Методическая разработка по теме: Численное решение некоторых задач линейной алгебры

Численное решение некоторых задач линейной алгебры

Методическое обоснование темы. Обращение к данной теме не является случайным. Задача типа решения систем уравнений, имеющих бесконечное множество решений редко затрагиваются в школьном курсе. Хотя сами системы решаются ещё в курсе 7-го класса, гдн изучаются системы двух уравнений с двумя переменными. В результате чего из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, где решение не столь однозначно, а также методы их решения. Более того, к моменту окончания школы не все ученики могут справится с заданиями такого типа.
Предлагается разработка факультативного занятия по данной теме. Однозначных рекомендаций по срокам проведения этого занятия нет. Отдельные элементы можно использовать на уроке в 7-м классе с высоким уровнем подготовки учащихся. Можно в качестве предварительного домашнего задания предложить из различных источников или учебной литературы по математике подыскать способы решения заданий такого типа. Большая часть занятия посвящена решению различных задач.








Задача 1
Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

5
-1
-1

0
4
-1

0
-1
4


Решение:
1. Найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:
·А
·
·E
· = 0.

5
·
·
-1
-1

0
4
·
·
-1

0
-1
4
·
·


= 0. (1)

5
·
·
-1
-1

0
4
·
·
-1

0
-1
4
·
·


= ( 5 -
·)(4 -
·)(4 -
·) – (5-
·) = (5-
·)(16-8
·+
·2-1) =
= (5 -
·)(15 - 8
· +
·2) = 75 - 15
· - 40
· + 8
·2 + 5
·2 -
·3=
= -
·3 + 13
·2 - 55
· + 75

Имеем: -
·3 + 13
·2 - 55
· + 75 = 0. Найдем собственные значения
·.
Подбираем
·1=3, действительно -33 + 13*32 – 55*3 + 75 = 0.
Поделим на (
· – 3):

-
·3 + 13
·2 - 55
· + 75

· – 3

-
·3 + 3
·2

-
·2 + 10
· - 25

-
10
·2 - 55
·



10
·2 - 55
·


-
- 25
· + 75



- 25
· + 75



0



Решаем: -
·2 + 10
· – 25 = 0
- (
·2 - 10
· + 25) =0
- (
· – 5)2 = 0

· – 5 = 0

·2,3 = 5.
Таким образом, собственные значения матрицы третьего порядка
·1 = 3,
·2,3 = 5.

2. Для каждого
· найдём его собственный вектор:
2.1.
·1 = 3
Подставим
· =
·1 = 3 в определитель (1):



5
· 3
-1
-1

0
4
· 3
-1

0
-1
4
· 3

2
-1
-1

0
1
-1

0
-1
1


=



(А
·
·E) Х = 0. Тогда имеем однородную систему линейных уравнений. Решим её методом Гаусса:

2
-1
-1
0

2
-0,5
-0,5
0

0
1
-1
0
~
0
1
-1
0

0
-1
1
0

0
-1
1
0


~


1
0
-1
0

0
1
-1
0

0
0
0
0

=>



x1 - x3 = 0, x1 = x3 ,
x2 - x3 = 0, => x2 = x3 .

Полагая x1 = с, получим координаты первого собственного вектора
Х =
1


1


1


Х =
с


с


с

. При с = 1, x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1. Имеем



2.2.
·2,3 = 5
Подставим
· =
·1,2 = 5 в определитель (1):

5
· 5
-1
-1

0
4
· 5
-1

0
-1
4
· 5

0
-1
-1

0
-1
-1

0
-1
-1


=



(А
·
·E) Х = 0. Тогда имеем однородную систему линейных уравнений. Решим её методом Гаусса:

0
-1
-1
0

0
-1
-1
0

0
-1
-1
0




или -x2 - x3 = 0,

Полагая x1 = с1, x2 = с2, получим координаты второго и третьего собственных векторов
Х =
1


1


- 1


Х =
с1


с2


-с2

. При с1= 1, x1 = 1, с2= 1, имеем




ОТВЕТ: собственные значения матрицы третьего порядка
·1 = 3,
·2,3 = 5;
собственные векторы матрицы третьего порядка
Х =
1


1


- 1

Х =
1


1


1






Задача 2

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.
4x1 + 2x2 - x3 + х4 = 12,
x1 + 7x2 - 5x3 + 2х4 = - 9,
- 2x1 + 5x2 - 6x3 + 3х4 = - 8.

Решение:
Докажем совместимость системы.
Вычислим ранг матрицы системы А и расширенной матрицы системы Г, запишем их:
А =
4
2
-1
1


1
7
-5
2


-2
5
-6
3






Г =
4
2
-1
1
- 12


1
7
-5
2
- 9


-2
5
-6
3
- 8







Для вычисления ранга приведём матрицу Г (а значит одновременно и матрицу А) к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы. Тогда ранг матрицы будет равен количеству ненулевых строк.
4
2
-1
1
- 12

1
7
-5
2
- 9

-2
5
-6
3
- 8






Вычитаем из строки 2 строку 1, умноженную на на ј
·

4
2
-1
1
- 12

0
13/2
- 19/4
7/4
- 6

-2
5
-6
3
- 8


Сложим 3 строку со второй, умноженной на Ѕ

4
2
-1
1
- 12

0
13/2
- 19/4
7/4
- 6

0
6
-13/2
7/2
- 14


Прибавим к строке 3 строку 2, умноженную на -12/13

4
2
-1
1
- 12

0
13/2
- 19/4
7/4
- 6

0
0
-55/26
49/26
-110/13


(2)


4
2
-1
1


Rank A = rank
0
13/2
- 19/4
7/4
= 3


0
0
-55/26
49/26




4
2
-1
1
- 12


Rank Г = rank
0
13/2
- 19/4
7/4
- 6
= 3


0
0
-55/26
49/26
-110/13



Так как rank A = rank Г = 3, то система линейных алгебраических уравнений совместна.
Что и требовалось доказать

2. Система содержит 4 неизвестных, т.к. rank A = rank Г = 3 < 4, то система имеет бесконечное количество решений.
В данном случае, количество неизвестных 4, количество уравнений 3. По этому решить данную систему по формулам Крамера и матричным методом нельзя.
Метод Крамера и матричный метод применяются только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля.
Решим систему методом Гаусса. Для этого воспользуемся ступенчатым видом (2).
Имеем:
4x1 + 2x2 - x3 + х4 = - 12,
13/2 x2 - 19/4 x3 + 7/4 х4 = - 6,
- 55/26 x3 + 49/26 х4 = - 110/13.

Из уравнения 3 системы выразим переменную х4
- 55/26 x3 + 49/26 х4 = - 110/13
- 55/26 x3 = - 110/13 - 49/26 х4
x3 = (- 110/13 - 49/26 х4) * (- 26/55) = 4 + 49/55 х4.

Из уравнения 2 системы выразим x2:
13/2 x2 = - 6 + 19/4 x3 - 7/4 х4 = - 6 + 19/4(4 + 49/55 х4) - 7/4 х4 =
= - 6+19+19/4*49/55 х4 – 7/4 х4 = 13+273/110 х4;

x2 = (13+273/110 х4) : 13/2 = 2+21/55 х4.

Из первого уравнения системы найдем переменную x1
4x1 + 2x2 - x3 + х4 = - 12;
=
4x1 + 2x2 - x3 + х4 = - 12- 2x2 + x3 - х4 = - 12- 2(2+21/55 х4)+ 4+ 49/55 х4- х4=
= -12 - 48/55 х4;

x1 = (-12 - 48/55 х4) : 4 = - 3 - 12/55 х4

ОТВЕТ: x1 = - 3 - 12/55 х4;
x2 = 2+21/55 х4;
x3 = 4 + 49/55 х4;
х4 – произвольная.

Задача 3

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений..
2x1 - x2 + 3x3 - 7х4 = 0,
6x1 - 3x2 + x3 - 4х4 = 0,
4x1 - 2x2 +14x3 - 31х4 = 0.

Решение:
Докажем совместимость системы.
Вычислим ранг матрицы системы А и расширенной матрицы системы Г, запишем их:
А =
2
-1
3
-7


6
-3
1
-4


4
-2
14
-31






Г =
2
-1
3
-7
0


6
-3
1
-4
0


4
-2
14
-31
0







Для вычисления ранга приведём матрицу Г (а значит одновременно и матрицу А) к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы. Тогда ранг матрицы будет равен количеству ненулевых строк.
2
-1
3
-7
0

6
-3
1
-4
0

4
-2
14
-31
0






Вычитаем из строки 2 строку 1, умноженную на на 3

2
-1
3
-7
0

0
0
-8
17
0

4
-2
14
-31
0


Вычтем из строки 3 строку 1, умноженную на 2

2
-1
3
-7
0

0
0
-8
17
0

0
0
0
0
0


(3)



2
-1
3
-7


Rank A = rank
0
0
-8
17
= 2


0
0
0
0




2
-1
3
-7
0


Rank Г = rank
0
0
-8
17
0
= 2


0
0
0
0
0



Так как rank A = rank Г = 2, то система линейных алгебраических уравнений совместна.

2. Система содержит 4 неизвестных, т.к. rank A = rank Г = 2 < 4, то система имеет бесконечное количество решений.
В данном случае, количество неизвестных 4, количество уравнений 3. По этому решить данную систему по формулам Крамера и матричным методом нельзя.
Метод Крамера и матричный метод применяются только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля.
Решим систему методом Гаусса. Для этого воспользуемся ступенчатым видом (3).
Имеем:
2x1 - x2 + 3 x3 - 7 х4 = 0,
- 8 x3 + 17 х4 = 0.

Из уравнения 2 системы выразим переменную х3
- 8 x3 + 17 х4 = 0;
x3 = 17/8 х4 .

Из уравнения 1 системы выразим x1:
2x1 - x2 + 3 x3 - 7 х4 = 0;
2x1 = x2 - 3 x3 + 7 х4 = x2 - 3* 17/8 х4 + 7 х4 = x2 + 5/8 х4 ;
x1 = Ѕ x2 + 5/16 х4


ОТВЕТ: x1 = Ѕ x2 + 5/16 х4;
x2 = произвольная;
x3 = 17/8 х4 ;
х4 – произвольная.









13PAGE 15


13PAGE 14915




15