Урок по математике на тему Действия с положительными и отрицательными числами

ТЕМА. ДЕЙСТВИЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ.
Цель урока: повторить все действия с положительными и отрицательными числами, причем повторение организовать так, чтобы максимально развивались способности ребят.
ХОД УРОКА
1. Учитель предложил Вите Верхоглядкину решить дома следующее задание: «Найти сумму всех целых чисел от -499 до 501. Витя как обычно сел за работу, однако дело шло медленно. Тогда на помощь ему пришли мама, папа и бабушка. Вычисляли, пока от усталости не стали смыкаться глаза, а на следующий день все они ругали неразумного учителя, задающего детям такие задания.
А вы, ребята, как бы решили такое задание? Напомню, что надо найти значение выражения:
-499 + (-498) + (-497) + … + 497 + 498 + 499 + 500 + 501.
2. На доске написано: 120 * (-3) +*:1) Учитель проводит указкой по знакам сверху вниз и говорит: «Знаки». Это означает, что ученик должен представить вместо звездочки эти знаки в порядке очередности, назвать знаки чисел, которые будет получаться в результате выполнения этих действий. Потом проводит указкой снизу вверх и другой ученик называет знаки чисел.
2) Опять проводит указкой сверху вниз и говорит: «Ответы». Третий ученик называет четыре ответа. Четвертый ученик называет их в обратном порядке.
3) Учитель: «Представьте себе, что на первом листе стоит число – 120, а не 120» и предлагает выполнить устно задание, аналогичное предыдущим.
3. 1) Учитель задумал два числа.
Задайте только один вопрос и, выслушав его ответ, скажите, это числа одного знака или разных?
Ученики спрашивают: «Какой знак имеет произведение этих чисел?» Ответ: «Положительный». «Тогда ваши числа одного знака», - делают выводы ученики.
Теперь ученики уже спрашивают, какой знак имеет сумма задуманных чисел.
2) Учитель задумал два противоположных числа, задайте только один вопрос и, выслушав его ответ, назовите эти числа.
Интересно, что наряду с корректными вопросами (Например, каково расстояние на координатной прямой между точками, координатами которых являются задуманные числа) всегда находится ученик, который спрашивает: «Чему равна сумма задуманных чисел?» Ответ: «Нулю», - и после этого до ученика «доходит», что вопрос явно неудачный.
4. На доске записаны 10 примеров:
1) -3 + (-5)
2) 6 * (-4)
3) -4 – (-3)
4) -18 : (-6)
5) -3 * (-5)
6) – 9 + 9
7) 9 – 12
8) -7 + 11
9) – 24 : (-3)
10) – 1 – 2 – 3.
- «Ребята, помните мы придумывали с вами интересные задания к подобным примерам? Какие из этих заданий вы можете вспомнить?» Ученики перечисляют задания:
1) Назовите все знаки подряд, которые получаются при выполнении этих примеров с первого до десятый; назовите эти знаки в обратном порядке.
2) Назовите номера примеров, где получаются положительные числа, не положительные и не отрицательные числа.
3) Назовите ответы (с первого по десятый и в обратном порядке).
4) Назовите номера примеров, в которых одинаковые ответы.
5) Учитель (или ученик) называет ответ, а ученики ищут пример с таким ответом.
6) Какой знак будет в произведении первых ответов?
Ученики выполняют эти задания устно.
Учитель: «Ребята! А я вот вчера задумался, нельзя ли придумать еще какое-нибудь интересное задание. И, действительно, придумал. А знаете, что меня подтолкнуло на эту находку? Вот этот пример (учитель показывает пример из п. 2, который записан на доске). Посмотрите-ка! Здесь между числами 120 и -3 нет знака действий! А может быть, подумал я, и здесь это попробовать? (Учитель стирает знаки действий в первом столбике 10 примеров). Какое задание тогда может быть?» Вместе с учителем ребята формулируют одно из возможных заданий: назовите такие знаки, чтобы в результате получались: а) положительные числа; б) отрицательные числа; в) знаки чередовались.
«Пусть мы хотим, - продолжает учитель, - чтобы во всех примерах ответы были отрицательны. Какие знаки действий можно поставить?» Один из учеников называет знаки с первого по пятый.
5. Учитель: «Ребята, помните, я задумывал числа, а вы их отгадывали? А теперь попробуем сделать наоборот. Пусть каждый из вас загадает отрицательное число. Загадали? А теперь попробуем сделать наоборот. Пусть каждый из вас загадает отрицательное число. Загадали? А теперь представим себе, что все эти числа перемножены. Смогу ли я отгадать знак полученного произведения? А как?»
В результате повторяется правило умножения нескольких отрицательных чисел.
Учитель: «А сейчас внимание! Операция «ладошка». На доске записано: (-3) * (-25)* (-3) * ⃞ = 450. Какое число надо записать вместо квадратика, чтобы получилось верное равенство?»
Ученики устно вычисляют, записывают число в тетради, одну ладошку поднимают, а другой – закрывают написанное (чтобы не вызывать косоглазие у соседа!) Когда учитель подходит к ученику, тот показывает ответ. Если ответ верен, то учитель своей ладошкой провожу по руке ребенка, как бы поглаживая ее и не скуплюсь на похвалу. Если ответ неверен, то советует подумать еще.
В результате обсуждения ребята формулируют алгоритм решения.
1) Сначала узнаем знак числа, которое будет записано вместо квадратика. Неизвестное число не равно нулю (иначе произведение было бы равно нулю, а это не так). Значит, оно либо отрицательное, либо положительное. Предположим, что оно положительное. Но тогда в левой части получится отрицательное число, а в правой записано положительное. Значит, это невозможно. Следовательно, это число отрицательное.
2) Найдем теперь модуль этого числа. Видоизменим условие задачи, а именно: упростим его ((-3) * (-3) = 9), и находим, что неизвестный множитель равен -2
Учитель: «Ребята, рассмотрим еще раз первую часть решения. Математик скажет, что мы провели доказательство. А теперь попробуем доказать, что знак числа со звездочкой отрицателен: (-2) * (-7) * 5 * (*3) = -210»
Ученики предполагают, что это число положительно и приходят к противоречию. Значит, последний множитель отрицателен. Потом учитель предлагает им самим составить подобные примеры и потренироваться в решении их (парами).
Учитель: «Дошла до нас старая, как мир, легенда… Один восточный владыка, просвещенный и мудрый, пожелал узнать все о математике всех времен и народов. Вызвал он приближенных и объявил им свою волю.
- Повелеваю, - молвил он, - написать мне все о математике. Как она возникла, какой была раньше, какой стала теперь, какой будет в будущем. Повелеваю написать мне о всех математиках, живших на земле.
И дал на это пять лет сроку.
Молча поклонились приближенные. Со всего царства были собраны мудрейшие из мудрецов, и им объявили желание владыки.
Миновало пять лет, и явились приближенные во дворец.
- Твое желание, о владыка, исполнено! Выгляни в окно и ты увидишь то, что хотел. Изумленный правитель протер глаза. Перед дворцом выстроился караван верблюдов такой длинный, что конец его терялся где-то за горизонтом. И на каждом тюке были бережно упакованы по десять толстенных томов в прекрасных сафьяновых переплетах.
- Что это? – удивился правитель.
- Это всемирная математика, - ответили приближенные. – По твоему повелению мудрейшие из мудрых писали ее не покладая рук в течение пяти лет!
- Вы смеетесь надо мной! – рассердился владыка. – Да ведь я до конца своей жизни не успею прочесть и десятой доли того, что они написали! Нет, пусть напишут мне краткую историю математики. Но чтобы в ней было рассказано самое главное!
И дал на это год сроку.
Минуло назначенное время, и снова показался у стен дворца караван. И было в нем всего десять верблюдов, и по два тюка на каждом верблюде и по десять книг в каждом тюке.
Еще больше разгневался владыка.
- Пусть напишут мне самое-самое главное. Сколько времени нужно на это?
- Завтра, о владыка. Ты получишь то, что пожелаешь!
- Завтра? – удивился правитель. – Хорошо. Но если ты обманешь, то не сносить тебе голову!
… Едва солнце взошло на лазурном небе и уснувшие на ночь цветы снова раскрылись в своем великолепии, как владыка потребовал к себе мудреца. Мудрец вошел, неся в руках маленький ларец из сандалового дерева.
- Ты найдешь в нем, о владыка, самое главное в математике всех времен и народов, - произнес мудрец, сгибаясь в низком поклоне.
Правитель открыл крышку ларца. На бархатной подушке лежал маленький клочок пергамента. Там была фраза: «Математика – это доказательство».
Учитель: «Ребята, попробуйте теперь сами порассуждать. Даны пять чисел: -5; -4; 3; -2; -1. Выберите из них четыре числа так, чтобы их произведение было положительно. Найдите это произведение. У всех получилось 40. Почему?»
Ученики обосновывают тот факт, что все множители должны быть отрицательными.
Учитель: «Ребята, видите, как здесь все четко. Число либо входит в выбранные числа, либо нет. В примере (-2)*(-7)*5*(*3) = -210 вместо звездочки можно поставить либо «+», либо «-». Как говорится, другого не дано. Именно на это и основывается доказательство.
В жизни, правда, все не так просто. Учитель вспоминает историю, которая случилась со знаменитым математиком и физиком И. Ньютоном.
Однажды Ньютон пригласил к себе на обед своего старинного друга, а сам забыл об этом. И вот, в положенное время слуга накрывает обед на одного человека и уходит. Приходит друг. Он входит в залу, видит: Исаак сидит у окна и над чем-то размышляет. Он не стал отвлекать ученого, сел, поел, сложил тарелочки и ушел. Через некоторое время Ньютон закончил свои размышления, подошел к столу. Увидев пустые тарелки, он сказал: «Если бы не очевидные доказательства противного, я мог бы поклясться, что сегодня не обедал!»
6. Операция «Ладошка»
На доске записано: -6; -3; 8→-6. Надо из чисел -6; -3; 8 составить такое числовое выражение, чтобы его значение было равно -6. Ученики легко приходят к решению: -3*(-6+8)=-6
«А теперь, -говорит учитель, - внимание! Я добавлю ещё одно число -3 (на доске -6; -3; 8; -3). Кто быстро составит равенство?» Эта задача уже труднее, и учитель через некоторое время делаю подсказку: а нельзя ли воспользоваться уже решенной задачей? «Действительно!» - восклицают ученики. – Надо раскрыть скобки: (-3)*(-6)+(-3)*8=-6
Учитель предлагает ученикам самим составить подобные задания и предложить друг другу для решения. Потом учащиеся проверяют друг друга.
7. 200 секунд на размышление.
Учитель: «Ребята, в жизни человека всегда есть минуты, когда ему нужно быстро сосредоточиться, чтобы выполнить какое-либо дело. Для этого надо быть очень внимательным и находчивым.
Я предложу вам 8 заданий. На решение каждого отводится только 25 секунд. Попробуйте сосредоточиться и догадаться!»
На доске записаны кратко задания. Учитель каждое задание проговаривает подробно. (Ученики в тетрадях пишут только номера задач и ответы. Время засекается отдельно на каждое задание после того, как задача прочитана учителем).Запись на доске: Вопросы учителя
1) ⃞+⃞+⃞ = -5
2) -2 : ( ) =
3) -9 – ( ) = 9
4) a * b > 0
a : b < 0
5) 12 * (-4)
6) -200; …; 200
7) -200; …; 200
8) (-1) * … * (-5)
Даны три числа. Два из них противоположные. Найдите третье число, если сумма всех трех равна -5
Число -2 разделите на такое число, чтобы частное было противоположно делимому.
Запишите число, которое надо вычесть из -9, чтобы получить 9.
Витя Верхоглядкин отыскал два числа, произведение которых больше нуля, а частное – меньше нуля. Существуют ли такие числа?
Между числами 12 и (-4) поставьте такой знак действия, чтобы в результате оказалось наибольшее число. Запишите его.
Витя Верхоглядкин записал все целые числа от -200 до 200 включительно. Потом их пересчитал. У него получилось 400 чисел, а у вас?
Найдите произведение всех целых чисел от -200 до 200 включительно.
Перемножили все целые числа от -1 до -5 включительно Будет ли полученное число больше 50?
Когда время истекло, учитель называет правильные ответы, а ученики проверяют себя.