Статья «Решение нестандартных задач на уроках математики»

Каждая новая проблема далеко не всегда вызывает интерес у учащихся. Порой у ребят проявляются страх перед трудностями, неумение преодолевать их самостоятельно. В таком случае нужна задача, которая кажется на первый взгляд простой, а на деле требует нестандартного подхода. Среди таких задач есть задачи на смекалку, задачи – шутки, которые пробуждают у учащихся вкус к умственной работе. Автор популярной книги «В царстве смекалки» Е.И. Игнатьев писал: «… сообразительность и смекалку нельзя не «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершенствуется в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью».
Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от того, насколько умело будет построена учебная работа.
В IV – V хорошо проводить на уроках дидактические игры, а после уроков различные математические соревнования. Но в среднем звене, VI – VII классах, следует меньше обращаться к играм, уделяя больше внимания задачам повышенной трудности. Такие задачи обычно следует предлагать в конце урока, когда ребята уже устают писать, считать и ленятся думать. Благодаря своей оригинальности такие задачи сами по себе побуждают учащихся к размышлениям. Получив задание на уроке, учащиеся продолжают поиск и после уроков. А учитель обычно дает неделю для того, чтобы завершить начатое исследование. За это время в классе обязательно выделится группа, которая всерьез берется за решение. Эти ребята в течение указанного срока постоянно консультируются с учителем, выясняя, верен ли путь их рассуждений. По истечении срока один из учащихся объясняет на уроке решение всему классу, а учитель делает свои комментарии и оценивает успех докладчика отметкой в журнале.
Рассмотрим примеры описанной работы.
В VI классе много внимания уделяется изучению позиционной десятичной записи чисел. В это время уместно предложить задачу.
«Делятся ли числа 237237, 312312, 568568, 749749 на 77 без
остатка ?»
Сначала ребята начинают проверяют делимость с помощью калькулятора или делением «уголком». Когда выясняется, что все числа действительно кратны 77, возникает более сложный вопрос: «Можно ли обойтись вообще без операции деления таких больших чисел при поиске ответа?»
На этом месте урока нас обычно застает звонок, и ребята додумывают свои ответы уже на перемене или вообще после школьных занятий. Обычно кто – то догадывается, что у всех данных чисел есть какая – то особенность. А как только возникает идея поискать в числах нечто общее, как это общее тут же и обнаруживается: числа составлены из двух одинаковых троек цифр. Учитель предлагает обозначить первую цифру любого числа буквой а, вторую – буквой b, третью – буквой с. Теперь уже сами учащиеся догадываются, что любое из данных чисел можно обозначить в виде abcabc. Учитель дает снова подсказку, заметив, что в позиционной десятичной системе счисления записное выше можно прочитать как abc тысяч и abc единиц. Теперь уже сами учащиеся записывают:
аbcabc= abc*1000+ abc=1001 abc.
Ребятам не составляет труда догадаться, что
1001* abc=77*13 abc=7*11*13 abc,
И значит, числа данного вида делятся не только на 77, но и на 7, на 13, на11, на 1001.
Для VI класса разговор о делимости вполне уместен, и его можно продолжить такой задачей:
«Найти наименьшее число, которое
при делении на 2 дает остаток 1,
при делении на 3 дает остаток 2,
при делении на 4 – остаток 3,
при делении на 5 – остаток 4,
при делении на 6 – остаток 5,
при делении на 7 – остаток 6,
при делении на 8 – остаток 7,
при делении на 9 – остаток 8».
Учащиеся долго пытаются найти подходящее число подбором , поскольку сначала кажется, что задача легкая и подобрать нужное число не составит особого труда. Через несколько дней поисков, когда учитель замечает, что терпение ребят иссякает, он подбрасывает им новую идею, обратив внимание на то, что делитель каждый раз всего лишь на 1 больше остатка, т.е. искомое число можно записать следующими способами:
А=2а+1, А=3b+2, А=4с+3, …, А=9q+8.
Прибавим теперь к обеим частям каждого из равенств по 1. Получим: А+1=2а+2=2(а+1), А+1=3(b+1), …, А=9(q+1).
Эти записи сразу наводят на мысль, что разумнее искать не число А, но число А+1, о котором известно, что оно наименьшее из делящихся на 2, 3, …,9. Но произведение 2*3*4*5*6*7*8*9 должно быть кратно числам 8, 9, 7, 5; а 8*9*7*5 равно 2520. Следовательно, А+1=2520, А=2519.
В VI классе учащиеся повторяют действия с обыкновенными дробями. Поэтому для них вполне доступна следующая задача:
«Вычислите сумму
11*2 + 12*3 + 33*4 +… + 119*20»
Получив задание, весь класс начинает старательно складывать дроби :
12 + 16=23, 23 + 112=34, 34 +120=…
Естественно, при таком подходе трудно нащупать более простой путь. Поэтому целесообразно предварить рассмотрение этой задачи следующими примерами:
12 - 13=3-22*312*3, 13 - 14=13*4 и так далее.
Учащиеся, подготовленные этими заданиями, легко находят полуустное решение основной задачи:
1 -12 - 12 - 13 + 13 - 14 …- 119 + 119 - 120=1 - 120=1920.
Вопросы делимости и действия с дробями переплетаются и в задаче на нахождение общих кратных.
«В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе учеников не явились на занятия, а в другом получили отличные оценки по математике. Сколько учеников в каждом классе?»
Задача учащимися кажется неверно сформулированной, так как не известны число, от которого надо найти дробь , и число, от которого требуется отыскать дробь . Учитель поясняет, что не во всякой задаче все условия непосредственно перечисляются. В некоторых случаях данные приходится домысливать, опираясь на математические и житейские факты. Здесь мы имеем дело именно с таким случаем.
Так какое же первое и самое важное условие замаскировано в этой задаче? Ребята конечно понимают, что число учеников каждого класса должно быть натуральным, но этот факт не кажется им важным для процесса решения. Учитель подчеркивает, что «натуральность» числа, от которого берется дробь , как раз очень важна, ведь это значит, что искомое число должно делиться на 17. Это могут быть числа 17, 34, 51, 68, … . Стоит ли дальше продолжать перечисление? Учащиеся отвечают отрицательно, так как поняли, что число учеников не может быть таким большим.
Остановимся пока на числе 34, т.е. предположим, что в одном классе 34 ученика. Тогда в другом – 36 человек (70 -34=36). Число 36 нам тем более подходит, что оно делится на 9.
Легко проверить, что остальные «подозреваемые» числа, т.е. 17, 51 и 68, условию задачи не удовлетворяют, поскольку разности 70 – 17, 70 – 51, 70 -68 не делятся на 9.
Учащимся VI класса уже хорошо известна задача о подсчете суммы чисел натурального ряда от 1 до n. Перед тем как перейти к задаче, рассмотренной ниже мы просим их подсчитать сумму:
1+2+3+…+124+125.
Ребята вспоминают решение:
1+125*1252 = 7875. (*)
Теперь настало время рассмотреть основную задачу.
Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую – то сторону, во второй – на 2 см, в третий – на 3 см и т.д. Докажите, что после 125 прыжков он не может оказаться там, где начинал».
При первом прочтении ребята возмущаются простотой задачи: зачем их спрашивают такие очевидные вещи? Ясно же, что с каждым прыжком кузнечик все более удаляется от начальной точки! Что тут доказывать?
Учитель разъясняет, что «по прямой»можно двигаться в двух противоположных направлениях, т.е. как туда, так и обратно. Так что в принципе кузнечик может вернуться в исходную точку. Теперь ребята склонны посчитать задачу весьма трудной, так как они не знают, где именно кузнечик повернет назад. Некоторые предлагают свою версию событий – считать, что кузнечик сделал 15 прыжков вперед и прыгнул на расстояние
1+2+3+ …+15=16*152 = 120 мм,
а потом повернул назад и, прыгнув на 120 мм, достиг начальной точки. Учитель призывает ребят внимательнее прочитать условие, чтобы не делать подобных ошибок. В самом деле, на 16 –м прыжке кузнечик может преодолеть только 16 мм, а не 120 мм. Приходится опять подправлять ребячьи рассуждения, объясняя, что кузнечик вовсе не обязан делать только один поворот. Он может прыгнуть вперед, потом назад, потом снова несколько раз вперед, т.е. его движения весьма хаотичны, хоть и все время придерживаются одной прямой.
Здесь придется обратить внимание на скромные слова «не может» в условии задачи. Они дают понять, что не следует интересоваться тем, как на самом деле происходило движение по прямой. Ответ должен годиться для любого варианта последовательности прыжков.
Пытаясь найти выход из положения, ребята вспоминают про формулу (*). Не поможет ли она чем нибудь? Все вместе замечаем, что кузнечику за 125 прыжков предстоит преодолеть расстояние, выраженное нечетным числом 7875 мм. Но на сколько бы ни отдалился кузнечик от начальной точки, возвращаясь, ему придется преодолеть то же самое расстояние. Итак, совокупность «пройденных» расстояний туда и обратно должна выражаться четным числом, а число (*) нечетное. Это простое рассуждение и служит доказательством.
В VI классе ребята еще плохо понимают, что означает провести доказательство. Тем важнее задачи, подобные только то решенной. В VI классе они еще служат пропедевтическим материалом, а в VII классе они выдвигаются на первые позиции. Обычно обучение доказательству начинается с геометрического материала, причем с такого, который сам по себе очевиден. Но можно подобрать и арифметический материал, который не создаст впечатление ненужной очевидности. Одна из таких задач приведена ниже.
«Докажите, что разность квадрата нечетного числа и единицы кратна четырем».
Ребята проверяют утверждение на примерах и видят, что 12 – 1=0 – делится на 4, 32 – 1=8 – делится на 4, 52 – 1=24 – делится на 4. Многие уже готовы считать, что доказательство получено. Но учитель разочаровывает ребят, говоря, что они только провели наблюдение немногочисленных фактов, но это не есть доказательство. Ребята возражают: «Нечетных чисел бесконечно много, для каждого из них мы не можем проверить утверждение задачи. Следовательно, это утверждение нельзя доказать?»
Учитель поясняет, что нельзя осуществить проверку для каждого нечетного числа. Но есть другой метод доказательства. Он основан не на переработке некоторого множества чисел, а на такой записи, в которой видно, что при делении на 2 число дает остаток 1. Это запись 2m+1. При любом натуральном m число n=2m+1 является нечетным.
Теперь условие задачи запишем так:
n 2 – 1=(2m+1)2 – 1=4 m2+4 m+1 – 1=4 m2+4 m=4(m+1), т.е. n 2 – 1 кратно 4.
Решение нестандартных задач для нас важно не само по себе, а как средство развития учащихся и воспитания у них исследовательских навыков.