Разработка КИМА по математике 9 класса.

Часть1 Модуль « Алгебра»
Задание 1. Найдите значение выражения  
Задание 2. На координатной прямой отмечено число .

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
 
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание 3. Какое из чисел    является рациональным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
 
1) 
2) 
3) 
4) Все эти числа иррациональны.
Задание 4. При каком значении  значения выражений  и  равны?
Задание 5.  На одном из рисунков изображен график функции  Укажите номер этого рисунка.
 
1) 2)
3) 4)
Задание 6. Дана арифметическая прогрессия: 11, 7, 3, ... . Какое число стоит в этой последовательности на 7-м месте?
Задание 7. Найдите значение выражения  при а = −5.
Задание 8.  На каком рисунке изображено множество решений неравенства 
В ответе укажите номер правильного варианта.
 


Модуль «Геометрия»
Задание 9. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8 , sin A = 0,4.   Найдите AB.

Задание 10.  Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Задание 11. В прямоугольнике одна сторона равна 6, а диагональ равна 10. Найдите площадь прямоугольника.
Задание 12. На рисунке изображена трапеция  . Используя рисунок, найдите  .

Задание 13.  Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
 
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Модуль «Реальная математика»
Задание 14.  В таблице даны результаты олимпиад по истории и обществознанию в 10 «А» классе.
 
Номер ученика Балл по истории Балл по обществознанию
5005 45 76
5006 34 23
5011 67 56
5015 78 67
5018 59 79
5020 46 32
5025 54 76
5027 95 88
5029 46 72
5032 83 45
5041 48 66
5042 28 42
5043 63 67
5048 92 83
5054 38 64
 
Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 130 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 70 баллов. Сколько человек из 10 «А», набравших меньше 60 баллов по истории, получат похвальные грамоты?
В ответе укажите номер правильного варианта.
 
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
Задание 15. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного давления во вторник в 18 часов.
 

Задание 16. За 40 минут пешеход прошел 3 километра. Сколько километров он пройдет за 1 час, если будет идти с той же скоростью?
Задание 17. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода.

Задание 18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в сливочных сухарях. Определите по диаграмме, в каких пределах находится содержание углеводов.
 
*-к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.
 
1) 45-55%
2) 55-65%
3) 65-75%
4) 75-80%

Задание 19. Из 1600 пакетов молока в среднем 80 протекают. Какова вероятность того, что случайно выбранный пакет молока не течёт?
Задание 20.  Площадь трапеции    можно вычислить по формуле  , где   — основания трапеции,   — высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту  , если основания трапеции равны    и  , а её площадь  .
Часть 2
Модуль» Алгебра»
Задание 21. Решите неравенство  
Задание 22.  Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задание23.  При каких значениях  вершины парабол  и  расположены по одну сторону от оси ?
Модуль «Геометрия»
Задание 24.  Основание равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.
Задание 25. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CMD.
Задание 26. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника ABC равен 8.
Ответы на 1 часть.
№ п/пПравильный ответ
1-0,18
21
32
4-10
53
6-13
70,8
84
920
104
1148
120,8
131;3
144
15756
164,5
1717
183
190,95
204
Решения и критерии оценивания заданий части 2
Модуль «Алгебра»
Задание 21.
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ 2
Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно 1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
Максимальный балл 2
Решите неравенство  
Решение.
Перенесём две части неравенства в одну часть и избавимся от знаменателя:  приравняем левую часть к нулю и найдём корни. Отсюда  и  Расставив корни на координатной прямой, определим знаки неравенства, получаем:  и 
 
Ответ: (-∞; -0,75]U[3; +∞).
Задание 22.
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ 3
Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера 2
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям 0
Максимальный балл 3
Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение.
Пусть взяли  г 10-процентного раствора, тогда взяли и  г 12-процентного раствора. Концентрация раствора — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В первом растворе содержится  г, а во втором —  г Концентрация получившегося раствора равна  или 11%.
 
Ответ: 11%.
Задание 23.
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Неравенство выписано верно, верно найдены искомые значения параметра 4
Неравенство выписано верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены 3
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям 0
Максимальный балл 4
При каких значениях  вершины парабол  и  расположены по одну сторону от оси ?
Решение.
Координата  вершины параболы определяется по формуле  Координата  вершины находится подстановкой  в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по одну сторону от оси , если координаты их вершин имеют одинаковые знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют одинаковый знак тогда и только тогда, когда их произведение положительно, составим и решим неравенство:
 

 
Заметим, что второй множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.
 

 

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:
 

 
Ответ: 
 
 
Примечание.
Координату  параболы также можно найти по формуле 
Модуль «Геометрия»
    
Задание 24.
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Получен верный обоснованный ответ 2
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу 1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям 0
Максимальный балл 2
Основание равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Рассмотрим равнобедренную трапецию    с основаниями    и  , периметр которой равен 52. Имеем
.
 
Пусть  — высота трапеции. Тогда . Из прямоугольного треугольника  находим . Значит, площадь трапеции равна .
Ответ: 156.
Задание 25.
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы 3
Доказательство в целом верное, но содержит неточности 2
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям 0
Максимальный балл 3
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CMD.
Решение.
Проведём высоту  так, чтобы она проходила через точку Углы  и  равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно,  Рассмотрим треугольники  и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки  и . Таким образом, 
Площадь параллелограмм равна  а площадь треугольника 
 

 
    

Задание 26.
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ 4
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка 3
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям 0
Максимальный балл 4
Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника ABC равен 8.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник  — он равнобедренный, следовательно, . Аналогично в треугольнике  имеем:  Теперь рассмотрим треугольник : сумма его углов равна 180°, поэтому
 

 
Поскольку кроме этого  имеем:
 

 
Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные, имеют общий катет и  равно  следовательно, эти треугольники равны, а значит, .
Точка  отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника, , следовательно, точка  — центр окружности, описанной около треугольника . Диаметр  равен радиусу описанной окружности. Радиус описанной окружности 
 
Ответ: 4.
Спецификация контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ
1. Назначение КИМ – оценить уровень общеобразовательной подготовки по математике выпускников IX классов общеобразовательных организаций в целях государственной итоговой аттестации выпускников. Результаты экзамена могут быть использованы при приёме обучающихся в профиль- ные классы средней школы.
2. Документы, определяющие содержание КИМ
Содержание экзаменационной работы определяется на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования по математике (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального, общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).
Кроме того, в экзаменационной работе нашли отражение концептуальные положения Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования»). КИМ разработаны с учётом положения, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников, т.е. они должны: овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности; научиться преобразованию знания и его применению в учебных и внеучебных ситуациях; сформировать качества, присущие математическому мышлению, а также овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приёмами. 3. Подходы к отбору содержания, разработке структуры КИМ
Структура КИМ отвечает цели построения системы дифференцированного обучения математике в современной школе. Дифференциация обучения направлена на решение двух задач: формирования у всех обучающихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования, и одновременного создания условий, способствующих получению частью обучающихся подготовки повышенного уровня,
достаточной для активного использования математики во время дальнейшего обучения, прежде всего при изучении её в средней школе на профильном уровне.
В целях обеспечения эффективности проверки освоения базовых понятий курса математики, умения применять математические знания и решать практико-ориентированные задачи, а также с учётом наличия в практике
основной школы как раздельного преподавания предметов математического цикла, так и преподавания интегрированного курса математики в
экзаменационной работе выделено три модуля: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».
4. Связь экзаменационной модели КИМА с КИМ ЕГЭ
Содержательное единство государственной итоговой аттестации за курс основной и средней школы обеспечивается общими подходами к разработке кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников по математике. Оба кодификатора строятся на основе раздела «Математика» Федерального компонента государственного стандарта общего образования.
5. Характеристика структуры и содержания КИМ
Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». В модули «Алгебра» и «Геометрия» входит две части, соответствующие проверке на базовом и повышенном уровнях, в модуль «Реальная математика» – одна часть, соответствующая проверке на базовом уровне.
При проверке базовой математической компетентности обучающиеся должны продемонстрировать: владение основными алгоритмами; знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приёмов решения задач и проч.); умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.
Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Их назначение – дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, составляющую потенциальный контингент профильных классов. Эти части содержат задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Все задания требуют записи решений и ответа. Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень математической культуры.
Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания.
Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 – 3 задания.
Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий. Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня.
Таблица 1. Распределение заданий по частям работы
№ Часть работы Тип заданий Количе- ство заданий Макси- мальный первич- ный балл Процент максимального первичного балла для каж- дой части работы от максимального первичного балла за всю работу, равного 38
1 Часть1С выбором ответа 4 4 11
2 Часть1С кратким ответом 16 16 42
3 Часть2С развернутым ответом 6 18 47
Итого 26 38 100
6. Распределение заданий КИМ по содержанию, проверяемым умениям и способам деятельности
Модуль «Алгебра».
Часть 1. В этой части экзаменационной работы содержатся задания по всем ключевым разделам курса алгебры основной школы, отражённым в
кодификаторе элементов содержания (КЭС). Количество заданий по каждому из разделов кодификатора примерно соответствует удельному весу этого раздела в курсе. Распределение заданий по разделам содержания приведено в таблице2Таблица 2. Распределение заданий части 1 по КЭС
Код по КЭС Название раздела содержания Количество заданий
1 Числа и вычисления 2
2 Алгебраические выражения 2
3 Уравнения и неравенства 2
4 Числовые последовательности 1
5 Функции и графики 1
Ориентировочная доля заданий части 1, относящихся к каждому из
разделов кодификатора требований, представлена в таблице 3.
Таблица 3. Распределение заданий части 1 по КТ
Код по КТ Название требования Количество заданий(1)
1 Уметь выполнять вычисления и преобразования 2
2 Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений 3
3 Уметь решать уравнения, неравенства и их системы 2
4 Уметь строить и читать графики функций 1
Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований.
Часть 2. Задания части 2 модуля направлены на проверку таких
качеств математической подготовки выпускников, как:
-уверенное владение формально-оперативным алгебраическим
аппаратом;
-умение решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;
-умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;
- владение широким спектром приёмов и способов рассуждений.
Распределение заданий части 2 по разделам кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников представлено в таблицах 4 и 5.
Таблица 4. Распределение заданий части 2 по КЭС
Код по КЭС Название раздела содержания Количество заданий
2 Алгебраические выражения 1
3 Уравнения и неравенства 1
5 Функции и графики 1
Таблица 5. Распределение заданий части 2 по КТ
Код по КТ Название требования Количество заданий
2 Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений 1
3 Уметь решать уравнения, неравенства и их системы 1
4 Уметь строить и читать графики функций 1
Модуль «Геометрия».
Часть 1. В этой части экзаменационной работы содержатся задания по всем ключевым разделам курса геометрии основной школы, отражённым в КЭС. Распределение заданий по разделам содержания приведено в таблице 6.
Таблица 6. Распределение заданий части 1 по КЭС
Код по КЭС Название раздела содержания Количество заданий
7.1 Геометрические фигуры и их свойства 1
7.2 Треугольник 1
7.3 Многоугольники 1
7.4 Окружность и круг 1
7.5 Измерение геометрических величин 1
Распределение заданий части 2 по разделам требований к уровню под- готовки выпускников представлено в таблице 7.
Таблица 7. Распределение заданий части 1 по КТ
Код по КТ Название требования Количество заданий
5 Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 4
7.8 Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения. 1
Часть 2. Задания части 2 экзаменационной работы направлены на проверку таких качеств геометрической подготовки выпускников, как:
- умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии;
-умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;
-владение широким спектром приемов и способов рассуждений.
Распределение заданий части 2 по разделам кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников представлено в таблицах 8 и 9.
Таблица 8. Распределение заданий части 2 по КЭС
Код по КЭС Название раздела содержания Количество заданий
7 Геометрия 3
Таблица 9. Распределение заданий части 2 по КТ
Код по КТ Название требования Количество заданий
7.8 Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения 1
5 Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 2
Модуль «Реальная математика».
В этом модуле экзаменационной работы содержится 8 заданий, отнесённых в соответствии с КТ к категории «Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели». Это задания, формулировка которых содержит практический контекст, знакомый обучающимся или близкий их жизненному опыту. Из них одно задание (17) проверяет умение применять геометрические знания, а остальные задания предназначены для проверки знаний из разделов: алгебра, теория вероятностей и статистика. Ориентировочное распределение заданий по разделам кодификатора требований представлено в таблице 10.
Таблица 10. Распределение заданий по КТ
Код по КТ Название требования Количество заданий(2)
7.1 Решать несложные практические расчётные задачи; решать задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах; интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых объектов 1
7.2 Пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объёма; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот. Осуществлять практические расчёты по формулам, составлять несложные формулы, выражающие зависимости между величинами 2
7.4 Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами; интерпретировать графики реальных зависимостей 1
7.5 Описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин 1
7.6 Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках 1
7.7 Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов; сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуацией с использованием аппарата вероятности и статистики 1
Каждое задание может относиться более чем к одному разделу кодификатора требований
7. Распределение заданий КИМ по уровням сложности
В таблице 11 приведено распределение заданий КИМ по уровням сложности.
Таблица 11. Распределение заданий КИМ по уровням сложности
Уровень сложности
заданий Количество заданий Максимальный первичный балл Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального балла за всю работу, равного 38 баллам
Базовый 20 20 53
Повышенный 4 10 26
Высокий 2 8 21
Итого 26 38 100
Часть 1 состоит из заданий базового уровня сложности (Б). В экзаменационной работе задания по уровню сложности распределяются следующим образом: 8 заданий с предполагаемым процентом выполнения 80–90, 8 заданий с предполагаемым процентом выполнения 70–80 и 4 задания с предполагаемым процентом выполнения 60–70.
Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» состоят из заданий повышенного (П) и высокого (В) уровней сложности. Планируемые проценты выполнения заданий частей 2 приведены в таблице 12.
Таблица 12. Планируемый процент выполнения заданий частей 2
Модуль Алгебра Геометрия
Номер задания 21 22 23 24 25 26
Уровень сложности ППВ ППВ
Ожидаемый процент выполнения 30-50 15-30 3-15 30-50 15-30 3-15
8. Продолжительность экзаменационной работы по математике
На выполнение экзаменационной работы отводится 235 минут.
9. Условия проведения экзамена (требования к специалистам)
На экзамене в аудиторию не допускаются специалисты по математике. Использование единой инструкции по проведению экзамена позволяет обеспечить соблюдение единых условий без привлечения лиц со специальным образованием по данному предмету.
Обучающимся в начале экзамена выдаётся полный текст работы. Ответы на задания части 1 могут фиксироваться непосредственно в тексте работы, а затем в случае использования бланковой технологии ответы должны быть перенесены в бланк ответов № 1. Задания частей 2 выполняются с записью решения и полученного ответа на отдельных листах или на бланках ответов № 2. Формулировки заданий не переписываются, достаточно указать номер задания.
Все необходимые вычисления, преобразования и чертежи обучающиеся могут производить в черновике. Черновики не проверяются.
Проверку экзаменационных работ осуществляют специалисты по математике – члены независимых региональных или муниципальных экзаменационных комиссий по математике. 1
10. Дополнительные материалы и оборудование
Учащимся разрешается использовать справочные материалы, содержащие основные формулы курса математики, выдаваемые вместе с работой. Разрешается использовать линейку. Калькуляторы на экзамене не используются
11. Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом
Для оценивания результатов выполнения работ выпускниками используется общий балл. В таблице 13 приводится система формирования общего балла.
Максимальный балл за работу в целом – 38.
Задания, оцениваемые 1 баллом, считаются выполненными верно, если указан номер верного ответа (в заданиях с выбором ответа), или вписан верный ответ (в заданиях с кратким ответом), или правильно соотнесены объекты двух множеств и записана соответствующая последовательность цифр (в заданиях на установление соответствия).
Таблица 13. Система формирования общего балла
Модуль «Алгебра»
Максимальное количество баллов за одно задание Максимальное количество баллов
Часть1 Часть2За часть1За часть2За модуль в целом
№1-8 №21 №22 №23 1 2 3 4 8 9 17
Модуль» Геометрия»
Максимальное количество баллов за одно задание Максимальное количество баллов
Часть1 Часть2За часть1За часть2За модуль в целом
№9-13 №24 №25 №26 1 2 3 4 5 9 14
Модуль «Реальная математика»
Максимальное количество баллов за одно задание Часть 1, № 14–20 Максимальное количество баллов за модуль в целом
1 7
Задания, оцениваемые 2 и более баллами, считаются выполненными верно, если обучающийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка, не имеющая принципиального характера и не влияющая на общую правильность хода решения, то учащемуся засчитывается на 1 балл меньше указанного.
В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 25.12.2013 № 1394 зарегистрирован Минюстом России 03.02.2014 № 31206)
Об освоении выпускником Федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика» свидетельствует преодоление им минимального порогового результата выполнения экзаменационной работы. Устанавливается следующий рекомендуемый минимальный критерий: 8 баллов, набранные по всей работе, из них – не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». Только выполнение всех условий минимального критерия даёт выпускнику право на получение положи- тельной экзаменационной отметки по пятибалльной шкале по математике или по алгебре и геометрии (в соответствии с учебным планом образовательной организации).
12. Изменения в КИМ 2015 года в сравнении с 2014 годом Структура экзаменационной работы не изменилась.
Изменена форма записи ответа на каждое из заданий 2, 3, 8, 14: в КИМ 2015 г. требуется записывать цифру, соответствующую номеру правильного ответа.
Кодификатор элементов содержания для экзаменационной работы по МАТЕМАТИКЕ
Код раздела Код контролируе- мого элемента Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы
1 Числа и вычисления
1.1 Натуральные числа
1.1.1 Десятичная система счисления. Римская нумерация
1.1.2 Арифметические действия над натуральными числами
1.1.4 Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа, разложение натурального числа на простые множители
1.1.6 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
1.2 Дроби
1.2.1 Обыкновенная дробь, основное свойство дроби. Сравнение дробей
1.2.2 Арифметические действия с обыкновенными дробями
1.2.6 Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной
1.3 Рациональные числа
1.3.1 Целые числа
1.3.3 Сравнение рациональных чисел
1.3.4 Арифметические действия с рациональными числами
1.3.6 Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий
1.4 Действительные числа
1.4.1 Квадратный корень из числа
Запись корней с помощью степени с дробным показателем
1.4.5 Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби
1.4.6 Сравнение действительных чисел
1.5 Измерения, приближения, оценки
1.5.1 Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости
1.5.2 Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире
1.5.3 Представление зависимости между величинами в виде формул
1.5.5 Отношение, выражение отношения в процентах
1.5.6 Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости
1.5.7 Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя – степени десяти в записи числа
2 Алгебраические выражения
2.1
2.2 Буквенные выражения (выражения с переменными)
2.1.1 Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения
2.1.3 Подстановка выражений вместо переменных
2.1.4 Равенство буквенных выражений, тождество. Преобразования выражений
2.3 Многочлены
2.3.2 Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности; формула разности квадратов
2.3.4 Квадратный трехчлен. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
2.4 Алгебраическая дробь
2.4.1 Алгебраическая дробь. Сокращение дробей
2.4.2 Действия с алгебраическими дробями
2.4.3 Рациональные выражения и их преобразования
3 Уравнения и неравенства
3.1 Уравнения
3.1.1 Уравнение с одной переменной, корень уравнения
3.1.2 Линейное уравнение
3.1.3 Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения
3.1.9 Уравнение с несколькими переменными
3.2 Неравенства
3.2.1 Числовые неравенства и их свойства
3.2.2 Неравенство с одной переменной. Решение неравенства
3.2.5 Квадратные неравенства
3.3 Текстовые задачи
3.3.1 Решение текстовых задач арифметическим способом
3.3.2 Решение текстовых задач алгебраическим способом
4 Числовые последовательности
4.1 4.1.1 Понятие последовательности
4.2 Арифметическая и геометрическая прогрессии
4.2.1 Арифметическая прогрессия. Формула общего члена
арифметической прогрессии
5 Функции
5.1 Числовые функции
5.1.1 Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции
5.1.2 График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, чтение графиков функций
5.1.3 Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы
5.1.4 Функция, описывающая прямую пропорциональную зависимость, ее график
5.1.6 Функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость, ее график. Гипербола
5.1.7 Квадратичная функция, ее график. Парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии
5.1.8 График функции y = х.
6 Координаты на прямой и плоскости
6.1 Координатная прямая
6.1.1 Изображение чисел точками координатной прямой
6.1.3 Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч
6.2 Декартовы координаты на плоскости
7 Геометрия
7.1 Геометрические фигуры и их свойства. Измерение
геометрических величин
7.1.1 Начальные понятия геометрии
7.1.2 Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства
7.1.3 Прямая. Параллельность и перпендикулярность прямых7.1.4 Отрезок. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой
7.1.5 Понятие о геометрическом месте точек
7.2 Треугольник
7.2.1 Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника; точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан,
высот или их продолжений
7.2.2 Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства и признаки равнобедренного треугольника
7.2.3 Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора
7.2.4 Признаки равенства треугольников
7.2.6 Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника
7.2.7 Зависимость между величинами сторон и углов треугольника
7.2.9 Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников
7.2.10 Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до 180 градусов
7.2.11 Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Теорема косинусов и теорема синусов
7.3 Многоугольники
7.3.1 Параллелограмм, его свойства и признаки
7.3.2 Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки
7.3.3 Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция
7.4 Окружность и круг
7.4.2 Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей
7.4.3 Касательная и секущая к окружности; равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки
7.4.5 Окружность, описанная около треугольника
7.5 Измерение геометрических величин
7.5.1 Длина отрезка, длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой
7.5.4 Площадь и ее свойства. Площадь прямоугольника
7.5.5 Площадь параллелограмма
7.5.6 Площадь трапеции
7.5.7 Площадь треугольника
7.6 Векторы на плоскости
8 Статистика и теория вероятностей
8.1 Описательная статистика
8.1.1 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков
8.2 Вероятность
8.2.1 Частота события, вероятность
8.3 Комбинаторика
Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для экзаменационной работы по МАТЕМАТИКЕ
Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике (далее – кодификатор) является одним из документов, определяющих структуру и содержание контрольных измерительных материалов (далее – КИМ). Кодификатор является систематизированным перечнем требований к уровню подготовки выпускников и проверяемых элементов содержания, в котором каждому объекту соответствует определённый код.
Кодификатор требований к уровню подготовки по математике составлен на основе Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускников основной школы (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).
В первом столбце таблицы указаны коды разделов, на которые разбиты требования к уровню подготовки по математике. Во втором столбце указан код умения, для проверки которого создаются экзаменационные задания. В третьем столбце сформулированы требования к уровню подготовки выпускников.
Код раздела Код контролируе- мого умения Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы
1
Уметь выполнять вычисления и преобразования
1.1 Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с рациональными числами, сравнивать действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять значения числовых выражений; переходить от одной формы записи чисел к другой
1.2 Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений
1.3 Решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами
1.4 Изображать числа точками на координатной прямой
2 Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений
2.1 Составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значения буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования
2.2 Выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями
2.3 Выполнять разложение многочленов на множители
2.4 Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений
2.5 Применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни
3 Уметь решать уравнения, неравенства и их системы
3.1 Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы
3.2 Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы
3.3 Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств
3.4 Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений исходя из формулировки задачи
4 Уметь строить и читать графики функций
4.1 Определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами
4.2 Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции, решать обратную задачу
4.3 Определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения)
4.4 Строить графики изученных функций, описывать их свойства
4.5 Решать элементарные задачи, связанные с числовыми последовательностями
4.6 Распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов прогрессий
5 Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
5.1 Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей)
5.2 Распознавать геометрические фигуры на плоскости, различать их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задачи
5.3 Определять координаты точки плоскости; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами
6 Уметь работать со статистической информацией, находить частоту и вероятность случайного события
6.1 Извлекать статистическую информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках
6.2 Решать комбинаторные задачи путем организованного перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения
6.3 Вычислять средние значения результатов измерений
6.4 Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные
6.5 Находить вероятности случайных событий в простейших случаях
7 Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели
7.1 Решать несложные практические расчётные задачи; решать задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах; интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых объектов
7.2 Пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объёма; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот. Осуществлять практические расчёты по формулам, составлять несложные формулы, выражающие зависимости между величинами
7.3 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
7.4 Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами; интерпретировать графики реальных зависимостей
7.5 Описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
7.6 Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках
7.7 Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов; сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуацией с использованием аппарата вероятности и статистики
7.8 Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения