Методические рекомендации к практическому занятию по математике по теме:Первый и второй замечательные пределы

министерство образования и науки Волгоградской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Волжский политехнический техникум»
Методические рекомендации
к практической работе
по теме «Первый и второй замечательные пределы»
Учебная дисциплина: Математика
Специальности: 140448 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям);
190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта.

Курс: 2
Преподаватель: Курлович Е.П.
2014-2015
Практическое занятие
Тема: Первый и второй замечательные пределы.
Цели:
Продолжить формировать умения и навыки вычисления первого и второго замечательных пределов.
Проконтролировать уровень усвоения теоретического материала.
Корректировка знаний, умений, навыков.
План занятия:
Подготовительный этап.
Повторение опорных знаний.
1)Что называется первым замечательным пределом?
2)Что называется вторым замечательным пределом?
Теоретический этап.
Применение знаний при решении типовых заданий.
Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла, выраженного в радианах, равен единице, т.е.
limx→0sinxx=1 1,и называется первым замечательным пределом. Он используется при раскрытии неопределённостей вида 00 и 0∙∞, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Пример 1. Найти limα→0sin3αα.
Решение: Приведём этот предел к виду 1. Для этого числитель и знаменатель дроби умножим на 3, и постоянный множитель 3 вынесем за знак предела. Т.е.
limα→0sin3αα=00=limα→03sin3α3α=3limα→0sin3α3α=3∙1=3. (учитываем, что если α→0, то и 3α→0).
Вторым замечательным пределом называется предел вида
limx→∞1+1xx=e. 2Он служит для раскрытия неопределённостей вида 1∞.
Число e является бесконечной, непериодической дробью, приближённое значение которого равно e≈2,718281828459045…≈2,72.
С помощью замены переменной по формулам t=1x ,x=1t , t→0 при x→∞ второй замечательный предел можно представить в виде
limt→01+t1t=e. 3Пример 2. Вычислить limx→∞1-1xxlimx→∞1-1xx=1∞=x=-tпри x→∞,t→∞=limt→∞1+1t-t= =limt→∞1+1tt-1=1e .
Пример 3. Вычислить limx→∞2x2x-32-5x.Решение: Воспользуемся вторым замечательным пределом, свойствами степеней и теоремами о пределах функции. Преобразуем выражение под знаком предела:limx→∞2x2x-32-5x=limx→∞1+2x2x-3-12-5x==limx→∞1+2x2x-3-2x-32x-32-5x==limx→∞1+2x-2x+32x-32-5x=limx→∞1+32x-32-5x=limx→∞1+12x-332-5x==1∞==limx→∞1+12x-332x-3332-5x2x-3=limx→∞1+12x-332x-33limx→∞32-5x2x-3==замена: 2x-33=tt→∞ при x→∞=limt→∞1+1ttlimx→∞6-15x2x-3=e-152.
Указание: limx→∞6-15x2x-3=limx→∞x6x-15x2-3x=limx→∞6x-152-3x=limx→∞6x-limx→∞15limx→∞2-limx→∞3x=-152.Практический этап.
Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Провести самостоятельную работу в 14 вариантах.
Планируемый результат: после выполнения практических заданий студент должен:
уметь: вычислять пределы функций, используя первый и второй замечательные пределы.
знать: основные теоремы и следствия о пределах функций, первый и второй замечательные пределы.
Требуемое время: 2 академических часа.
Раздаточный материал:
1.Справочный материал по теме;
2.Дидактические карточки 15 вариантов.
Основная литература:
Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, часть 2.-М.,Наука,1981.
Соловейчик И. А., Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями.-Лань, Санкт-Петербург-Москва-Краснодар, 2011.
Жуков В.М. Практические занятия по математике: теория, задания, ответы. – Ростов-на-Дону, Феникс, 2012.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике -М.,ВШ,1990.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика -М., Дрофа,2006.
Вариант 1
Вычислить:
на «3»:
1. limx→0sin2xx ;2. limx→∞1+13xx ;на «4»:
3. limx→0sin17xsin8x ;4. limx→∞1+25x5x ;на «5»:
5. limx→∞3x-13x+26x+1.Вариант 2
Вычислить:
на «3»:
1. limx→0xsin13x ;2. limx→∞1+15x4x ;на «4»:
3. limx→0sin3xsin7x ;4. limx→∞1+57x3x ;на «5»:
5. limx→∞x+1x-23-2x.