation.3 1415) =
sin (arcsin13 EMBED Equation.3 1415) cos(arccos13 EMBED Equation.3 1415) - cos (arcsin13 EMBED Equation.3 1415) sin(arccos13 EMBED Equation.3 1415) =
13 EMBED Equation.3 1415 cos (arcsin13 EMBED Equation.3 1415) sin(arccos13 EMBED Equation.3 1415).
Чтобы найти cos (arcsin13 EMBED Equation.3 1415) и sin(arccos13 EMBED Equation.3 1415), используем формулы
sin13 EMBED Equation.3 1415; cos13 EMBED Equation.3 1415.
Так как arcsin13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, arccos13 EMBED Equation.3 1415, то получаем
cos (arcsin13 EMBED Equation.3 1415) =13 EMBED Equation.3 1415.
sin(arccos13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415.
sin (arcsin13 EMBED Equation.3 1415-arccos13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415= - 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: - 13 EMBED Equation.3 1415.
№2. Вычислить.
cos(arcsin13 EMBED Equation.3 1415 - arccos(-13 EMBED Equation.3 1415)).
Решение.
Обозначим arcsin13 EMBED Equation.3 1415 =
· , arccos(-13 EMBED Equation.3 1415) =
·. Тогда
cos(arcsin13 EMBED Equation.3 1415 - arccos(-13 EMBED Equation.3 1415)) = cos (
· -
·) = cos
· cos
· + sin
· sin
·.
Так как arcsin13 EMBED Equation.3 1415 =
·, то sin
·=13 EMBED Equation.3 1415 и
· находится в первой четверти, следовательно, cos13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Так как
arccos(-13 EMBED Equation.3 1415) =
·, то cos
· = - 13 EMBED Equation.3 1415 и
· находится во второй четверти, следовательно, sin13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, получаем
cos (
· -
·) =13 EMBED Equation.3 1415
· (- 13 EMBED Equation.3 1415) + 13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№3. Вычислить:
sin(arctg3 – arctg2).
Решение:
Обозначим
· =arctg3,
· = arctg2. Тогда
sin(arctg3 – arctg2) = sin(
· -
·) = sin
· cos
· - cos
· sin
· =
=( tg
· - tg
·)
·cos
· cos
·. Так как
· =arctg3, то tg
· = 3 и
· находится в первой четверти и , следовательно, cos
· >0. По формуле получим cos
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как
· = arctg2, то tg
· =2 и
· находится в первой четверти и, рассуждая аналогично, получим cos
· =13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно,
sin(
· -
·) = (3-2)
·13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№4. Вычислить.
tg13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
tg13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем tg(arccos13 EMBED Equation.3 1415)
arccos13 EMBED Equation.3 1415
cos
· = 13 EMBED Equation.3 1415
tg
· = 13 EMBED Equation.3 1415
tg(arccos13 EMBED Equation.3 1415) =13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Тренировочные задания.
№5.Вычислить:
cos (arcsin 13 EMBED Equation.3 1415+ arctg 13 EMBED Equation.3 1415);
cos( arccos 13 EMBED Equation.3 1415- arctg 13 EMBED Equation.3 1415).
sin( arcsin0,6 + arctg(-13 EMBED Equation.3 1415));
sin( arcos 13 EMBED Equation.3 1415- arcctg 13 EMBED Equation.3 1415);
tg(arcsin0,6 - arctg2,4);
ctg( arctg 13 EMBED Equation.3 1415 + arcctg 13 EMBED Equation.3 1415);
sin ( arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 arсsin13 EMBED Equation.3 1415).
sin(arctg2 + arctg3).
tg (arcsin13 EMBED Equation.3 1415 + arccos13 EMBED Equation.3 1415).
sin(arcctg 3 + arcctg 4);
sin (arctg13 EMBED Equation.3 1415);
ctg(13 EMBED Equation.3 1415;
sin(arctg8-arcctg6) ;
tg(arctg1+arcsin0,3).
Домашнее задание.
№1. Вычислить.
а) sin(arcsin13 EMBED Equation.3 1415+arccos(-13 EMBED Equation.3 1415));
б) cos(arctg 13 EMBED Equation.3 1415+arctg(-2));
в) tg(arctg2+arctg3);
г)tg(arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415) + arccos(-13 EMBED Equation.3 1415)).
№2. Найти значения выражений
а) sin(arcsin13 EMBED Equation.3 1415-arccos13 EMBED Equation.3 1415);
б) sin(arcsin1 – arccos1);
в) cos(2arctg1);
г) cos(4arctg(-1)).
Занятие 5.
(2ч.)
Формулы двойного и тройного аргументов и понижения степени.
Цель: повторить формулы двойного аргумента и понижения
степени, рассмотреть нахождение выражений вида
sin(2arccosa), cos(2arctga), tg(2arcsina), sin2(arccosa) и т.д.
Теоретическая часть.
Формулы двойных и тройных аргументов.
sin2
· = 2sin
· cos
·;
cos2
· = cos2
· – sin2
· = 2cos2
· -1 = 1- 2sin2
·;
tg2
· = 13 EMBED Equation.3 1415;
ctg2
· = 13 EMBED Equation.3 1415;
sin3
· = 3sin
· – 4sin3
·;
tg3
· =13 EMBED Equation.3 1415;
cos3
· = 4cos3
· – 3cos
·;
ctg3
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы понижения степени.
sin2
· = 13 EMBED Equation.3 1415;
cos2
· = 13 EMBED Equation.3 1415;
sin3
· = 13 EMBED Equation.3 1415;
cos3
· =13 EMBED Equation.3 1415;
sin4
· = 13 EMBED Equation.3 1415;
cos4
· =13 EMBED Equation.3 1415.
Практическая часть.
№1. Вычислить.
а)sin(2arccos13 EMBED Equation.3 1415).
Решение: arccos13 EMBED Equation.3 1415=
·; cos
· =13 EMBED Equation.3 1415; arccos
·13 EMBED Equation.3 1415, т.е. arccos13 EMBED Equation.3 1415 находится в первой четверти. Рассмотрим прямоугольный треугольник: sin
· =13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу
sin2
· = 2sin
· cos
·, получим sin(2arccos13 EMBED Equation.3 1415) = 2
·13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
б) cos(2arctg13 EMBED Equation.3 1415).
Решение: cos(2arctg13 EMBED Equation.3 1415) = cos2(arctg13 EMBED Equation.3 1415 - sin2(arctg13 EMBED Equation.3 1415) =
= 1-2sin2(arctg13 EMBED Equation.3 1415) = 1-213 EMBED Equation.3 1415.
(пусть
·= arctg13 EMBED Equation.3 1415; tg
· =13 EMBED Equation.3 1415; arctg13 EMBED Equation.3 1415-угол первой четверти; из прямоугольного треугольника находим sin
· = 13 EMBED Equation.3 1415).
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415.
№2. Упростим выражение cos (2arcsin х).
Решение: cos (2arcsin x) = cos2 (arcsin x) - sin2 (arcsin х) =
(1-х2)-х2=1-2х2.
Ответ: 1-2х2.
№3.Упростить выражение sin (arctg x).
Решение: Положим у = arctg х. Тогда tgy = х, 13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы найти cosy, воспользуемся равенством cos2y =13 EMBED Equation.3 1415. Но13 EMBED Equation.3 1415, а на этом интервале косинус принимает лишь по ложительные значения. Поэтому cos у = 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
cos (arctg х) = 13 EMBED Equation.3 1415
Так как sin у = tg у
· cosy, то sin (arctg х) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№4. Вычислить.
sin(3arccos13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: sin(3arccos13 EMBED Equation.3 1415= 3sin(arccos13 EMBED Equation.3 1415)- 4sin3(arccos13 EMBED Equation.3 1415).
sin(arccos13 EMBED Equation.3 1415) учащиеся могут уже вычислять устно с помощью прямоугольного треугольника. cos
· =13 EMBED Equation.3 1415, sin
· =13 EMBED Equation.3 1415.
sin(3arccos13 EMBED Equation.3 1415= 313 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№5.Вычислить.
cos2(13 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415).
Решение:
cos2(13 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415.
cos(arctg13 EMBED Equation.3 1415) =13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется через прямоугольный треугольник.
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№6. Вычислить.
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Используя формулу sin3
· = 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415= sin3(arccos0,2) .
sin(arccos0,2) = 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется через прямоугольный треугольник.
13 EMBED Equation.3 1415= (13 EMBED Equation.3 1415)3 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№7. Вычислить, используя формулу
cos4
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415= cos4(arccos13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Самостоятельная работа.
Вычислить:
cos (2 arctg 2);
tg (2 arcsin13 EMBED Equation.3 1415).
cos(2arcsin13 EMBED Equation.3 1415);
cos( 2arcctg(13 EMBED Equation.3 1415));
sin2(13 EMBED Equation.3 1415;
sin2(arctg13 EMBED Equation.3 1415;
Домашнее задание.
№1.Вычислить.
а) tg(2arctg4);
б) cos(2arcsin 0,8);
в) ctg (2 arcsin 1);
г)sin(2 arccos 0,6);
д)tg (2 arcsin 13 EMBED Equation.3 1415).
е)sin(2arcsin13 EMBED Equation.3 1415);
ж) sin2(arccos13 EMBED Equation.3 1415);
з) sin(2arcsin13 EMBED Equation.3 1415);
и) cos(2arctg2) - sin(4arctg3);
к) cos(3arccos0,1);
л) cos (2 arccos 13 EMBED Equation.3 1415);
м) cos (3 arcsin 13 EMBED Equation.3 1415);
н) sin (2arctg 5).
№2. Используя формулу cos3
· = 13 EMBED Equation.3 1415, вычислите
13 EMBED Equation.3 1415.
Занятие 6.
(2ч.)
Формулы половинного аргумента. Универсальная подстановка.
Цель: повторить формулы половинного аргумента,
рассмотреть нахождение выражений вида
tg(13 EMBED Equation.3 1415), cos(13 EMBED Equation.3 1415), tg(13 EMBED Equation.3 1415arccosa) и т.д.;
повторить формулы «универсальной подстановки»
и реализовать их через аркфункции; проверить
знания по изученному материалу.
Теоретическая часть.
Формулы половинного аргумента.
sin13 EMBED Equation.3 1415; cos13 EMBED Equation.3 1415;
tg13 EMBED Equation.3 1415
tg13 EMBED Equation.3 1415
tg13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы универсальной подстановки.
sin
· =13 EMBED Equation.3 1415; cos
· =13 EMBED Equation.3 1415;
tg
· = 13 EMBED Equation.3 1415; ctg
· = 13 EMBED Equation.3 1415
Практическая часть.
№1.Вычислим.
cos(13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415=
·. Тогда sin
· = -0,8.Следовательно,cos
·>0 согласно определению arcsin
·. Используя основное тригонометрическое тождество, получим
cos
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как
·13 EMBED Equation.3 1415, то cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, cos(13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Тренировочные задания:
a) tg(13 EMBED Equation.3 1415arctg3);
б) ctg(13 EMBED Equation.3 1415);
в) sin(13 EMBED Equation.3 1415;
г) sin(2arctg13 EMBED Equation.3 1415
д) tg(13 EMBED Equation.3 1415
ж) 7(tg(13 EMBED Equation.3 1415
з)ctg(13 EMBED Equation.3 1415
и)13 EMBED Equation.3 1415
к)sin(2arctg0,5)+tg(0,5arcsin13 EMBED Equation.3 1415;
№2. Вычислить sin(13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Пусть arcctg (-13 EMBED Equation.3 1415=
·. Тогда ctg
· = -13 EMBED Equation.3 1415, 0<
·<
·
(точнее, 13 EMBED Equation.3 1415<
·<
·, так как ctg
·<0). Нужно вычислить sin13 EMBED Equation.3 1415. Имеем: tg13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу 1 + tg2
· = 13 EMBED Equation.3 1415находим cos2
· =13 EMBED Equation.3 1415. Но по условию 13 EMBED Equation.3 1415<
·<
·, а в этом интервале cos
· < 0, следовательно, cos
· = - 13 EMBED Equation.3 1415 Зная cos
·, можно найти sin13 EMBED Equation.3 1415, воспользовавшись формулой 1 - cos
· = 2sin213 EMBED Equation.3 1415. Получаем
sin2 13 EMBED Equation.3 1415, откуда sin 13 EMBED Equation.3 1415, или sin 13 EMBED Equation.3 1415Но 13 EMBED Equation.3 1415
а в этом интервале синус принимает только положительные значения. Таким образом,
sin13 EMBED Equation.3 1415.
Отевт: 13 EMBED Equation.3 1415.
№3.Вычислить:
sin (13 EMBED Equation.3 1415 arctg 13 EMBED Equation.3 1415).
cos (13 EMBED Equation.3 1415 arcsin 13 EMBED Equation.3 1415).
№4. Вычислить значение tg(13 EMBED Equation.3 1415arсctg 3).
Решение. Обозначим
· = arсctg 3. Тогда ctg
· = 3, 0 <
· <
·/2. Вычислим теперь значения sin
· и cos
·. Имеем
sin
· =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
cos
· =13 EMBED Equation.3 1415.
Используя формулу tg13 EMBED Equation.3 1415, получаем
tg13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№5. Вычислить.
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Используя формулу sin
· =13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415=sin(arcsin(-0,4))= - 0,4.
Ответ: -0,4.
№6. Вычислить.
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Используя формулу cos
· =13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415= cos (arcsin0,7).
cos (arcsin0,7) = 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется через прямоугольный треугольник.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Домашнее задание.
Домашняя контрольная работа.
Вариант 1.
№1. Определите, при каких значениях параметра а выполняется
тождество, и докажите его:
sin(arccos a) =13 EMBED Equation.3 1415;
ctg(arctgа) = 13 EMBED Equation.3 1415;
tg(arcsina) = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
cos(arctga) = 13 EMBED Equation.3 1415;
arcsina + arccos a = 13 EMBED Equation.3 1415.
№2. Вычислить.
sin(2arccos13 EMBED Equation.3 1415);
ctg(13 EMBED Equation.3 1415);
sin(arctg3 – arcctg (-13 EMBED Equation.3 1415)).
№3.Доказать тождество.
1) arctg х + arcctg х = 13 EMBED Equation.3 1415 , х R;
2) arctg x = arcctg 13 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415.
№4. Учитывая область значений аркфункций, вычислите:
arccos(cos10);
arctg (ctg13 EMBED Equation.3 1415).
Вариант 2.
№1. Определите, при каких значениях параметра а выполняется
тождество, и докажите его:
cos(arcsin a) = 13 EMBED Equation.3 1415;
tg(arctg a) = 13 EMBED Equation.3 1415;
tg(arccos a) = 13 EMBED Equation.3 1415;
sin(arctga) = 13 EMBED Equation.3 1415;
arctga +arcctga = 13 EMBED Equation.3 1415.
№2. Вычислить.
cos(13 EMBED Equation.3 1415;
ctg(2arcsin13 EMBED Equation.3 1415);
cos(arctg13 EMBED Equation.3 1415- arcctg3).
№3.Доказать тождество.
1) arcsin х = arccos 13 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415,
2) cos (arcsin x) = 13 EMBED Equation.3 1415, х .
№4. Учитывая область значений аркфункций, вычислите:
arcsin(sin6);
arcctg( tg13 EMBED Equation.3 1415).
Занятие 7.
(4ч.)
Основные формулы, содержащие аркфункции.
Цель: рассмотреть доказательство формул, содержащих аркфункции.
Теоретическая часть.
1 группа формул.
sin(arcsinx) = x , 13 EMBED Equation.3 1415
cos(arccosx) = x, 13 EMBED Equation.3 1415
tg(arctgx) = x, х 13 EMBED Equation.3 1415 R,
ctg (arcctg x) = х, х 13 EMBED Equation.3 1415 R.
Доказательство этих формул следует из определения аркфункций.
2 группа формул.
sin(arccosx) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
cos(arcsinx) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
tg(arcsinx) = 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
tg(arccosx) = 13 EMBED Equation.3 1415, х13 EMBED Equation.3 1415
ctg(arcsinx) = 13 EMBED Equation.3 1415, х13 EMBED Equation.3 1415
ctg(arccosx) = 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
cos(atctgx) = 13 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415 R
cos(arcctgx) = 13 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415 R.
tg(arcctgx) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
ctg(arctgx) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
arcsin (sinx) = x, х .
arccos (cos x) = x , х .
arctg (tg x) = x, х 13 EMBED Equation.3 1415.
arcctg (ctg x) = x, х 13 EMBED Equation.3 1415;
Рассмотрим доказательство формул 5, 7, 11, 14. Остальные доказываются аналогично.
5) sin(arccosx) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство.
arccosx =
·, cos
· = x,
·13 EMBED Equation.3 1415. Найдем sin
·.
sin2
· = 1- cos2
·.
sin
·>0, т.к.
·13 EMBED Equation.3 1415.
sin
· =13 EMBED Equation.3 1415.
7)tg(arcsinx) = 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство.
tg(arcsinx) = 13 EMBED Equation.3 1415.
11) cos(atctgx) = 13 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415 R.
Доказательство.
atctgx =
· , tg
· =x , atctgx13 EMBED Equation.3 1415.
1+ tg2
· = 13 EMBED Equation.3 1415; cos2
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
cos
· >0, т.к.
·13 EMBED Equation.3 1415. cos
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
14)ctg(arctgx) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство.
ctg(arctgx) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Основные соотношения.
1группа: формулы отрицательного аргумента.
19) arcsin (- х) = -arcsin х, х ,
20) arctg (- х) = - arctg х, х R;
21) arccos (- х) = 13 EMBED Equation.3 1415 - arccos х, х ,
22) arcctg (- х) = 13 EMBED Equation.3 1415 - arcctg х, х R;
2группа: выражения обратных тригонометрических функций через другие функции:
23) arcsin х + arccos x = 13 EMBED Equation.3 1415, х ,
24) arctg х + arcctg х = 13 EMBED Equation.3 1415 , х R;
25) arcsin х = arccos 13 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415,
26) arctg x = arcctg 13 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415.
3группа: сумма и разность обратных тригонометрических функций.
27)
arccosx +arcsinу=13 EMBED Equation.3 1415
28) arctg x + arctg у = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
29) arcctg х + arcctg у = arcctg13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
30) arcctg x - arcctg у = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Докажем 23 и 27 формулы.
23) arcsin х + arccos x = 13 EMBED Equation.3 1415, х .
Положим arcsin х = (, arccos x =
·. Отсюда х = sin(,
x = cos
· и, следовательно,
sin( = cos
· = sin (13 EMBED Equation.3 1415-
·). По условию ( ,
· .
Из последних неравенств следует, что 13 EMBED Equation.3 1415-
· .
Таким образом, имеем равенство синусов от двух углов, лежащих в первой положительной или в первой отрицательной четверти. Но это равенство может иметь место только в том случае, если сами углы равны: ( = 13 EMBED Equation.3 1415-
·, откуда ( +
· = 13 EMBED Equation.3 1415, или arcsin х + arccos x = 13 EMBED Equation.3 1415.
27) Если х, у13 EMBED Equation.3 1415, то
arccos x + arccos у = arccos ( xy - 13 EMBED Equation.3 1415).
Доказательство. Имеем при х, у13 EMBED Equation.3 1415:
arccos x + arccos у = (13 EMBED Equation.3 1415- arcsin x) + (13 EMBED Equation.3 1415 - arcsin у) =
13 EMBED Equation.3 1415 - ( arcsin x + arcsin у) =
= 13 EMBED Equation.3 1415 - arccos (13 EMBED Equation.3 1415- xy) = arccos ( xy - 13 EMBED Equation.3 1415).
Следствие 1. 2arccos х = arccos (2х2 - 1),х .
Предложим теперь несколько теорем для самостоятель ного доказательства с помощью указанных тождеств.
Теоремы.
ТЕОРЕМА 1. arcsin х = arctg 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
ТЕОРЕМА 2. arccos х = arctg 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
ТЕОРЕМА 3. arctg x = arcsin 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
ТЕОРЕМА 4. arcctg х = arccos 13 EMBED Equation.3 1415, х .
ТЕОРЕМА 5. 13 EMBED Equation.3 1415arccos x = arccos 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
ТЕОРЕМА 6. 2arcsin х = arccos (1 - 2х2), х 13 EMBED Equation.3 1415.
ТЕОРЕМА 7. 2arctg х = arcctg 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 .
Замечание: этими формулами учащиеся пользуются редко.
Практическая часть.
№1. Докажите, что:
а) arctg13 EMBED Equation.3 1415 + arctg13 EMBED Equation.3 1415= arctg 1;
б) 2arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 = arccos13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Для доказательства достаточно показать, что значения некоторой тригонометрической функции f от обеих частей совпадают между собой: f (() = f (
· ), но при условии, что функция f принимает каждое свое значение один и только один раз на том промежутке, в котором лежат углы ( и
·. Таким свойством обладают, в частно сти, монотонные функции.
а) Поскольку13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 1 - положительные числа, то все углы
( = arctg13 EMBED Equation.3 1415,
· = arctg13 EMBED Equation.3 1415,
· = arctg 1 лежат в первой четверти 13 EMBED Equation.3 1415 и следовательно, обе части проверяемого равенства таковы, что 0<( +
·,
· <
·. На интервале (0;
·) монотонными будут cos х и ctg ху но вычислять значения этих функций неудобно в нашем примере. Поэтому сузим интервал для ( и
·. Так как 0 < 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 < 1, то 0 < (,
· <13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, сумма 0 < ( +
· <13 EMBED Equation.3 1415, а на интервале (0; 13 EMBED Equation.3 1415) монотонны все четыре основные тригонометриче ские функции: sin x, cos x, tg x, ctg x. Удобнее всего вы числить tg (( +
·). Имеем tg (( +
·) =13 EMBED Equation.3 1415 =1 и tg
· = 1. Поскольку на интервале (0; 13 EMBED Equation.3 1415) функция у = tg x один раз принимает каждое свое значение, то из равенства tg((+
·)= tg
· следует, что ( +
· =
·.
б) Имеем 0 < 13 EMBED Equation.3 1415 < 1, следовательно, угол (= arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 таков, что 0 < ( < 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда обе части проверяемого равенства заключены между 0 и
·. Но на интервале (0;
·) моно тонной является функция cos x. Имеем
cos 2 ( = 1 - 2sin
·2 ( = 1 - 2 · 4 · 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = cos (arсcos13 EMBED Equation.3 1415) и равенство задания «б» справедливо.
№2. Вычислить.
arccos (cos 11);
arctg (tg (- 9));
arcos(cos 13 EMBED Equation.3 1415);
arcsin (cos 13 EMBED Equation.3 1415);
arccos (sin13 EMBED Equation.3 1415);
arctg (tg
·2).
№3. Докажите, что:
а) 2arctg 2- arctg 13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415;
б) 4arctg13 EMBED Equation.3 1415 - arctg 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415;
в) arctg13 EMBED Equation.3 1415+ arctg13 EMBED Equation.3 1415+ arctg13 EMBED Equation.3 1415+ arctg13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415;
г) arctg13 EMBED Equation.3 1415 + arcsin 13 EMBED Equation.3 1415= arctg 13 EMBED Equation.3 1415.
№4. Вычислите:
а) arcsin (sin 13);
б) arccos (cos 17);
в) arctg (tg 18);
r) arcctg (ctg (- 19));
д) arcsin ( sin13 EMBED Equation.3 1415);
е) arccos (cos З
·);
ж) arctg (tg 91°);
№5. Докажите, что arccos 13 EMBED Equation.3 1415- arccos13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
№6. Докажите, что:
а) 2 arcsin 0,8 +arcos (-0,8) =
·+arcsin13 EMBED Equation.3 1415;
б) 2arctg13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 arctg 13 EMBED Equation.3 1415= arctg 113 EMBED Equation.3 1415
№7. Доказать тождество
2arctg 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Поскольку 0 < 13 EMBED Equation.3 1415 < 1,
arctg0 = 0 < arctg13 EMBED Equation.3 1415< arctg 1= 13 EMBED Equation.3 1415,
аналогично 0 < arctg13 EMBED Equation.3 1415< 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно,
0 < 2arctg13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415. Кроме того,0 < arctg 3 < 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. значения и левой, и правой частей тождества принадлежат интер валу (0,
·), на котором тангенс принимает каждое значение в единственной точке. Поэтому два числа из этого интервала совпадают тогда и только тогда, когда равны их тангенсы.
Вычислим тангенс левой части, пользуясь формулами тангенса суммы и тангенса двойного угла и обозначив для сокращения выкладок
·= arctg13 EMBED Equation.3 1415 и
·=arctg13 EMBED Equation.3 1415, так что
tg
· = 13 EMBED Equation.3 1415 и tg
· =13 EMBED Equation.3 1415. Получаем, что
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим тангенс правой части tg(arctg3) = 3.
3=3,=> 2arctg 13 EMBED Equation.3 1415
Тождество доказано.
№8. Проверить равенство
arcsin 13 EMBED Equation.3 1415+ arccos13 EMBED Equation.3 1415 = arcctg13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Вычислим котангенс от левой и от правой частей равенства:
13 EMBED Equation.3 1415.
ctg (arcsin13 EMBED Equation.3 1415+ arccos13 EMBED Equation.3 1415) =13 EMBED Equation.3 1415;
ctg (arcctg13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, получаем
ctg (arcsin13 EMBED Equation.3 1415+ arccos13 EMBED Equation.3 1415) = ctg (arcctg13 EMBED Equation.3 1415).
Так как arcsin13 EMBED Equation.3 1415+ arccos13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит промежутку
(0;
·) промежутку монотонности функции котангенс, то из равенства зна чений функции котангенс следует равенство значений аргументов, что и требовалось доказать.
Домашнее задание.
(На первое двухчасовое занятие). Выучить теорию. Доказать ТЕОРЕМЫ 1,3,5 и вывести формулы 4,8,13.
(На второе двухчасовое занятие).
№1. Докажите, что:
а) arctg13 EMBED Equation.3 1415+ arctg13 EMBED Equation.3 1415+ arctg13 EMBED Equation.3 1415= arctg5;
б) arcsin13 EMBED Equation.3 1415 + arcsin13 EMBED Equation.3 1415 + arcsin13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415;
№2. Вычислить.
а) arcctg (ctg (- 1°));
б) arctg (ctg 14);
в) arccos (sin 18);
г) arctg (ctg 19);
д) arcctg (tg (- 20));
e) arcsin (sin
·2).
Занятие 8.
(2ч.)
Контрольная работа №1.
Цель: проверка знаний.
№п/п
Задания
Варианты ответов
Значение sin(2arccos13 EMBED Equation.3 1415) равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415.
Значение cos(13 EMBED Equation.3 1415arccos13 EMBED Equation.3 1415) равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415.
Значение sin(arctg(-13 EMBED Equation.3 1415))равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415;5)13 EMBED Equation.3 1415.
Значение sin (arcsin1 + arcsin0,8) равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;5) 13 EMBED Equation.3 1415.
Значениеcos(arctg13 EMBED Equation.3 1415- arcos 0,6) равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415.
Значение ctg(arccos1 +arctg2) равно
1) 2; 2)1; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415; 5)13 EMBED Equation.3 1415
Значение cos(300
·arccos(-13 EMBED Equation.3 1415)) равно
1)1; 2)0,5; 3)-0,5; 4)-1; 5)0
Значение sin(200
·arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415) )равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) -13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4) -13 EMBED Equation.3 1415; 5)1
Значение tg(arctg13 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415) равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)1; 4)13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415
Значение tg(arccos13 EMBED Equation.3 1415) равно
1) -13 EMBED Equation.3 1415; 2)0,258; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415
Значение ctg(arcsin13 EMBED Equation.3 1415) равно
1) -13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415;
4)-3,873;
5) -13 EMBED Equation.3 1415
Значение cos(arctg13 EMBED Equation.3 1415) равно
1)0,242; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) -13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415.
Значение sin(arctg13 EMBED Equation.3 1415) равно
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)- 13 EMBED Equation.3 1415; 3)0,20; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5)-13 EMBED Equation.3 1415.
Область определения функции
y = arccos13 EMBED Equation.3 1415имеет вид
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415;
3)13 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415; 5)13 EMBED Equation.3 1415
Решение неравенства arcsin(x-1)<13 EMBED Equation.3 1415образуют множество
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415;
5)13 EMBED Equation.3 1415.
Решение неравенства arccos13 EMBED Equation.3 1415образуют множество
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415; 5)13 EMBED Equation.3 1415.
Сумма корней (или корень, если он один) уравнения
arcsin(2x2 +3x -8) =13 EMBED Equation.3 1415 равна
1)-1,5; 2)-3; 3)1,5; 4)2; 5) правильный ответ не указан.
Значение угла (в градусах) arcsin(sin 49013 EMBED Equation.3 1415) равно
1)1300; 2)500; 3)- 500; 4)4900;
5) правильный ответ не указан.
Значение угла (в градусах)
arcsin( cos49013 EMBED Equation.3 1415) равно
1)1300; 2)400; 3)- 400; 4)4900;
5)правильный ответ не указан.
Значение угла (в градусах)
arcos (cos 58013 EMBED Equation.3 1415)равно
1)1400; 2)- 400; 3)2200; 4)5800;
5) правильный ответ не указан.
Номер задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Номер правильного ответа
1
5
2
2
5
4
4
1
3
5
1
2
13
14
15
16
17
18
19
20
4
5
1
5
1
2
3
1
Зачет по теории:
Вариант1.
Вариант 2
Доказать формулы 6 и 8.
Доказать формулы 7 и 9.
Доказать тождества 23.
Доказать тождества 27.
Домашнее задание. Повторить основные функции, их свойства и
графики.
Занятие 9.
(2ч.)
Обратные и обратимые функции.
Цель: дать понятие обратных и обратимых функций, рассмотреть
их свойства и графики.
Пояснение.
В связи с тем, что в школьном курсе понятиям обратные и обратимые функции не уделяется должного внимания, целесообразно предложить изучение данного материала в форме лекций.
Лекция.
Прежде чем об ратиться к изучению характера изменения обратных тригоно метрических функций, обратимся к общему понятию обратной функции.
Пусть дана функциональная зависимость между двумя пе ременными величинами х и у. Обычно выбор одной из них в качестве независимой переменной (аргумент) может быть сделан вполне произвольно, по нашему усмотрению. Если, скажем, x выбрана аргументом (независимой переменной), то функцией будет у; обратно: если в силу каких-нибудь сооб ражений целесообразнее считать аргументом у (т. е. выбирать значения у по нашему усмотрению), то функцией (зависимой переменной) будет х.
Однако у как функция х выражается, вообще говоря, иначе, чем х как функция у. Эти две функции называются взаимно обратными. Разъясним понятие взаимной обратности двух функций на примере.
Пусть х и у находятся между собой в такой зависимости, что значение у получается из соответствующего значения х возведением последнего в квадрат. Такую зависимость можно выразить равенством
у = x2.
Здесь у функция, явно представленная через аргумент х.
Ту же самую зависимость можно выразить, очевидно, и таким равенством:
х = ±13 EMBED Equation.3 1415
Это только другая запись предыдущего равенства. Считая здесь у независимой переменной, замечаем, что х как функ ция выражается через свой аргумент (у) иначе, чем у как функция своего аргумента (х). Первая функция (у = х2) оп ределяется тем, что для получения ее значения нужно значе ние независимой переменной возвести в квадрат; вторая же функция (х = ±13 EMBED Equation.3 1415) определяется тем, что для получе ния ее значения нужно из значения независимой перемен ой извлечь квадратный корень. Две функции, из ко торых одна есть квадрат аргумента, а вторая корень квад ратный из аргумента, и являются взаимно обратными.
Обозначим независимую переменную в равенстве , как обычно принято, через х, а функцию через у (т. е. в ра венстве х = ±13 EMBED Equation.3 1415поменяем местами х и у). Тогда мы бу дем иметь два таких выражения для наших взаимно обратных функций:
у = х2 и у = ±13 EMBED Equation.3 1415.
График одной из взаимно обратных функций легко полу чить по графику другой. Покажем это на рассмотренном при мере. Графиком функции у = х2 служит, как мы знаем, па рабола (жирная линия на черт. 38). Она же является графиком - функции
х = ±13 EMBED Equation.3 1415 (ибо последнее равенство только своим видом отличается от равенства у = х2 ). Но если заменить у на x, а x на у, то мы получим функцию у = ±13 EMBED Equation.3 1415, график которой в той же системе осей должен быть, очевидно, так расположен относительно оси ОХ, как график функции х = ±13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси ОУ. Таким образом, сразу на ходим график функции у = ±13 EMBED Equation.3 1415.
Легко видеть, что он может быть вычерчен по графику функции у = х2 при помощи простого перегибания чертежа по бис сектрисе PQ первого и третьего углов между осями ОХ и ОY. Такой автоматический способ вычерчивания графика об ратной функции является вполне общим. В одной и той же системе осей графика двух любых взаимно обратных функций (с одинаково обозна ченными аргументами) совмеща ются между собой, если чер теж перегнуть по биссек трисе первого и третьего углов между осями.
Рассмотрим теперь, как от ражается на графике функции свойство ее однозначности. Если каждому значению х со ответствует одно значение у, то прямая, перпендикулярная к оси ОХ, может пересекать график функции не больше чем в одной точке. В случае же многозначности функции прямая, перпендикулярная к оси ОХ, может пересе кать график больше чем в одной точке.
Так, например, функция у = х2 однозначная и каждая прямая, перпендикулярная к оси ОХ, пересекает параболу график функции только в одной точке. Функция же у = ±13 EMBED Equation.3 1415 (обратная первой) двузначная (каждому поло жительному значению х соответствуют два значения у: одно положительное, другое отрицательное) и прямая, перпенди кулярная к оси ОХ, не пересекает график функции у = ±13 EMBED Equation.3 1415, если она расположена левее оси OY, или пересекает его в двух точках М и М/ , если она расположена пра вее оси OY: одна из этих точек находится над осью ОХ а другая под осью ОХ.
Из этого примера видно, что функция, обратная данной однозначной функции, может быть и многозначной.
Подойдем теперь с изложенной сейчас общей точки зре ния к обратным тригонометрическим функциям.
Упражнения для занятий в классе.
№1. Найти функции обратные функциям:
y = 3x-5,
y = x3,
y = x2-4x+5, x ( 2,
y = x2-4x+5, x
· 2,
y = x4+2x2,
Обратимые и необратимые функции.
Все функции можно раз бить на 2 класса: 1) функции, обратное соответствие которым тоже является функцией; 2) функции, для которых обратное соответствие функцией не является. Первые называются обратимыми, вторые необратимыми.
Обратимая функция это соответствие, в котором нет пар с оди наковыми первыми и различными вторыми компонентами (функция!)
и нет пар с одинаковыми вторыми и различными первыми компонен тами (обратимая!). Поэтому обратимая функция каждое свое значение принимает только один раз, а график ее в декартовой системе коорди нат не имеет точек с одинаковыми абсциссами и различными ордина тами, так же как и точек с различными абсциссами, но одинаковыми ординатами.
№1.
а) Укажите, какие из функций, заданных графически на
рисунке, обратимы, а какие необратимы;
б) Постройте графики функций, обратных обратимым.
№2.Укажите функции, обратные данным, и постройте графики
обратных функций:
a) f (х) = arcsin х;
б) g (х) = arccos х2;
в) h (х) = sin ax;
г) р (х) = sin2 х;
д) q (х) = 3х -1;
е) F (х) = sin аx, D (F) =13 EMBED Equation.3 1415;
ж) Т (x)=cosx, D (Т)=[-
·;0];.
з) s (x) = -arcsin х-
·;
и) t (x) = arccos x-
·.
Как видно из упражнения №2, при аналитическом задании может оказаться, что с помощью одной и той же формулы на различных мно жествах задаются как обратимая, так и необратимая функции (срав ните упражнения №2 (в) и №2(ж)).
№3. Задайте формулой функции, обратные данным. Постройте графики данных и обратных им функций:
а) f (х) = sin (х -1), D (F) =13 EMBED Equation.3 1415;
б) g (х) = cos (1- х), D(g)= 13 EMBED Equation.3 1415;
в) р (х) = arcsin х +
·,
г) q (х) =
·-arccos x;
д) r (х) = 2
· - arcsin x;
е) s (x) = arccos x +13 EMBED Equation.3 1415.
№4. Покажите, что заданные функции являются обратимыми и обратны каждая себе:
a) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415;
б) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415;
в) g(x) = 13 EMBED Equation.3 1415;
г) р(х) = 13 EMBED Equation.3 1415;
д) q(x) =13 EMBED Equation.3 1415, D(q) =[0;
·].
е) r (х) = sin (arcsinx);
ж) s (х) = cos (arccos x);
з) t (х) = tg (arctg x);
и) h (х) = ctg (arcctg x).
№5. Каковы особенности графика функции, обратной самой
себе?
Покажите на примере функции f (х) =13 EMBED Equation.3 1415.
№6. Верно ли, что графики взаимно-обратных функций могут
пересекаться на прямой у = х?
№7. Приведите примеры разрывных обратимых функций, укажи
те обратные им функции (задачу можно решить графически).
№8. Приведите примеры немонотонных обратимых функций, на
зовите обратные им функции.
Решение задач №7-№8 показывает, что теорема о существовании обратной для непрерывной, монотонной на отрезке функции определяет достаточные (но не являющиеся необходимыми) условия существования обратной функции. Существуют обратимые функции, которые могут не быть монотонными и непрерывными.
Домашнее задание: придумать свои функции и найти для них обратные.
Занятие 10.
(2ч.)
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Цель: дать понятия обратных тригонометрических функций,
рассмотреть их свойства, необходимые для построения
графика.
Теория обратных тригонометрических функций явля ется своеобразным «зеркальным» отражением теории три гонометрических функций и содержит столько же инте ресных задач. Решение аркфункций будет способствовать усвоению теории тригонометрических функций и разви тию функционального мышления и навыков в тождествен ных преобразованиях.
y = arcsin x.
Рассмотрим функция y = arcsin x.
Свойства функции y = arcsin x.
1. D(arcsin) = .
2. Е = .
3. Четность и нечетность функции y = arcsin x.
Покажем, что y = arcsin x – нечетная функция.
a) D(arcsin) = - симметрична относительно нуля.
б) arcsin(- x) = -arcsin x.
В самом деле, положим arcsin (- х) =
·. Тогда по опре делению |
· |
· и sin
· = - х. Отсюда х = sin (-
·). Но |-
· | = |
·| и, следовательно, |-
· |
· . Тогда, снова при меняя определении arcsin x, имеем -
· = arcsin x, т. е.
· = -arcsin х. С учетом того, что обозначено через
·, по лучаем соотношение arcsin(- x) = -arcsin x.
4. Точки пересечения с осями:
y = 0; arcsin x = 0; х = 0;
(0;0) - точка пересечения с осью ОХ.
х = 0; y = arcsin 0; y = 0.
(0;0) - точка пересечения с осью ОY.
5. Производная функции y = arcsin x.
Функция arcsinх является непрерывной на [-1; 1] и имеет производную при всех х (- 1; 1). Для ее вычисле ния используем связь между производными взаимно об ратных функций у(х) и х(у):
у'(х) = .
Имеем у = arcsin x и х = sin у. Тогда
(arcsin x)' = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 > 0.
Таким образом (arcsin x)' = 13 EMBED Equation.3 1415 .
6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arcsin x
и ее экстремумы.
Так как (arcsin x)' = 13 EMBED Equation.3 1415>0 при х13 EMBED Equation.3 1415, то у = arcsin x возрастает при х13 EMBED Equation.3 1415. Экстремумов нет.
7. Периодичность.
Функция у = arcsin x не является периодической, так как не существует такого числа Т13 EMBED Equation.3 1415, для которого y (x±Т) = y(x).
8. График функции у = arcsin x имеет вид (рис. 1.1).
y =arccos x.
Рассмотрим функция y = arccos x.
Свойства функции y = arccos x.
1. D(arccos) = .
2. Е(arccos) = 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Четность и нечетность функции y = arccos x.
Покажем, что y = arccos x – не является ни четной ни
нечетной функцией.
a) D(arccos) = - симметрична относительно нуля.
б) arccos (- x) = 13 EMBED Equation.3 1415- arccos x.
y(-x) 13 EMBED Equation.3 1415y(x); y(-x) 13 EMBED Equation.3 1415- y(x).
4. Точки пересечения с осями:
y = 0; arccos x = 0; х =1;
(1;0) - точка пересечения с осью ОХ.
х = 0; arccos 0 =13 EMBED Equation.3 1415; y =13 EMBED Equation.3 1415.
(0; 13 EMBED Equation.3 1415) - точка пересечения с осью ОY.
5. Производная функции y = arccos x.
y = arccos х - непрерывная функция на
[-1; 1] и что существует производная (arccos х)' при всех
х13 EMBED Equation.3 1415 (- 1; 1). При этом
(arccos x)' = (13 EMBED Equation.3 1415-arcsin x)/ = -13 EMBED Equation.3 1415 < 0.
6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arccos x
и ее экстремумы.
Так как (arccos x)' = -13 EMBED Equation.3 1415<0 при х13 EMBED Equation.3 1415, то
у = arccos x убывает при х13 EMBED Equation.3 1415. Экстремумов нет.
7. Периодичность.
Функция у = arccos x не является периодической, так как не существует такого числа Т13 EMBED Equation.3 1415, для которого y (x±Т) = y(x).
8. График функции у = arccos x имеет вид (рис 1.2.)
3.y = arctg x.
Рассмотрим функция y = arctg x.
Свойства функции y = arctg x.
1. D(arctg) = R.
2. Е(arctg)=13 EMBED Equation.3 1415.
3. Четность и нечетность функции y = arctg x.
Покажем, что y = arctg x – нечетная функция.
a) D(arctg) = R - симметрична относительно нуля.
б) arctg (- x) = - arctg x.
4. Точки пересечения с осями:
y = 0; arctg x = 0; х = 0;
(0;0) - точка пересечения с осью ОХ.
х = 0; y = arctg 0; y = 0.
(0;0) - точка пересечения с осью ОY.
5. Производная функции y = arctg x. (arctg х)' =.
6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arctg x
и ее экстремумы.
Так как (arctg x)' = >0 при х13 EMBED Equation.3 1415, то у = arctg x возрастает при х13 EMBED Equation.3 1415. Экстремумов нет.
7. Периодичность.
Функция у = arctg x не является периодической, так как не существует такого числа Т13 EMBED Equation.3 1415, для которого y (x±Т) = y(x).
8. График функции у = arctg x имеет вид (рис. 1.3).
y = arcctg x .
Рассмотрим функция y = arcctg x.
Свойства функции y = arcctg x.
1. D(arcctg) =R.
2. Е(arcctg )= 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Четность и нечетность функции y = arcctg x.
Покажем, что y = arcctg x – не является ни четной ни
нечетной функцией.
a) D(arcctg) =R- симметрична относительно нуля.
б) arcctg (- x) = 13 EMBED Equation.3 1415- arctg x.
y(-x) 13 EMBED Equation.3 1415y(x); y(-x) 13 EMBED Equation.3 1415- y(x).
4. Точки пересечения с осями:
Точкек пересечения с осью ОХ нет.
х = 0; arcctg 0 =13 EMBED Equation.3 1415; y =13 EMBED Equation.3 1415.
(0; 13 EMBED Equation.3 1415) - точка пересечения с осью ОY.
5. Производная функции y = arcctg x.
y = arcctg х - непрерывная функция на R
и что существует производная (arcctg х)' при всех
х13 EMBED Equation.3 1415 R. При этом
(arcctg x)' = (13 EMBED Equation.3 1415-arctg x)' = - 13 EMBED Equation.3 1415 < 0.
6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arcctg x
и ее экстремумы.
Так как (arcctg x)' = -13 EMBED Equation.3 1415<0 при х13 EMBED Equation.3 1415, то
у = arcctg x убывает при х13 EMBED Equation.3 1415. Экстремумов нет.
7. Периодичность.
Функция у = arcctg x не является периодической, так как не существует такого числа Т13 EMBED Equation.3 1415, для которого y (x±Т) = y(x).
8. График функции у = arcctg x имеет вид (рис 1.4.)
Замечание: графики обратных функций строятся с использованием осевой симметрии относительно прямой y = x, но для практических целей это очень громоздко. Целесообразно предложить учащимся выразить х через y, например х = siny и построить график, находя по значениям y соответствующие значения х.
Практическая часть.
Выше уже изображались графики основных аркфунк ций. Опираясь на них и на тождества, связывающие арк функции, построим графики некоторых функций, в ана литическую запись которых входят символы arcsin, arccos, arctg, arcctg. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. у =sin (arcsin x).
Имеем, что sin (arcsin x) существует для всех x 13 EMBED Equation.3 1415[- 1; 1] и при этом у = х. Таким образом, график имеет вид (рис. 1.5).
Пример 2. у = соs (arcsin x).
По определению | arcsin х |
·13 EMBED Equation.3 1415 . Обозначив (=arcsin x, получим
х = sin ( и, следовательно, соs (= 13 EMBED Equation.3 1415, поскольку на отрезке он принимает неотрицатель ные значения. Таким образом, у =13 EMBED Equation.3 1415и графиком ее служит верхняя полуокружность х2 + у2 =1.
Домашнее задание.
Выучить свойства функций y = arcsinx, y = arcosx, y = arctgx, y = arcctgx.
№1. Найти область определения каждого из выражений.
arcsin x;
arccos3x;
arctg4x;
arccos(x +1);
arctg13 EMBED Equation.3 1415;
arcsin13 EMBED Equation.3 1415;
arcsin(cosx).
Занятие 11.
(4ч.)
Решение уравнений.
Цель: научить решать уравнения, содержащие аркфункции.
Теоретическая часть.
Уравнения, содержащие аркфункции встречаются значительно реже, чем тригонометрические уравнения обычного вида. Их решение, основывается на определении обратных тригонометрических функций и знании их свойств.
Рассмотрим примеры.
№1. arcctg х = arccos x.
Решение.
Областью определения уравнения будет отре зок [- 1; 1], при этом E(arctgx)
· E(arccos x) = (0;
·). Поэтому от обеих частей уравнения можно брать либо ко тангенс, либо косинус. Имеем
х = ctg (arccos x). Вычис лим ctg (arccos х). Пусть arccos х = (. Тогда 0 < ( <
· при| х |
·1 и
cos (= х. Отсюда sin ( =13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, получаем х = 13 EMBED Equation.3 1415 <=> х = 0.
Ответ: {0}.
№2. arcsin 2х = 3arcsin x.
Решение. Область определения уравнения есть отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 и при этом
Е(arcsin 2x)
· E(3arcsin x).Следовательно,arcsin 2x = 3arcsin х
<= > 2x = sin (3arcsin x). Но
sin З( = sin ( (3 - 4sin2 (). Следовательно,
arcsin 2х = 3arcsin х <=> 2х = х(3- 4х2) <=>13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: {0, 13 EMBED Equation.3 1415, -13 EMBED Equation.3 1415}.
Заметим, что уравнения с аркфункциями можно ре шать, преобразовывая их так, чтобы не терялись реше ния. Но тогда обязательна проверка найденных результа тов на предмет отсеивания лишних корней.
№3. arctg 13 EMBED Equation.3 1415 = 2arctg (х - 1).
Решение. Сразу возьмем тангенс от обеих частей задан ного уравнения. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 = tg (2arctg (х - 1)) или с учетом формулы тангенса двойного угла 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда х = 1 или х = 0. Значение х = 0 отсеивается по очевидным причинам. Подставим значение
х = 1 в исход ное уравнение. Получим истинное числовое множество arctg 0 = 2arctg 0, так как
arctg 0 = 0.
Ответ: {0}.
№4. Решите уравнения:
arcsin (2х + 1) = arccos x;
arccos х13 EMBED Equation.3 1415+ arccos х = 13 EMBED Equation.3 1415;
arcsin 2x + arcsin x = 13 EMBED Equation.3 1415;
arctg(x+1)+ arctg(x-1)+ arctg x=0;
arctg13 EMBED Equation.3 1415+ arctg13 EMBED Equation.3 1415 = arctgx;
arcsin (3x + 5) + arcsin (1- x) =13 EMBED Equation.3 1415;
18(arcsin x)2 +
·2 = 9
· arcsin x;
arccos | x | = arcsin 2x;
arcsin (13 EMBED Equation.3 1415 ) = arccos (13 EMBED Equation.3 1415 );
arccos ( - 2x) + 3arcsin x = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
№5. Решить уравнения.
4 arctg (x2 – 3x -3) –
· = 0;
arctg (x+2) – arctg (x+1) = 13 EMBED Equation.3 1415;
Решение.
Имеем arctg (x2 – 3x -3) = 13 EMBED Equation.3 1415, откуда x2 – 3x -3 = tg 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. x2 – 3x -3 = 1.Отсюда находим x1 = 4, x2 = -1.
Взяв тангенсы обеих частей уравнения, и учитывая, что tg (arctg () = (, получим
13 EMBED Equation.3 1415= 1, откуда x1 = -1; x2 = -2.
Проверяем эти корни. Если x1 = -1, то
arctg (x +2) = arctg 1 = 13 EMBED Equation.3 1415 и arctg (x +1) = arctg 0 = 0, так что данное уравнение удовлетворяется. Так же докажем, что и второй корень годится.
Ответ: x1 = -1; x2 = -2.
Тренировочные задания.
№6. Решить уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415 -13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
arctg(x-1) + arctg x + arctg(x+1) = arctg3x; -0,5; 0; 0,5.
arcsin13 EMBED Equation.3 1415 -1; 0; 1.
arcsin13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
arcos13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
arcos x = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
arcos(x +13 EMBED Equation.3 1415= 2arcsin x; 13 EMBED Equation.3 1415
arcos x = 13 EMBED Equation.3 1415 -1
Домашнее задание.
№1. Решить уравнения:
a) arcsin 6x + arcsin 613 EMBED Equation.3 1415;
б) 2arctg (2x+1) = arcos x;
в) arcsin x + arccos (x -1) =
·;
г) arcsin 2x = 3arcsin х,
д) arcsin х= arccos 13 EMBED Equation.3 1415;
e) 2arctg x = arcsin 13 EMBED Equation.3 1415;
ж) arcsin (sin x) = 5
·-x.
№2. Решить уравнения:
a) 2arcsin 2х-arcsin х-6 = 0;
б) arcsin2 х-2arcsinх-3 = 0;
в) arccos2x-8arccosx+15 = 0;
г) arccos2x-arccosx-6 = 0;
д) arctg213 EMBED Equation.3 1415 - 4arctg13 EMBED Equation.3 1415 = 0;
e) 3arctg2x-4
·arctg x+
·2 =0;
ж) 4arctg13 EMBED Equation.3 1415=
·;
з) arccos x -arcsin x =13 EMBED Equation.3 1415.
Занятие12.
(4ч.)
Решение неравенств.
Цель: научить решать неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции.
Теоретическая часть.
Простейшие неравенствами с аркфункциями относятся к функциональным неравенствам, которые решаются по следующей схеме:
1) найти область допустимых значений неравенств
2) свести неравенство к одному из видов f(m)
f(n);
f(m)
· f(n); f(m)
·f(n), где f- одна из обратных функций.
выяснить характер монотонности функции.
составить систему из О.Д.З. и неравенства, составленного
из выражений, стоящих под знаком функций.
Простейшими неравенствами с аркфункциями явля ются следующие соотношения:
arcsin х ( (, arc sin x < (,
arcsin х > (, arcsin x
·
·
и такие же неравенства, левая часть в которых заменена на arccos х, arctg х, arcctg x. Все они решаются единооб разно. Поэтому ограничимся рассмотрением данных неравенства.
1. arcsin х ( (.
Если (
·13 EMBED Equation.3 1415, то в силу определения arcsin x решением неравенства будет отрезок - 1
· х
· 1. Если13 EMBED Equation.3 1415
· (
· 13 EMBED Equation.3 1415, то беря от обеих частей неравенства операцию sin и учи тывая, что sin t возрастает на множестве получим в качестве решения отрезок sin (
· х
· 1. Наконец, если ( > 13 EMBED Equation.3 1415, то в силу определения arcsin x решений нет, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415
·.
2. arcsin х ( (.
Если ( <13 EMBED Equation.3 1415, то решением неравенства является отре зок [- 1; 1]. Если 13 EMBED Equation.3 1415
· (
· 13 EMBED Equation.3 1415, то снова вычисляя синус от обеих частей неравенства, получим в качестве решения промежуток
sin (< х
· 1. Наконец, если ( ( 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
·, так как по определению arcsin x не может быть больше, чем 13 EMBED Equation.3 1415.
3. arcsin х
· (.
Сведем это неравенство к уже изученному случаю. Для этого умножим обе его части на - 1 и воспользуемся не четностью arcsinx: - arcsin х ( ( ( arcsin (- х) ( - (. Если теперь обозначим
- х =y, - ( =
·, то получим знакомое неравенство arcsin у (
·. Опираясь на него, запишем сра зу ответ для нашего неравенства:
если ( < 13 EMBED Equation.3 1415 (т. е.
· > 13 EMBED Equation.3 1415), то 13 EMBED Equation.3 1415
·;
если 13 EMBED Equation.3 1415
· (
· 13 EMBED Equation.3 1415 (т. е 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415), то - 1
· х < sin (;
если ( ( 13 EMBED Equation.3 1415 (т. е.
·
· 13 EMBED Equation.3 1415), то - 1
· х
· 1.
4. arcsin х < (.
Приведем результат сразу, так как он получается по той же самой схеме, что и в предыдущем случае.
Если (
· 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
·;
если 13 EMBED Equation.3 1415
· (
· 13 EMBED Equation.3 1415, то-1
· х< sin (;
если ( > 13 EMBED Equation.3 1415, то-1
· х
· 1.
Неравенства arccos х (
· (>
·,
·
·, <
·) легко сводят ся к предыдущим неравенствам, если учесть, что
arcsin х + arccos x = 13 EMBED Equation.3 1415.
Практическая часть.
Рассмотрим примеры.
№ 1. arctg (х + 1) + arctg (1 - х) ( 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Левая часть неравенства (1) принимает зна чения, заполняющие интервал (-
·;
·), на котором ни одна из основных функций sin tt cos t, tg t, ctg tне является монотонной. Поэтому следует преобразовать неравенство (1):
arctg (х + 1) ( 13 EMBED Equation.3 1415 - arctg (1-х).
Функция arctg (x + 1) ограничена. Следовательно, не равенство (2) нужно рассматривать лишь при тех х, при которых
13 EMBED Equation.3 1415> 13 EMBED Equation.3 1415 - arctg (1 - х) <=>arctg (1 - х) > -13 EMBED Equation.3 1415 <=> 1-х >-1 <=> х<2. При этом условии обе части неравенства (2) принимают значения, лежащие внутри отрезка , и от обе их частей можно взять tg:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415<=> 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№ 2. arccos (х - 1)
· 2arccos х.
Решение. Легко показать, что областью определения неравенства (1) является отрезок 0
· х
· 1. Тогда обе ча сти неравенства (1) принимают значения на отрезке [0;
·], на котором функция соs t монотонно убывает, т. е. имеет место
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14150
·x
·13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Тренировочные задания.
№3. Решить неравенства.
arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415 ;
(arcsin х)2
· 1;
arcsin х2 ( 1;
arcsin x < arccos х;
arcsin х < arcsin 2х;
arcsin x < arctg х;
arcsin x < arcctg x;
arcsin (iog2 x) > 0;
arcsin (
· arctg x) > 0;
arcsin (x2 - 0,5x - 1,5) < 13 EMBED Equation.3 1415.
Домашнее задание.
№1. Решить неравенства.
агссоs (х2 - 2x - 2) < 13 EMBED Equation.3 1415;
(arctg x)2 - 4arctg x + 3 > 0;
arccos x < arcsin 2x;
13 EMBED Equation.3 1415;
·
· аrссоs х > (arccos (- x))2 -
·2;
arccos x < arcctg 2x.
Занятие №13.
(4ч.)
Итоговое тестирование.
Цель: проверка знаний.
Часть А.
№1. Вычислить:
arcsin 13 EMBED Equation.3 1415.
А.13 EMBED Equation.3 1415. Б.13 EMBED Equation.3 1415. В.13 EMBED Equation.3 1415. Г.13 EMBED Equation.3 1415. Д.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
arcsin 13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: В.
№2. Вычислите:
arcsin(sin13 EMBED Equation.3 1415) + arccos(cos13 EMBED Equation.3 1415).
А.13 EMBED Equation.3 1415. Б.0. В.6
·. Г.
·. Д.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
arcsin(sin13 EMBED Equation.3 1415) + arccos(cos13 EMBED Equation.3 1415) =
arcsin(sin(513 EMBED Equation.3 1415)) + arccos(cos(
· +13 EMBED Equation.3 1415)) = arcsin(sin13 EMBED Equation.3 1415) +
+ arccos(-cos13 EMBED Equation.3 1415) =13 EMBED Equation.3 1415+
· – arccos(cos13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415+
· -13 EMBED Equation.3 1415 =
·.
Ответ: Г.
№3. Вычислите: arctg (ctg 13 EMBED Equation.3 1415) + arcsin (cos13 EMBED Equation.3 1415).
А. -13 EMBED Equation.3 1415. Б. 0. В. 13 EMBED Equation.3 1415. Г. -13 EMBED Equation.3 1415. Д. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
arctg (ctg 13 EMBED Equation.3 1415) + arcsin (cos13 EMBED Equation.3 1415) = arctg (ctg 13 EMBED Equation.3 1415) + arcsin (cos13 EMBED Equation.3 1415)) =
= arctg(-ctg13 EMBED Equation.3 1415) + arcsin(-cos13 EMBED Equation.3 1415) = -arctg(ctg13 EMBED Equation.3 1415) – arcsin(cos13 EMBED Equation.3 1415).
Обозначим
1) ctg13 EMBED Equation.3 1415 = а; arctg а = 13 EMBED Equation.3 1415, а13 EMBED Equation.3 1415; arctg а =13 EMBED Equation.3 1415;
2) cos13 EMBED Equation.3 1415 = b, arcos b = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, arcsin b = 13 EMBED Equation.3 1415.
-arctg(ctg13 EMBED Equation.3 1415) – arcsin(cos13 EMBED Equation.3 1415) = -13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415 = -13 EMBED Equation.3 1415 = -13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: А.
№4. Вычислите: sin( 2 arccos(-13 EMBED Equation.3 1415)).
А. 13 EMBED Equation.3 1415. Б. -13 EMBED Equation.3 1415 . В. 13 EMBED Equation.3 1415. Г. -13 EMBED Equation.3 1415. Д. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
sin( 2 arccos(-13 EMBED Equation.3 1415)) = sin( 2 ((-arccos13 EMBED Equation.3 1415)) = sin( 2 (- 2arccos13 EMBED Equation.3 1415) = - sin( 2 arccos13 EMBED Equation.3 1415).
Обозначим arccos13 EMBED Equation.3 1415 = a, a13 EMBED Equation.3 1415; cos a = 13 EMBED Equation.3 1415>0, a 13 EMBED Equation.3 1415; sina = 13 EMBED Equation.3 1415.
-sin2a = -2sin a cos a = -13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: Б.
№5. Вычислите: tg (arcsin13 EMBED Equation.3 1415 - arccos13 EMBED Equation.3 1415).
A. 2 + 13 EMBED Equation.3 1415. Б. 2 -13 EMBED Equation.3 1415 . В. -13 EMBED Equation.3 1415 - 2. Г. -13 EMBED Equation.3 1415. Д. 1-13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
tg (arcsin13 EMBED Equation.3 1415 - arccos13 EMBED Equation.3 1415) =
= tg(13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: В.
№6. Какие из выражений не имеют смысла?
А.arcsin13 EMBED Equation.3 1415. Б.arctg5. В.arccos(13 EMBED Equation.3 1415). Г.arcctg0. Д. arcsin(cos13 EMBED Equation.3 1415).
Решение.
Зная, что D(arcsin) = [-1;1], D(arctg) = R, D(arccos) = [-1;1], D(arcctg) = R,
имеем 13 EMBED Equation.3 1415-113 EMBED Equation.3 1415
Значит, выражение arcos(13 EMBED Equation.3 1415-1) не имеет смысла.
Ответ: В.
№7. Вычислите: arcsin(cos3) + arccos(sin5).
А. 2-2(. Б.8. В.3( + 2. Г. 3( - 8. Д. 2( + 2.
Решение.
arcsin(cos3) + arccos(sin5) = arcsin(cos3) + arccos( - sin(2( - 5)) =
= arcsin (cos3) +(-arcos(sin(2( - 5)).
Обозначим:
1) cos3 = х; arcos х = 3, 313 EMBED Equation.3 1415,
arcsin x + arccos x = 13 EMBED Equation.3 1415 ; arcsin x = 13 EMBED Equation.3 1415 - 3;
2) sin (2(-5) = y; arcsin y = 2(-5, 2(-513 EMBED Equation.3 1415.
arccos у + arcsin y = 13 EMBED Equation.3 1415 ;
arccos y= 13 EMBED Equation.3 1415 -2( + 5 = 5 -13 EMBED Equation.3 1415.
arcsin (cos 3) +( - arccos (sin (2( - 5)) = 13 EMBED Equation.3 1415-3+(-5+13 EMBED Equation.3 1415 = 3(-8.
Ответ: Г.
№8. Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415.
A. sin 13 EMBED Equation.3 1415 . Б. 1. B. 0. Г. 2. Д. cos13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1.
Так как arccos13 EMBED Equation.3 1415 = x, x13 EMBED Equation.3 1415[0;(], cos13 EMBED Equation.3 1415 > 0, значит х принадлежит I четверти и
sin x > 0,
sin x = 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, arcsin13 EMBED Equation.3 1415 = x, то есть arcsin13 EMBED Equation.3 1415 = arccos13 EMBED Equation.3 1415 = x.
Ответ: Б.
№9. Вычислите: cos (13 EMBED Equation.3 1415arctg 213 EMBED Equation.3 1415) .
A. 13 EMBED Equation.3 1415 . Б.13 EMBED Equation.3 1415. B. -13 EMBED Equation.3 1415. Г. 13 EMBED Equation.3 1415. Д. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Обозначим arctg 213 EMBED Equation.3 1415 = x, x13 EMBED Equation.3 1415,
тогда tg x = 213 EMBED Equation.3 1415 > 0, то есть x13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = 1 + tg2 x, cos x > 0, так как при x13 EMBED Equation.3 1415
cos x = 13 EMBED Equation.3 1415.
Зная, что cos213 EMBED Equation.3 1415 найдем cos 13 EMBED Equation.3 1415, cos 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: Б.
№10. Какая из перечисленных функций не определена на всех действительных х?
A. f(x) =13 EMBED Equation.3 1415.
Б. f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415.
B. /(x) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Г. f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Д. f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
1) arccos x + arctg (-1) = arccos x - 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 arccos х 13 EMBED Equation.3 1415 => -13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 arccos х -13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Но так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то для некоторых х 13 EMBED Equation.3 1415 [-1; 1] оно неотрицательно. Значит, функция определена для некоторых х.
2) arcsin х - arccos 1= arcsin x - 0 = arcsin x.
- 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 arcsin х13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Есть такие х 13 EMBED Equation.3 1415 [-1; 1], что 0 13 EMBED Equation.3 1415 arcsin х 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.Зна чит, данная функция, для некоторых действительных чисел определена.
3) arccos х - arcsin13 EMBED Equation.3 1415 = arccos x - 13 EMBED Equation.3 1415.
013 EMBED Equation.3 1415 arccos х13 EMBED Equation.3 1415 ( => -13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 arccos х -13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Данная функция определена при некоторых х.
4) arcsin х – arccos(-13 EMBED Equation.3 1415) = arcsin х - ( + arccos13 EMBED Equation.3 1415 = arcsin x-13 EMBED Equation.3 1415.
- 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415arcsin x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 => -13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 + arcsinx13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 =>
-13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415+arcsinx 13 EMBED Equation.3 1415 -13 EMBED Equation.3 1415.
То есть для любого x13 EMBED Equation.3 1415[-1; 1] подкоренное выра жение отрицательно, значит функция не определена для всех действительных чисел х.
5) arcsin х + arctg1 = arcsin x +13 EMBED Equation.3 1415 > 0 для неко торых х.
Ответ: Г.
№11. При каких значениях параметра а число
arcsin (-а) + arccos а принадлежит промежутку 13 EMBED Equation.3 1415?
A. a13 EMBED Equation.3 1415. Б.13 EMBED Equation.3 1415. B.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Г.13 EMBED Equation.3 1415. Д.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415< arcsin (-а) + arccos а < (,
13 EMBED Equation.3 1415 < -arcsin а + 13 EMBED Equation.3 1415 - arcsin а < (,
13 EMBED Equation.3 1415< 13 EMBED Equation.3 1415 - 2arcsin а <(, 0 < -2arcsin а <13 EMBED Equation.3 1415.
Так как y = arcsin x возрастает на [-1; 1], то из неравенства - 13 EMBED Equation.3 1415< arcsin а < 0 следует, что - 13 EMBED Equation.3 1415< а < 0, то есть a13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: Б.
№12. Укажите решение неравенства arcsin х > arccos x.
A. 13 EMBED Equation.3 1415. Б.13 EMBED Equation.3 1415. B.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Г.13 EMBED Equation.3 1415. Д.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
arcsin x > arccos x, arcsin x >13 EMBED Equation.3 1415 - arcsin x,
2arcsin x >13 EMBED Equation.3 1415, arcsin x >13 EMBED Equation.3 1415.
Функция у = arcsin x возрастает на [-1; 1], значит 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: Г.
Часть В.
№1. Сколько целых чисел в области определения функции
f(x) = arcsin13 EMBED Equation.3 1415 + arccos13 EMBED Equation.3 1415?
Решение. Так как D(arcsin) = [-1; 1], D(arccos) = [-1; 1], то область определения данной функции задается условиями:
13 EMBED Equation.3 1415
х13 EMBED Equation.3 1415. Целых значений в этой области определения три: 0, -1 и -4.
Ответ: три целых числа.
№2. Вычислите
13 EMBED Equation.3 1415 при а13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415,
так как
arcsin х + arccos x = 13 EMBED Equation.3 1415 и arctg х + arcctg х = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0.
№3. При каких значениях параметра а уравнение
arcsin (х2 - 4х + 5) + arccos13 EMBED Equation.3 1415 имеет решение?
Решение. Найдем ОДЗ уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Значит, arcsin 1 + arccos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: при а = 6 уравнение имеет единственное решение х = 2.
Часть С.
№1. Чему равно а, если arcsin (sin a) = 13 EMBED Equation.3 1415 - а?
Решение. ОДЗ arcsin (sin a): -13 EMBED Equation.3 1415.
sin (arcsin (sin а)) = sin (13 EMBED Equation.3 1415),sin a = cos a, a=13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n13 EMBED Equation.3 1415Z.
Так как a13 EMBED Equation.3 1415, то a = 13 EMBED Equation.3 1415+ 2
· , a = 213 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 213 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
№2. Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: [-13 EMBED Equation.3 1415.
13 PAGE 149015
·
7
2
13 EMBED Equation.3 14152
·
5
1
13 EMBED Equation.3 1415
·
3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
·
3
2
13 EMBED Equation.3 1415
·
4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
·
5
13 EMBED Equation.3 1415
9
5
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native8Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native