Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 15

Вариант № 15
Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 – середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А2В1С2 вдвое меньше площади АВС.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.
а) 86995000Медиана делит треугольник на два равновеликих =>
SAA₂C₁= SMA₂C₁ = S1; SAA₂B₁= SMA₂B₁ = S2; SBB₂C₁= SMB₂C₁ = S3; SBB₂A₁= SMB₂A₁ = S4;
SCC₂A₁= SMC₂A₁ = S5; SCC₂B₁= SMC₂B₁ = S6;
Тогда SA₁B₂C₁A₂B₁C₂= S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6.
SABC = 2(S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6). => SA₁B₂C₁A₂B₁C₂= 12 SABC . Доказано.
б) 1. Заметим, что А1В2 = А2В1 = 12 МС = c, как средние линии ∆ BCM и ∆ АCM.
Аналогично: B1C2 = B2C1 = 12 МA = a и С1А2 = С2А1 = 12 МВ = b, причем по свойству медиан: c = 13 СС1 , a = 13 АА1 , b = 13 BB1 .
2.-38103873500 Продлим медиану АА1 на её длину, получим параллелограмм ABDC c диагоналями AD и BC.
Применив теорему косинусов для ∆ABC и ∆ ABD, получим, что AD2+BC2=AB2+BD2+DC2+AC2, =>AD 2=4(AA1)2 = 2 AB2 + 2AC 2 – ВС2 , => (АА1)2 = 14 (2АВ2 + 2АС2 – ВС2).
Аналогично получим:
(ВВ1)2 = 14 (2АВ2 + 2ВС2 – АС2) и (СС1)2 = 14 (2ВС2 + 2АС2 – АВ2), =>(АА1)2 + (BB1)2 + (СС1)2 = 34 (АВ2 + ВС2 + АС2). => Сумма квадратов сторон шестиугольника равна: 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 29 ((АА1)2 + (АА1)2 + (СС1)2) =
29· 34 (АВ2 + ВС2 + АС2) = 16 (16 + 49 + 64) = 1296 = 21,5.
Ответ: 21,5.