Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 3

Вариант № 3
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
-176530-508000По свойству описанного четырехугольника:
BM +AN = AB +MN, MC + ND = CD + MN.
По условию: BM = MC, AN = ND. =>
BM +AN = MC+ND, => AB +MN=CD +MN, => AB = CD.
Доказано.
б). Из п. а) следует, что трапеции ABMN и DCMN симметричны относительно MN, и MN ⊥ АВ, MN ⊥ BC. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCM:
3175190500ВМ =5, R = 3. Найти: О1Н1 = r = ?
1). Проведем радиус OL ⊥ AB и отрезок OВ;
По свойству касательных BF = BL = 5 – 3 = 2,
BO2 = 32 + 22 = 13, BO = 13 .
BO и AO – биссектрисы, ∠ A + ∠ B = 180ᵒ, =>
∆ ABO – прямоугольный. ∆ ALO = ∆ AHO.
2). Треугольники AOB, ALO, AHO, OLB – подобны.
OL2 = AL х LB, => AL = 92 и AН = 92; АO2 = AL2 + LО2 = 1174 ; AО = 3132 .
Из подобия ∆ AOH и ∆ AO1 H1 => AO : AO1 = OH : O1 H1 = 3 : r, причем
AO1 = АО – 3 – r. => 313 r = 913 – 18 – 6 r , =>
r (13 + 2) = 3 (13 – 2) , => r = 17 – 4133 .
Ответ: r = 17 – 4133 .