Решение систем уравнений с двумя неизвестными как математические модели реальных ситуаций 9 класс

Урок по алгебре
Класс: 9
Тема: «Решение систем уравнений как математические модели реальных ситуаций»
Цели урока:
Обучающие:
Продолжать работу по формированию навыков решения задач с помощью систем уравнений второй степени.
Закрепить знания решения систем уравнений второй степени аналитическим способом (способ подстановки)в ходе решения задач.
решать задания, которые наиболее часто встречаются на «ГИА».
Развивающие:
использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
умение обосновывать свои рассуждения;
Воспитательные:
выработка желания и потребности обобщать полученные факты;
воспитание настойчивости и терпения при выполнении заданий.
Побуждать учеников к самоконтролю, воспитывать интерес к математике.
Оборудование: проектор, ПК
Прогнозируемый результат:
Знать способы и методы решения систем уравнений второй степени.
Уметь правильно отбирать способы решения систем уравнений второй степени для решения задач с помощью систем уравнений.
Эпиграф:
1.Китайская мудрость: « Я слышу – я забываю, я вижу – запоминаю,
я делаю – я усваиваю».
2. «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»
Д. Пойа
План урока:
Организационный момент.
Математический диктант.
Объяснение материала
Закрепление материала
Подведение итога урока.
Домашняя работа
Ход занятия
Организационный момент
Проверка подготовленности учащихся к занятию.
Приветствие учителя и учащихся.
3. Постановка целей и задач занятия.
Прочитайте высказывание математика Д. Пойа. Какой совет дает ученый нам? Мудрость высказывания математика Д.Пойа объедините с предыдущей темой и сформулируйте тему урока.
Сегодня мы познакомимся с задачами, решение которых сводится к
системам уравнений. Запишем тему урока. Назовите цель урока.
Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.
- Работать сегодня мы будем коллективно, в парах и индивидуально.
Вспомните правила работы в парах. (Прислушиваться к мнению соседа, работать дружно, помогать друг другу). В конце урока каждый из вас оценит свою работу и работу партнёра.
2.Математический диктант
Перед вами лежат задания математического диктанта, выполните его.
1вариант.
Составьте уравнение с двумя переменными, если:
Сумма двух натуральных чисел равна 16.
Периметр прямоугольника равен 12 см.
Одна сторона прямоугольника на 8 см больше другой.
Произведение двух натуральных чисел равно 28.
Диагональ прямоугольника равна 5 см.
2 вариант
Составьте уравнение с двумя переменными, если:
Разность двух натуральных чисел равна 14.
Площадь прямоугольника равна 26 см².
Катет прямоугольного треугольника на 5 см больше другого.
Сумма квадратов двух натуральных чисел равна 30.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см.
На экране проецируются ответы и критерии оценивания.
Ребятам в парах предлагается проверить и оценить работу друг друга.
Объяснение материала
При решении задач с помощью системы уравнений придерживаемся следующего алгоритма: (слайд)
I. Составление математической модели:
Внимательно изучить условие задачи:
Какой процесс описывается в задаче?
Какими величинами характеризуется этот процесс?
Как связаны между собой эти величины?
Значения, каких величин требуется найти?
Обозначить буквами искомые величины;
Выразить искомые величины через данные;
Составить уравнения и из них соответствующую систему;
II. Работа с математической моделью:
Найти решение системы;
III. Ответ на вопрос задачи:
Проверить, какие из решений системы удовлетворяют условиям задачи.
Алгоритм решения задачи дать каждому ученику.
Задача 1. Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которого 40 м. Площадь газона 96 м2. Найдите длины сторон газона.
I этап:
Составим выражения по данным задачи, пусть a и b –длины сторон, тогда 2(a+b)=40 будет периметр газона, площадь газона выразим как a∙b=96. По данным выражениям составим систему уравнений и найдем решения данной системы.
II этап:
2(a+b)=40 a∙b=96 → a+b=40:2=20 a∙b=96 →a=20-b 20-bb=9620b-b2=96b2-20b+96=0D=b2-4ac=(-20)2-4∙1∙96=400-384=16b1=20+42∙1=242=12 b2=20-42∙1=162=8a1=20-b1=20-12=8 a2=20-b2=20-8=12III этап: обе пары чисел удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 12 м и 8м
После решения задачи необходимо ещё раз объяснить ход решения и поинтересоваться у учащихся, понятно ли им данное решение. Так же необходимо заметить, что в некоторых случаях целесообразно создавать геометрические модели для лучшего восприятия условия задачи. Чаще всего такие модели составляются к задачам на движение, которые нам еще предстоит решать.
Закрепление материала
Выполнение заданий на карточках:
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Один из катетов на 7 см больше другого. Найдите катеты прямоугольного треугольника.
I этап:
Пусть катеты равны x и y, составляем 1 уравнение. По теореме Пифагора составляем 2 уравнение. Методом подстановки:
x-y=7 x2+y2=132 →x=7+y (7+y)2+y2=169 II этап:
49+14y+y2+y2=1692y2+14y+49-169=02y2+14y-120=0y2+7y-60=0D=b2-4ac=72-4∙1∙-60=49+240=289y1=-7+172∙1=102=5 y2=-7-172∙1=-242=-12x1=7+b1=7+5=12 x2=7+b2=7+-12=-5III этап : По смыслу задачи пара чисел -5 и -12 не могут быть решением системы
Ответ: 12 см и 5 см.
Взаимопроверка решения задачи в парах. После этого решение проецируется на экран.
Задача 3. Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 больше другого. Найдите эти числа.
I этап:
Пусть 1 число – x, 2 число – у.
x>0 и y>0
x-y=4 xy=96 →x=4+y 4+yy=96 II этап:
y2+4y=96y2+4y-96=0D=b2-4ac=42-4∙1∙-96=16+384=400y1=-4+202∙1=162=8 y2=-4-202∙1=-242=-12x1=4+y1=4+8=12 x2=4+y2=4+-12=-8III этап: По смыслу задачи исключаем числа – 8 и - 12
Ответ: 12 и 8.
Также взаимопроверка в парах.
Теперь решим задачу №7.2 коллективно.
Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
Решение:
I этап:
Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения:
S – расстояние,
V – скорость,
T – время.
Переведем 2 часа 48 минут в часы, это составит 

Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Вспоминаем движение по течению и против течения реки. Составим математическую модель.
Составим таблицу:.  S, км V, км/ч T, ч
По течению  14       
Против течения 14
II этап:
Решим полученную систему.

III этап:
Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.
Подведение итогов занятия
1.Обсуждение успешности достижения целей занятия.
2.Оценивание работы учащихся
Разъяснение дом. задания - №№ 7.6 и 7.12