Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 5

Вариант № 5
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
63513525500
а) ABCD – параллелограмм, => AB=CD, BC= AD.
ABCD – описанный четырехугольник, =>
AB+CD = BC+ AD, =>
2AB = 2CD = 2BC = 2 AD, => AB = CD = BC = AD, =>
ABCD – ромб.Доказано.
б) AM = 3635127000, BM =2. Найти: SMNPK = ?1. M, N, P, K – точки касания, => ON⊥BC, OK⊥AD; OM⊥AB, OP⊥CD. AB//CD, BC//AD, => NK и MP – диаметры, => ∠ MNP = ∠ NPK= ∠ PKM= ∠ KMN =90ᵒ и SMNPK = MK· KP.
2. Проведем BH⊥CD. BM = BN =HK =2,
AM = AK = 3, => AH = 1, AB = 5, cos∠BAH =1/5, cos∠KDP = –1/5, так как ∠ A + ∠ D = 180ᵒ.Найдем MK по теореме косинусов в ∆ АMК:
MK2 = 32 + 32 – 2·3·3· 1/5 = 14,4;
аналогично в ∆ DPК: PK2 = 22 + 22 – 2·2·2·(–1/5) = 9,6; =>SMNPK = MK· KP = 4.8·3· 4.8·2 = 4.86 .
Ответ: 4.86 .