Материалы к ГИА по теме «Комбинаторика, вероятность и статистика»

Материалы по подготовке к ГИА.
Учитель математики МКОУ «Горбуновская СОШ»
Малышкина С. Ю.
1 раздел. Комбинаторика.
На ГИА по математике проверяются умения решать комбинаторные задачи, используя перебор всех возможных вариантов или правило умножения.
Это нужно знать!
Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Извлечённые из исходного множества m элементов составляют выборку; из элементов выборки в соответствии с заданными правилами строится (или составляется) комбинация элементов.
Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то m действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье – n3 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то все m действий вместе могут быть выполнены n1 n2 n3… nm способами.
Пример. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причём мальчики садятся на места с чётными номерами, а девочки – на места с нечётными номерами. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Первый мальчик может сесть на любое из четырёх чётных мест, второй – на любое из оставшихся трёх мест, третий – на любое из оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять 4 места 4321=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 2424=576 способами.
Ответ: 576 способами.
Решение примерных задач из работ ГИА.
1)Выписаны в порядке возрастания все трёхзначные числа, в записи которых используются только цифры 0, 2, 4, 6. Какое число следует за числом 426?
Решение: В условии задачи не сказано, что числа не повторяются, значит можно составлять числа с повторениями. Число единиц увеличить нельзя, там стоит цифра 6. Число десятков увеличить можно: цифру 2 заменить 4. После этого в разряд единиц можно поставит наименьшее число 0.
Ответ. 440.
2)В коробке лежат четыре шара: белый, красный, синий, зелёный. Из неё вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это?
Решение: Выпишем всевозможные пары шаров: бк, бс, бз, кс, кз, сз.
Ответ. 6.
3) Из класса, в котором учится 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать одну девочку и одного мальчика для ведения вечера. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: По правилу умножения. Девочку можно выбрать 15 способами, мальчика – 10, а пару девочка-мальчик: 15*10= 150.
Ответ. 150.
4) В чемпионате по футболу играет 10 команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?
Решение: На первое место претендует 10 команд, на второе будет уже претендовать 9 команд, а на третье-8. По правилу умножения всего способов будет 10*9*8=720.
Ответ. 720.
5)В конференции участвовало 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?
Решение: Каждый участник раздал 29 карточек. Значит, понадобилось 30*29=870 карточек.
Ответ. 870.
6) 5 человек обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было?
Решение: Каждый человек пожал руки 4 раза, но рукопожатие Иванова-Сидорова одинаково, что Сидорова-Иванова. Значит, количество рукопожатий будет 5*4:2=10.
Ответ10.
7) Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить помощью цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры могут повторяться)
Решение: На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, на второе - тоже любую, на третье с учётом условия, что число нечётное, можно поставить две цифры. По правилу умножения количество чисел будет равно 4*4*2=32.
Ответ. 32.
Для самостоятельного решения.
1)Выписаны в порядке возрастания все трёхзначные числа, в записи которых используются только цифры 1,3,5,7. Какое число следует за числом 537?
2) В коробке лежат четыре шара: два белых, красный, зелёный. Из неё вынимают два шара. Сколько существует различных вариантов вынуть два шара разного цвета?
3)В классе 13 девочек и 10 мальчиков. Сколькими различными способами можно назначить двух дежурных: мальчик+девочка?
4)Сколькими способами можно рассадить четырёх детей на четырёх стульях в детском саду?
5)Шестеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?
6)Сколько трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 0,3,6,9?
7)В меню школьной столовой 2 разных супа, 4 вторых блюда и 3 вида сока. Сколько можно составить вариантов обеда из трёх блюд?
8) . Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?
Ответы. 1) 551; 2) 3; 3)130); 4) 24; 5) 15; 6) 48; 7)24.
2 раздел. Вероятность.
Уметь:
-вычислять вероятность события в классической модели;
-находить относительную частоту и вероятность случайного события, используя готовые статистические данные.
Это нужно знать!
Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.
Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.
Если N – число всех исходов испытания, а М – число исходов, благоприятствующих событию А, то .
Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна 1: . 2.Вероятность невозможного события равна 0:
3.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: .
Пример. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?
Решение: На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; n=10; все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n=10 только одна цифра верная, поэтому m=1. вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру номера наугад, Таня попала к своей знакомой, равна =.
Пример. Вероятность попадания некоторым стрелком по бегущей мишени равна 0,8. какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся , сделав выстрел?
Решение: Пусть событие А – попадание по мишени, тогда Р(А)=0,8. Событие - промах. = 1-Р(А)=1-0,8=0,2.Ответ: 0,2.
Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N, при этом число М называют абсолютной частотой или частотой события А.
Относительную частоту события А обозначают , поэтому по определению: .
Пример. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?
Решение: Событие А – попадание по цели произошло в 26 случаях, т.е. М=26. Общее число испытаний N=30, поэтому =.Ответ: .
Решение примерных задач из ГИА.
1)Доля брака при производстве процессоров составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным?
Решение: Процент исправных процессоров будет равен
100%-0,05%=99,95% Искомая вероятность равна 99,95/100=0.9995
Ответ. 0,9995.
2)Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
Решение: Всего исходов (букв) – 7. Значит n=7. Благоприятных исходов(согласных букв) – 4. M=4. Поэтому вероятность равна 4/7.
Ответ.4/7.
3)Из класса, в котором учится 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка?
Решение: Всего исходов (детей в классе) n= 15+10=25. Благоприятных исходов (девочек) m= 10. Р =10/25=2/5. Ответ. 2/5.
4) Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут два орла?
Решение: Возможны исходы: ОО, ОР, РР, РО. n=4. Благоприятных исходов m=1. Вероятность равна ¼.
Ответ.1/4.
5) Для украшения ёлки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зелёных, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым?
Решение: В коробке было всего 10+7+5+8=30 шаров, исход – изъятие одного шара определённого цвета. Рассмотрим события: а) А – «вынутый шар оказался красным»; mA=10; =. б) В – «вынутый шар оказался золотым»; mB=8; =.Ответ: .
6) За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?
Решение: Лето длится три месяца. Всего 92 дня. Солнечных дней 67.. Пасмурных дней 92-67=25,
Для самостоятельного решения.
1)Доля брака при производстве блоков питания составляет 0,25%. С какой вероятностью блок питания только что купленного компьютера окажется исправным?
2) Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
3)В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдёт мальчик?
4) Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.
5)В ящике 2 красных и 2 синих шара. Из него, не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что они будут разного цвета?
Ответы. 1) 0,9975; 2)3/7; 3)2/3; 4)0,98; 5)2/3.
3 раздел. Статистика.
Уметь:
- определять статистические характеристики, как среднее арифметическое, медиана, мода, выполняя при этом необходимые подсчёты;
- отвечать на простейшие вопросы статистического характера.
Это нужно знать!
Статистика - это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства
Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.
Пример: (23+18+25+20+25+25+32+37+34+26+34+25):12=
324:12=27
27-среднее арифметическое значение.
Размах - разность между наибольшим и наименьшим числом.
Пример. 23;18;25;20;25;25;32;37;34;26;25
Размах : 37-18=19
Модой ряда чисел называется число, наиболее встречающееся в данном ряду.
Пример.
23;18;25;20;25;25;32;37;34;26;25- модой данного ряда является число 25.
69,68,66,70,67,71,74,63,73,72- в данном ряду моды нет.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине.
Пример. 64,72,72,75,78,82,85,91,93. Медианой является число-78.
Медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Пример.
64,72,72,75,78,82,85,88,91,93. Медиана (78+82):2=80.
Решение примерных задач из ГИА.
1)Из трёх кандидатов в сборную России по стрельбе из арбалета нужно отобрать двоих. Решено сделать этот отбор по относительной частоте попадания в мишень, которую они показали на тренировочных сборах. Результаты представлены в таблице.
Фамилия стрелка Число выстрелов Число попаданий
Лучкин 120 100
Арбалетов 200 120
Пулькин 150 110
Кто из спортсменов будет включён в сборную?
Решение: Найдём относительную частоту. Лучкин: 100/120=5/6; Арбалетов: 120/200=3/5; Пулькин: 110/150= 11/15. Выберем два наибольших числа, сравнив дроби. Удобнее привести их к одному основанию 30.
5/6=25/30; 3/5=18/30; 11/15=22/30.
Ответ. В сборную войдут Лучкин и Пулькин.
2)Записан рост (в см) пяти учащихся: 149,136, 163, 152 ,145. Найдите разность среднего арифметического этого набора чисел и его медианы.
Решение: Среднее арифметическое этих чисел равно (149+136+163+152+145):5=149. Чтобы найти медиану, надо упорядочить ряд.
136,145,149,152,163. Медианой будет – 149. Найдём разность: 149-149=0.
Ответ. 0.
3)Вася измерял в течение недели время, которое он тратит на дорогу в школу и из школы, результаты записывал в таблицу.
День недели пн вт ср чт пт сб
Время до школы 19 20 21 17 22 24
Время из школы 28 22 20 25 24 22
На сколько минут( в среднем) дорога из школы занимает у него больше времени, чем дорога в школу?
Решение: Найдём среднее время до школы: (19+20+21+17+22+24):6=20,5;
Найдём среднее время из школы: (28+22+20+25+24+22):6=23,5. Найдём разность 23,5-20,5=3.
Ответ. 3.
4) Президент компании получает зарплату 100000р. в месяц, четверо его заместителей – по 20000р., а 20 служащих компании – по 10000р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат всех сотрудников компании.
Решение: Всего сотрудников компании 1+4+20=25человек. Среднее арифметическое равно (100 000+4*20 000+20*10 000):25= 15 200. Всего чисел 25, значит, медиана будет стоять на 13 месте. Если располагать в порядке возрастания, то первые 20 мест займут 10 000. Значит медиана – 10000р.
Ответ. 15 200р., 10 000р.
5) В течение четверти Юра получил следующие отметки по математике: две «двойки», пять «троек», четыре «четвёрки» и девять «пятёрок». Найдите среднее арифметическое и моду его оценок.
Решение: всего отметок получено 2+5+4+9=20. Среднее арифметическое равно (2*2+5*3+4*4+9*5):20=4. Больше всех по количеству получено отметок «пять». Значит, модой будет 5.
Ответ. 4; 5.
Для самостоятельного решения.
1)Из трёх вратарей в сборную России по хоккею нужно отобрать двоих. Решено сделать этот выбор по относительной частоте отражённых бросков. Которую они показали в чемпионате. Результаты представлены в таблице.
Фамилия вратаря Число бросков Число отражённых бросков
Третьяков 120 100
Четверухин 140 110
Пятаков 160 140
Кто из вратарей будет включён в сборную?
2) Президент компании получает зарплату 150000р. в месяц, четверо его заместителей – по 25000р., а 20 служащих компании – по 5000р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат всех сотрудников компании.
3) Записан возраст (в годах) семи сотрудников: 25,37,42,24, 33,50.27. Найдите разность среднего арифметического этого набора чисел и его медианы.
4) В течение четверти Юля получила следующие отметки по математике: одну «двойку», шесть «троек», три «четвёрки» и пять «пятёрок». Найдите среднее арифметическое и моду его оценок.
Ответ. 1)Третьяков и Пятаков; 2) 14000р., 5000р. 3)1; 4) 3,8; 3