Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 20

Вариант № 20
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.
б) Найдите отношение ВР : РС, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
а) 177800-127000Обозначим ∠ PQB = α, ∠ PQС = β, причем α + β = 180ᵒ (смежные).
Так как четырехугольники APQB и PDCQ – вписанные, то ∠ PQB + ∠ PАB = 180ᵒ и ∠ PQС + ∠ PDB = 180ᵒ, =>
∠ PАB = β, а ∠ PDС = α =>
∠ PАB + ∠ PDС = α + β = 180ᵒ, а это односторонние углы => AB ǁ DC, а по условию AD ǁ BC, => ABCD – параллелограмм.
Доказано.
б) ∆PQB и ∆PDС – вписанные и по теореме синусов:
PB : sin∠ PQB = 2R1, PC : sin∠ PQC = 2R2, где R1 и R2 соответственно радиусы первой и второй окружностей. => PB = 2R1 sin∠ PQB и PС = 2R2 sin∠ PQС.
Так как ∠ PQB + ∠ PQС = 180ᵒ, то sin∠ PQB = sin∠ PQС = sinα.
По условию R1 = 2R2, => ВР : РС = 4R2 sinα : 2R2 sinα = 2.
Ответ: ВР : РС = 2.