Урок по теме Логарифмическая функция, ее свойства и график

Бывалина Л.Л., учитель математики МБОУ СОШ с.Киселевка Ульчского района Хабаровского края
Алгебра 10 класс
Тема урока: «Логарифмическая функция, её свойства и график».
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
сформировать представление о логарифмической функции, ее основных свойствах;
сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции;
содействовать развитию умений выявлять свойства логарифмической функции по графику;
развитие навыков работы с текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать;
развитие умений работать в парах, микрогруппах (навыки общения, диалога, принятие совместного решения)
Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве
Используемые приемы: верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, синквейн
Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку,
Ход урока:
Стадия вызова:
Вступление учителя. Мы работаем над освоением темы «Логарифмы». Что на данный момент мы знаем и умеем?
Ответы учащихся.
Знаем: определение, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество, формулы перехода к новому основанию, области применения логарифмов.
Умеем: вычислять логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения, производить преобразования логарифмов.
С каким понятием тесно связано понятие логарифма? (с понятием степени, т.к. логарифм – показатель степени)
Задание учащимся. Используя понятие логарифма, заполните две любые таблицы при
а > 1 и при 0 < a < 1(Приложение №1)
х 1 2 4 8 16 х 1 2 4 8 16
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
х 1 3 9 х 1 3 9
-2 -1 0 1 2 2 1 0 -1 -2
Проверка работы групп.
Что представляют собой представленные выражения? (показательные уравнения, показательные функции)
, , ,
Задание учащимся. Решите показательные уравнения с помощью выражения переменной х через переменную у.
В результате этой работы получаются формулы:
, , ,
В полученных выражениях поменяем местами х и у. Что получилось у нас?
, , ,
Как бы вы назвали эти функции? (логарифмические, так как переменная стоит под знаком логарифма). Как записать эту функцию в общем виде? .
Тема нашего урока «Логарифмическая функция, её свойства и график».

Логарифмическая функция – это функция вида , где а – заданное число, а>0, а≠1.
Наша задача – научиться строить и исследовать графики логарифмических функций, применять их свойства.

На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»
Ответ на вопрос может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если «нет», то знак «-». Если сомневаетесь - поставьте знак «?».
Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)
№ п/пВопросы: А Б В
Верите ли вы, что…
1. Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции. +
2. Показательная и логарифмическая функции взаимно обратные функции +
3. Графики показательной у=ах и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х. +
4. Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая QUOTE х ϵ (-∞, +∞)-
5. Область значений логарифмической функции – промежуток у ϵ (0, +∞) -
6. Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма +
7. Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0). -
8. Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по-другому расположенная в координатной плоскости. +
9. Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма. -
10. Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной. +
11. Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при а > 1 и наоборот при 0 < a < 1 -
После окончания работы учитель предлагает поделиться своим мнением с классом (2 мин).
Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.
Стадия осмысления содержания (10 мин).
Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.
Задание группам. Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §4 стр.240-242. Но предлагаю не просто читать текст, а выбрать одну из четырёх ранее полученных функций:,, , , построить её график и выявить по графику свойства логарифмической функции. Каждый член группы это делает в тетради. А затем на большом листе в клетку строят график функции. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.
Задание группам. Обобщите свойства функции для а > 1 и 0 < a < 1 (Приложение №3)
Свойства функции у = loga x при a > 1.
область определения: х ϵ (0; +∞);
множество значений: у ϵ (-∞, +∞);возрастает на (0; +∞ );
не является ни четной, ни нечетной;
не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
непрерывна;
выпукла вверх;
у>0 при х>1, у<0 при 0<х<1.
Свойства функции у = loga x , при 0 < a < 1.
область определения: х ϵ (0; +∞);
множество значений: у ϵ (-∞, +∞);убывает на (0; +∞ );
не является ни четной, ни нечетной;
не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);
нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
непрерывна;
выпукла вниз;
у<0 при х>1, у>0 при 0<х<1.
3385929131196x0 y1-13208032385x0 y1
45070641159696873411596
Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1, и в случае, когда 0<a<1.
График функции у = loga x проходит через точку с координатами (1;0)
Задание группам. Докажите, что показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.
Ученики в одной системе координат изображают график логарифмической и показательной функции
Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = ах и логарифмическую у = loga х.
На рис.2 схематически изображены графики функций у = аx и у = loga х в случае, когда a>1.
На рис.3 схематически изображены графики функций у = аx и у = loga х в случае, когда 0 < a < 1.
рис.3.
306006510795010ху1-3479806477010ху1
рис.2.
Справедливы следующие утверждения.
График функции у = loga х симметричен графику функции у = аx относительно прямой у = х.
Множеством значения функции у = аx является множество у>0 , а областью определения функции у = loga х является множество х>0.
Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = аx , а ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции у = loga х.
Функция у = аx возрастает при а>1 и функция у = loga х также возрастает при а>1. Функция у = аx убывает при 0<а<1 и функция у = loga х также убывает при 0<а<1
Поэтому показательная у = аx и логарифмическая у = loga х функции взаимно обратны.
График функции у = logaх называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная на координатной плоскости.
Стадия рефлексии. Предварительное подведение итогов.
Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты. Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.
Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, построения графиков функций и описаний их свойств, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.
Стадия вызова. Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить свойства логарифмической функции?
Предполагаемые ответы учащихся: решения логарифмических уравнений, неравенств, сравнения числовых выражений, содержащих логарифмы, построения, преобразования и исследования более сложных логарифмических функций.
Стадия осмысления содержания.
Работа на распознавание графиков логарифмических функций, нахождение области определения, определение монотонности функций. (Приложение №4)
1. Найдите область определения функции:
1) у= log0,3 х 2) у= log2 (х-1) 3) у= log3 (3-х)
(0; +∞) б) (1;+∞) в) (-∞; 3) г) (0;1]2. При каких значениях х имеет смысл функция: 1) у = log3 х2 2) у = log5 (-х) 3) у = lg │х│
а) х≠0 б) х>0 в) x<0
3. Какие из перечисленных функций являются возрастающими?
а) у=log5 х б) в) у= logπ х г)
4. Укажите рисунок, на котором изображен график функции
21291558191532981902413012623804953026098580010
а) б) в) г)
5. Какие их точек А, В, С(5;-1) принадлежат графику функции
6. Сравните числа:
а)б)
7. Установите знак выражения:

а)б)
Ответы.
1 2 3 4 5 6 7
1)а, 2)б, 3)в 1)а, 2)в, 3)а а, в в В, С а)< б) > а)<0 б) <0
Чтобы расширить знания по изучаемому вопросу, обучающимся предлагается текст «Применение логарифмической функции в природе и технике». (Приложение №5) Используем технологический прием «Кластер» для сохранения интереса к теме.
«Находит ли эта функция применение в окружающем нас мире?», ответим на этот вопрос после работы над текстом о логарифмической спирали.
Составление кластера «Применение логарифмической функции». Ученики работают в группах, составляя кластеры. Затем происходит защита кластеров, обсуждение их.
Пример кластера.

Применение логарифмической функции

Природа


Рефлексия
О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока, и что теперь вам стало ясно?
Что нового вы узнали о логарифмической функции и ее приложениях?
С какими трудностями вы столкнулись при выполнении заданий?
Выделите тот вопрос, который для вас оказался менее понятным.
Какая информация вас заинтересовала?
Составьте синквейн «логарифмическая функция»
Оцените работу своей группы (Приложение №6 «Лист оценки работы группы»)
Синквейн.
Логарифмическая функция
Неограниченная, монотонная
Исследовать, сравнивать, решать неравенства
Свойства зависят от величины основания логарифмической функции
Экспонента
Домашнее задание: § 4 стр.240-243, № 69-75 (четные)
Литература:
Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. - М. : Школа-Пресс,1998.-160 с.: ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.)Заир.Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни. – М .: Просвещение, 2010.
Корчагин В.В. ЕГЭ-2009. Математика. Тематические тренировочные задания. – М.: Эксмо, 2009.
ЕГЭ-2008. Математика. Тематические тренировочные задания/ Корешкова Т.А. и др.. – М.: Эксмо, 2008