Конспект урока по математике на тему Иррациональные уравнения и неравенства ( 11 класс)
МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЁННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«Кучугуровская средняя общеобразовательная школа»
Конспект урока алгебры и начал анализа в 11 классе
«Иррациональные уравнения и неравенства»
Учитель математики:
Хорохордина Н.А.
Цели урока:
- обучающие: закрепить основные способы решения иррациональных уравнений; рассмотреть некоторые приемы решения уравнений нестандартными способами; рассмотреть алгоритм решения иррациональных неравенств путем равносильного перехода к системе неравенств;
- развивающие: развивать у учащихся умения анализировать задачу перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; учить логически мыслить при переходе от частного к общему;
- воспитывающие: воспитывать у учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.
Ход урока:
Организационный момент (сообщить учащимся тему урока, поставить
перед ними задачи урока)
Сегодня мы с вами продолжим совершенствовать навыки решения
иррациональных уравнений различными способами, а также попытаемся
найти способ решения иррациональных неравенств.
Активизация знаний учащихся.
Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)
О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ )
Задание 1. Для следующих уравнений назовите ОДЗ.
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. В следующих случаях восстановите запись:
13 EMBED Equation.3 1415
Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа
решения простейших иррациональных уравнений.)
Назовите эти способы. ( - замена уравнения уравнением-следствием путем
возведения обеих частей уравнения в квадрат с
обязательной последующей проверкой корней
уравнения-следствия в исходном уравнении;
- замена иррационального уравнения равносильной
смешанной системой)
Применение этих стандартных методов решения должно быть доведено у вас до автоматизма, с минимальными затратами времени. И вам предлагается потренироваться в решении небольшой тестовой работы, задания которой составлены в соответствии с ЕГЭ.
Тестовая работа по подготовке к ЕГЭ.
1 вариант
Решите уравнение 4 + х = 13 EMBED Equation.3 1415 и укажите верное утверждение о его корнях:
корень только один, и он положительный;
корней два, ионии разных знаков;
корень только один, и он отрицателен;
корней два, и они положительны.
Найдите сумму корней уравнения х + 1 = 13 EMBED Equation.3 1415:
1) – 1; 2) 1; 3) 4; 4) 5.
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) [3;5]; 2) (1;3); 3) [0;2]; 4) (-2;0).
Сколько корней имеет уравнение 13 EMBED Equation.3 1415:
1) четыре; 2) два; 3) один; 4) ни одного.
2 вариант
Решите уравнение 1 - х = 13 EMBED Equation.3 1415 и укажите верное утверждение о его корнях:
корень только один, и он отрицательный;
корень только один, и он положительный;
корней два, и они разных знаков;
корней два, и они положительны.
Найдите сумму корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415:
1) – 1; 2) 5; 3) 9; 4) - 5.
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) [-12;0]; 2) [2;4]; 3) [4;5); 4) [5;+
·).
Сколько корней имеет уравнение 13 EMBED Equation.3 1415:
1) ни одного; 2) один; 3) два; 4) четыре.
Для тех, кто решил тест очень быстро, можно предложить на отдельном листе решить следующие уравнения:
· 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Взаимопроверка тестовой работы.
( учащиеся передают бланк ответов соседу, а затем проходит взаимопроверка по предложенному учителем образцу ответов по 1 и 2 вариантам; затем подводятся итоги такой проверки, учащиеся выставляют на бланке свою оценку, учитель собирает их)
Отметим, что при решении иррациональных уравнений необходимо придерживаться правила: не бросайся решать уравнение сразу, проанализируй его вид, используй ОДЗ, найди самый рациональный прием его решения или докажи, что решений нет.
Задание 3. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение уравнений нестандартными приемами.
Давайте рассмотрим несколько уравнений и найдем наиболее рациональный способ его решения.
13 EMBED Equation.3 1415
Для решения указанных уравнений можно применять введение новой переменной (Ур.1), причем обратить внимание учащихся на наиболее рациональную замену; введение новых переменных и переход к системе двух неиррациональных уравнений (Ур.2); использование монотонности функций или метод оценки левой и правой частей уравнения (Ур.3).
При решении большинства уравнений множество их корней как
правило конечно, в неравенствах же чаще всего бесконечно много решений. Решая иррациональные неравенства возведением обеих его частей в какую-либо степень, проверка всех найденных решений подстановкой в исходное неравенство невозможна, нам придется все время заботиться о том, чтобы выполняемые нами переходы были равносильными. Для этого давайте вспомним свойства простейших неравенств, а именно, при каких условиях возведение в квадрат обеих частей верного неравенства является равносильным преобразованием.
Это возможно только в том случае, если обе части неравенства
положительны, т.е. если 0 < а < в, то а2 < в2 , или если а > в > 0, то а2 > в2 .
Рассмотрим простейшие иррациональные неравенства:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
( при разборе решений данных неравенств нужно воспользоваться рассмотренным выше свойством числовых неравенств и областью допустимых значений переменной в неравенстве)
Групповая работа.
Учащимся предлагаются обсудить решения двух неравенств, у которых правая часть зависит от переменной. Используя все выше, сказанное найти не просто решения неравенства, но и попытаться сформулировать условия, которым подчиняются все решения, т.е. найти равносильные переходы.
Задание 4. Решите неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Обсуждение решений неравенств у доски.
Обобщение полученных результатов для неравенств общего вида.
Неравенство первого вида:
( 1 )
Аналогично, можно записать равносильный переход для неравенство с нестрогим знаком:
( 1а )
Неравенство второго вида:
13 EMBED Equation.3 1415 ( 2 )
Аналогично, для неравенства нестрогого:
13 EMBED Equation.3 1415 ( 2а )
Для закрепления указанного метода решения иррациональных неравенств можно выполнить следующее задание.
Задание 5. Решите неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Подведение итогов.
Рассмотренные нами методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных задач. На последующих уроках мы продолжим поиски более рациональных способов решения систем уравнений, вспомним, что для решения неравенств применяется метод интервалов; попробуем применить его для иррациональных неравенств.
Домашнее задание:
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
13PAGE 15
13PAGE 14615
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415