Конспект урока по геометрии для 10 класса на тему Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
Класс: 10

Цель урока:
образовательная: формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости;

развивающая: развивать вычислительные навыки, логическое и пространственное мышление, речь учащихся;

воспитательная: воспитывать интерес к предмету, аккуратность при выполнении чертежей.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Требования к ЗУН: учащиеся должны знать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, определение перпендикулярности прямой и плоскости, формулировки теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; уметь применять изученные понятия и утверждения при решении задач по данной теме.

Оборудование: ПК, экран, проектор, мультимедиа презентация.

Литература:
Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.
Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2003. – 222 с.: ил. – ISBN 5-09-011836-1.
Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

План урока:
I. Орг. момент (2 мин)
II. Изучение нового материала (20 мин)
Актуализация знаний.
Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.
Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
III. Первичное закрепление материала. №№ 117, 120 (17 мин)
IV. Подведение итогов (5 мин)
V. Домашнее задание. п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118 (1 мин)

ХОД УРОКА:

Орг. момент

Приветствие учеников, проверка готовности учащихся к уроку, проверка отсутствующих.
Учитель: (слайд 1) Мы приступаем к изучению новой большой главы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Тема нашего сегодняшнего урока: «Перпендикулярность прямой и плоскости». Мы познакомимся с понятием перпендикулярных прямых в пространстве, с теоремами, касающимися перпендикулярности прямых и затем рассмотрим задачи.


Запись на доске и в тетрадях:

Число.
Классная работа.
«Перпендикулярность прямой и плоскости».
II. Изучение нового материала

1. Актуализация знаний.
Учитель: Какое взаимное расположение прямых на плоскости?
Ученик: Прямые могут не иметь общих точек – быть параллельными, иметь одну общую точку – пересекаться, либо быть перпендикулярными, иметь множество общих точек – совпадать.
Учитель: Какие прямые называются перпендикулярными на плоскости?
Ученик: Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.
Учитель: Какое взаимное расположение прямых в пространстве?
Ученик: Две прямые могут пересекаться, быть параллельными, либо скрещивающимися.

2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Учитель: (слайд 2) Перед вами куб ABCDA1B1C1D1.


Учитель: Какое взаимное расположение прямых АВ и ВС?
Ученик: Прямые перпендикулярны.
Учитель: (слайд 2) Найдите угол между прямыми АА1 и DC.

Ученик: Прямые АА1 и DC тоже перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусов.
Учитель: (слайд 2) Запишем определение перпендикулярности двух прямых в пространстве

Запись в тетрадях:

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Учитель: (слайд 3) В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Обратите также внимание на рисунок 43 на стр.34 ваших учебников. Перпендикулярные a и b пересекаются, а прямые a и c скрещиваются.



3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Учитель: (слайд 4) Рассмотрим прямые АА1 , СС1 и DC.


Учитель: Прямая АА1 параллельна прямой СС1, а прямая СС1 перпендикулярна прямой CD. Нами установлено, что АА1 перпендикулярна CD. Какой мы можем сделать из этого вывод? Сформулируйте это утверждение.
Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Учитель: (слайд 5) Это утверждение носит название Леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.



Запись в тетрадях:

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: (слайд 6) Докажем лемму.



Запись на доске и в тетрадях:

13 EMBED PBrush 1415
Дано: а || b, a (. с
Доказать: b(с.



Учитель: Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как прямая a перпендикулярна c, то угол AMC равен 90 градусов.

Запись на доске и в тетрадях:
МА||а и МС||с. Т.к. a ( c, то угол AMC = 90°

Учитель: По условию b||а, а по построению а || МА, поэтому b||МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b ( c.

Запись на доске и в тетрадях:
b||а (по условию), а || МА (по построению), => b||МА.
b|| МА и с|| МС, угол AMC = 90° => (b,^c) = 90°, т. е. b ( c

4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.
Учитель: (слайд 7) Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Найдем углы между прямой АА1 и прямыми плоскости АBCD.

Ученик: Между прямой АА1 и прямыми плоскости АBCD углы равны 90°, т.е прямая АА1 перпендикулярна прямым плоскости АBCD.
Учитель: Отсюда мы можем сделать вывод: прямая АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АBCD. Такие прямые называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямой
· и плоскости
· обозначается так:
· (
·,
Учитель: (слайд 7) Запишем определение прямой, перпендикулярной к плоскости:

Запись в тетрадях:
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Обозначение:
· (
·

Учитель: Говорят также, что плоскость
· перпендикулярна к прямой
·.
Учитель: (слайд 8) Если прямая
· перпендикулярна к плоскости
·, то она пересекает эту плоскость. Действительно, если бы прямая
· не пересекала плоскость
·, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей, а это противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости, значит прямая
· пересекает плоскость
·.

Учитель: (слайд 9) На рисунке 45 стр.35 ваших учебников изображена прямая
· перпендикулярная к плоскости
·. Скажите, прямая будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости
·?

Ученик: Да, будет. Это следует из определения прямой, перпендикулярной к плоскости.
Учитель: (слайд 10) Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Прокомментируйте их.

Ученик: Телеграфный столб перпендикулярен к плоскости земли.. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола.
Учитель: А чему будет перпендикулярна открытая половинка окна?
Ученик: Плоскости подоконника, плоскости пола, плоскости потолка.
Учитель: Какие ещё примеры вы можете привезти из жизни?
Ученик: Люстра висит перпендикулярно к плоскости пола и плоскости потолка, горизонтальная линия доски перпендикулярна плоскости стены и т.д.

5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Учитель: (слайд 11) Рассмотрим ещё две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Запись в тетрадях:
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: (слайд 12) Докажем её.


Запись на доске и в тетрадях:
13 EMBED PBrush 1415
Дано: а || b, a (
·
Доказать: b(
·.


Учитель: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости
·. Так как а(
·, то а(х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b(х.
Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости
·, т.е. b(
·.

Запись на доске и в тетрадях:
Т.к а(
·, то а(х => b(х (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей), а значит b(
· (по определению).

Учитель: (слайд 13) Докажем обратную теорему.

Запись в тетрадях:
Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Учитель: (слайд 14) Доказательство:


Учащиеся самостоятельно записывают доказательство в тетрадь.

III. Закрепление изученного материала
Учитель: Переходим к решению задач. №№ 117, 120
Один ученик работает у доски, остальные на местах в тетрадях.
Учитель: Что дано в задаче?
Учитель: Что нужно доказать?
Учитель: Как мы это докажем?
Учитель: Какие теоремы можно применить?

13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415


13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415



Подведение итогов
Обобщение материала, изученного на уроке, повторение основных понятий и формулировок (фронтальный опрос). Выделение положительных и отрицательных моментов урока, оценка работы ребят, выставление отметок.

Домашнее задание

Запись в дневниках
п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118

Новый рисунокНовый рисунок (105)Новый рисунок (1)Новый рисунок (1)Новый рисунок (2)Новый рисунок (3)Новый рисунок (6)Root Entry