Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 16

Вариант № 16
Окружность с центром О вписана угол, равный 60ᵒ. Окружность большего радиуса с центром О1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.
а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2˅͞3.
90805-63500а) Так как окружности вписаны в угол А, то АО1 – биссектриса угла А. =>∠ О1АН = 30ᵒ, ОК = R, О1О = О1Н = R1; => AO1 = 2R1, AO = 2R, AO1 = AO + О1О, => 2R1 = 2R + R1, => R1 = 2R.
Доказано.
б) R = 2˅͞3 , => R1= 4˅͞3 . ВС- общая хорда.
Точки В и С симметричны относительно биссектрисы АО1 => ВР = РС и ВС⊥ АО1.
Рассмотрим ∆ О1ОC.
90805-317500 О1О = О1С = R1= 4˅͞3 ; ОC = R = 2˅͞3 , => OM = МС = ˅͞3 ;
О1М2 = О1О2 – ОМ2 = 48 – 3 = 45 и О1М = 3˅͞5 .
2. ∆ ОО1М и ∆ ОCР подобны (∠Р = ∠М = 90ᵒ, ∠О – общий), => ОО1 : ОC = О1М : CР, => CР = (ОC ·О1М) : ОО1 =
(2˅͞3 ·3˅͞5 ) : 4˅͞3 = 1,5˅͞5 , ВР = 2СР = 3˅͞5 .
Ответ: 3˅͞5 .