Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 10

Вариант № 10
Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причем АВ1 : В1С = АС1 : С1В. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ1ОС1 к площади треугольника АВС, если известно, что АВ1 : В1С = АС1 : С1В = 1 : 4.
86995-127000а) По теореме Чевы имеем:
(СВ1 : В1А ) · ( АС1 : С1В) · (ВА1 : А1С) = 1.По условию АВ1 : В1С = АС1 : С1В = m : n,
Поэтому (СВ1 : В1А )·( АС1 : С1В) = mn · nm =1 => ВА1 : А1С = 1, => ВА1 = А1С.
Доказано.
б) SAB₁OC₁ = SACC₁ – SB₁OC ;1. Так как АВ1 : В1С = АС1 : С1В = 1 : 4, то и
SAВВ₁ : SB₁ВC= SACC₁: SС₁СВ = 1 : 4.
Если SAВС = S, то SAВВ₁ = SACC₁ = 15 S, а SB₁ВC = SС₁СВ = 45 S.
2. Так как АВ1 : АС = АС1 : АВ = 15, то В1С1 ǁ ВС => ∆В1 АС1 и ∆САВ подобны, а также подобны ∆ВОС и ∆В1ОС1 ( по двум равным углам). =>
В1О : ВО = В1 С1 : СВ = 15 , и SВ₁ОС = 16 SB₁ВC = (16 · 45) S = 215 S. =>
SAB₁OC₁ = SACC₁ – SB₁OC = 15 S – 215 S = 115 S, => SAB₁OC₁: SAВС = 1 : 15.
Ответ: SAB₁OC₁: SAВС = 1 : 15.