Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 4

Вариант № 4
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
3175-317500а). Так как точка касания окружностей лежит на лини их центров, получим три уравнения: O1O2 = O1C – O2C = R1 – R2;
O1O3 = O1B – O3B = R1 – R3; O2O3 = O2E + O3E = R2 + R3;
Сложим левые и правые части этих уравнений и получим:
O1O2 + O1O3 + O2O3 = 2R1. Доказано.
б). По условию: R1= O1C =O1B = 4; R2 = O2E = O2C = 1.
1270-190500 1. Проведем O3H ⊥ O1O2; O3 H = O3B = O3 E = R3 = x.
O1O2 = R1 – R2 = 3; O1O3 = R1 – R3 = 4 – x;
O2O3 = R2 + R3 = x + 1; O2H = O1O2 – O1H = 3 – O1H.
2. В ∆ O1O3H: (O1H)2 = (O1O3)2 – (O3H)2 = (4 – x)2– x 2 = =16 –8x, => O1H =24-2x ; x< 2, => O1O3 < O1O2.
3. В ∆ O2O3H: (O2O3)2 = (O2 H)2 + (O3H)2.
Получим: (3 – 24-2x )2 + x 2 = (x + 1)2. =>124-2x = 24 – 10x; => 25x 2 -48x = 0, x = 4825 = 1,92.
Ответ: R3 = 1,92.