Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения
Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения
Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2 + bx + c = 0,
где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
1) Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;
2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
3) ах2 = 0.
2) Квадратное уравнение называют приведённым, если его первый коэффициент равен 1.
Различные способы решения квадратных уравнений:
разложение левой части уравнения на множители; метод выделения полного квадрата; решение квадратных уравнений по формуле; решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета; графическое решение квадратного уравнения; решение квадратных уравнений способом «переброски»; решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки; решение квадратных уравнений с помощью номограммы; геометрический способ решения квадратных уравнений. В школьном курсе алгебры применяются способы решения квадратных уравнений: метод выделения квадрата двучлена; решение квадратных уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения; разложение квадратного уравнения на линейные множители; решение уравнений с использованием теоремы Виета; графический способ решения квадратных уравнений.
Подробно исследуем способы решения квадратных уравнений: решение уравнений способом «переброски»; применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.
Но прежде, чем исследовать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
не имеют корней;
имеют ровно один корень;
имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен.
2.2. Решение уравнений способом «переброски».
Суть метода состоит в том, что корни квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 и y2 + by + ac = 0 связаны соотношением: х = уа .Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = уа ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = y1 / a и х2 = y2 / a. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Дано уравнение: 2х2 – 11х + 15 = 0. Решим данное уравнение способом «переброски»
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y2 – 11y + 30 = 0. (D>0), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни
у1 + у2 = 11 ; у1 * у2 = 30
у1 = 5 ; у2 = 6 вернемся к корням исходного уравнения х1 = 5/2, x1 = 2,5 и x2 = 6/2, x2 = 3. Ответ: 2,5; 3.
Дано уравнение √3x2 – 5x – √12 = 0. Решим данное уравнение методом «переброски»
По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:
y2 – 5y – √12 · √3 = 0;
y2 – 5y – 6 = 0.
Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно -6.
Легко видеть, что это будут числа 6 и -1. Тогда исходное уравнение будет иметь корни:
x1 = 6/√3; x2 = -1/√3.
В знаменателе уберем иррациональность. Получим:
x1 = 2√3; x2 = -√3/3.
Ответ: 2√3; -√3/3.
Рассмотренный метод очень эффективен при решении задач, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.
2.3. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета
1. Если а + b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = са.
Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
x2 + ba* x + ca= 0.
Согласно теореме Виета
x1 + x2 = - ba,
x1 x2 = 1* ca.
2. Если а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
x1 + x2 = - а + ba = -1 – c/a,
x1 x2 = - 1* ( - ca),
т.е. х1 = -1 и х2 = - ca.
Дано уравнение: 345х2 – 137х – 208 = 0. Решим данное уравнение, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Так как а + b + с = 0 , (345 – 137 – 208 = 0), то
х1 = 1, х2 = ca. = -208/345.
Ответ: 1; -208/345.
Решим уравнение 2х2 – 6х + 4 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Так как а + b + с = 0, 2 – 6 + 4 = 0, то
х1 = 1; х2 = ca = 4/2 = 2
Ответ: 1; 2.
Используя это свойство, решим уравнение 15х2 – 8х – 7 =0.
Так как a + b + c=0, 15 – 8 - 7 =0, то
х1 = 1; х2 = ca = -7/15
Ответ: 1; -7/15.
Решим уравнение 2x2 + 3x + 1 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Так как 3 = 2 + 1, (b = a + c), то
x1 = -1 x2 = (-c/a) = -1/2.
Ответ: -1; -1/2.