Конспект урока на тему Арифметическая и геометрическая прогрессии (9 класс)
МОУ «Гороховская средняя общеобразовательная школа
Верхнемамонского муниципального района Воронежской области»
Конспект урока
на тему
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»
( 9 класс)
Провёл:
учитель математики
Летягин Алексей Иванович
2010 г.
Цели:
1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
2. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
3. Содействовать рациональной организации труда; введением игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение; развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.
Ход урока
I. Беседа с учащимися. Сегодня на уроке мы ещё раз поговорим с вами об арифметических и геометрических прогрессиях. Для этого мы с вами поиграем в игру.
II. Сообщение правил игры.
Правила игры; класс разбивается на 2 команды, которые решают задачи. С помощью жребия выбирается код команды – «крестик» или «нолик». Выигрывает та команда, которая набирает большее количество своих знаков. Команда, которая с очередным заданием справилась быстрее, имеет право выбора следующего конкурса.
Оформление: на доске расположена таблица с названием конкурсов, каждая графа которой содержит определенное задание.
Вспомни
Т
SOS
!
Черный ящик
Тест-прогноз
Реши задачу
Письмо из прошлого
Эрудит
Если команда выиграла конкурс, то в таблице вместо названия конкурса проставляется код команды – «крестик» или «нолик», так участники могут следить за ходом игры.
III. Актуализация опорных знаний.
Конкурс «Вспомни».
1. Привести пример последовательности.
2. Привести примеры различных способов задания последовательностей.
IV. Игровые действия.
Следующие конкурсы проходят в таком порядке, в каком их выбирают команды, проставляя в таблице соответственно «крестик» или «нолик», поэтому структура урока может измениться в рамках игровых действий.
Конкурс «Т». Каждой команде предлагается ответить на следующие вопросы:
1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
2. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?
3. Что называется разностью арифметической прогрессии?
4. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
5. Какова формула n-го члена арифметической прогрессии?
6. Какова формула n-го члена геометрической прогрессии?
7. Какова формула суммы n первых членов арифметической прогрессии?
8. Какова формула суммы n первых членов геометрической прогрессии?
9. Каковы свойства арифметической прогрессии?
10. Каковы свойства геометрической прогрессии?
11. Какова сумма бесконечной геометрической прогрессии?
Конкурс «SOS» . Каждой команде предлагается 2 задания.
1 Дана последовательность 2;7; 12; 22; 27; .. Определите разность между каждым последующим членом и предыдущим. Выяснить, является ли последовательность арифметической прогрессией.
2 Дана последовательность 2; 4; 8; 16;.. Определить частность от деления каждого последующего члена на предыдущий. Выяснить, является ли последовательность геометрической прогрессией.
Конкурс «Тест-прогноз». Каждой команде предлагается решить следующие задания.
Вариант 1
Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если a=3; d=2.
Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если a=2; d=0,25.
Вариант 2
Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если a1=2; d=-3.
Записать первых пять членов геометрической прогрессии, если a1=0,5; d=-2.
Конкурс «Реши задачу». Каждой команде предлагается выполнить задания.
Вариант 1
Доказать, что последовательность, заданная формулой общего члена an=3n-7, является арифметической прогрессией.
В геометрической прогрессии аn найти a3, если a1=0,5; q=-2.
Вычислить сумму 30+31+31++38+39+40.
Дана геометрическая прогрессия аbn. Вычислить сумму пяти первых членов прогрессии, если a1=5; q=2.
Вариант 2
Доказать, что последовательность, заданная формулой общего члена an=2n+8,является арифметической прогрессией.
В геометрической прогрессии (an) найти а4, если а1=-2; q=3
Вычислить сумму 11+12+13+87+88+89.
Дана геометрическая прогрессия (an). Вычислить сумму пяти первых членов прогрессии, если а1=4;q=7.
Конкурс «!» . Каждой команде предлагается задача. Сколько ударов сделают настенные часы за сутки, если они бьют только один раз в час, отбивая число часов?
Конкурс «Письмо из прошлого». Задача Пифагора (580-500 гг. до н. э.). Найти сумму n первых нечетных натуральных чисел: 1+3+5+..+(2n-1).
Конкурс «Черный ящик». Слово «прогрессия» - латинское (progression – движение вперед (как слово «прогресс»)).
С начала нашей эры известна следующая задача – легенда: «индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, что бы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «Скромное» желание Сета».
В задачи надо найти 64 членов геометрической прогрессии 1; 2; 22; 23;;263 с первым членом 1 и знаменателем 2. Эта сумма равна 264-1= 18 446 744 073 709 551 615.
Такое количество зерен можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2 тыс. раз больше поверхности Земли.
Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах». Так, в одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии 1; 2; 22;;2n-1; .
Вот другая задача, которую решили в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до новой эры: «десять братьев, 1; две трети мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – насколько он выше?».
Здесь требуется по сумме первых десяти членов геометрической прогрессии 1 и двух третий минуты (1 минута = 60 шекелей) и известному восьмому члену определить разность арифметической прогрессии.
В папирусе Ахмеса предлагается задача «у семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из колоса может выпасть по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда и какова их сумма?»
Отметим так же, что Архимед знал что такое геометрическая прогрессия и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии в первые встречаются в «Книги абака» (1 202) Леонардо Пизанского. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма (XVII в. )
В старорусском юридическом сборнике «Русская правда» (X-XI вв.) содержится выкладке зерна, собранного с определенного участка земли; некоторые из них содержат вычисления суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2.
Интересные задачи на прогрессии есть в «Арифметике» Магницкого. Вот одна из таких задач: «Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди в его подкова. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку (0,25 копейки), за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь – четыре полушки и так далее за гвозди; за каждый в два раза больше, чем за предыдущий». Купец же, думая, что заплатит намного меньше чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?
Над этой задачей вы подумаете дома.
Конкурс «Эрудит».
1 Задача из папируса Ахмеса (XVIII-XIX вв. до н. э.). Разделите 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет восьмую часть меры.
V. Итог игры.
VI. Домашнее задание.
Задача из книги Магницкого.