Контрольная работа по дисциплине Высшая математика

Контрольная работа
1. Решить систему уравнений:
а) методом Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
а) Метод Крамера
Вычисляем определители системы:
13 EMBED Equation.3 1415 = 12 + 1 – 6 – 9 + 2 – 4 = -4
13 EMBED Equation.3 1415 = -24 – 7 – 66 + 63 + 22 + 8 = -4
13 EMBED Equation.3 1415 = 44 + 4 – 21 – 33 + 8 – 14 = -12
13 EMBED Equation.3 1415 = -42 – 11 + 8 + 12 – 7 + 44 = 4
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
б) В матричном виде система имеет вид:
А(Х = В, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение системы: Х = А-1(В
Найдем А-1
(А = -4
А11 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 4; А21 = - 13 EMBED Equation.3 1415 = -4; А31 = 13 EMBED Equation.3 1415 = -8;
А12 = - 13 EMBED Equation.3 1415 = -3; А22 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1; А32 = - 13 EMBED Equation.3 1415 = 5;
А13 = 13 EMBED Equation.3 1415 = -5; А23 = - 13 EMBED Equation.3 1415 = 3; А33 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 7.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Т. о. x1 = 1; x2 = 3; x3 = -1
в) Проверим систему на совместимость
Запишем расширенную матрицу системы:
13 EMBED Equation.3 1415
Т. к rang A = rang 13 EMBED Equation.3 1415 = 3, система совместна и имеет единственное решение
Получаем равносильную систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Из третьего уравнения получим 13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя вместо 13 EMBED Equation.3 1415 во второе уравнение, вычислим значение 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
Из первого уравнения получим значение 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
Т. о. x1 = 1; x2 = 3; x3 = -1
Ответ: x1 = 1; х2 = 3; х3 = -1

2. Даны четыре точки А1(х1, у1, z1), А2(х2, у2, z2), А3(х3, у3, z3) и А4(х4, у4, z4).
Составить уравнения:
а) плоскости А1А2А3;
б) прямой А1А2;
Вычислить:
в) площадь грани А1 А2 А3;
г) объем пирамиды А1 А2 А3 А4;
д) длину высоты, опущенной из точки А4 на грань А1 А2 А3
е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.
2. А1(2, 4, 3), А2(1, 1, 5), А3(4, 9, 3), А4(3, 6, 7).
Решение.
а) Уравнение плоскости А1А2А3:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(x – 2)(0 – 10) – (y – 4)(0 – 4) + (z – 3)(-5 + 6) = 0
-10(x – 2) + 4(y – 4) + (z – 3) = 0
-10x + 4y + z + 1 = 0
б) Уравнение прямой А1А2:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
в) Площадь грани А1 А2 А3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(кв. ед.)
г) Объем пирамиды А1 А2 А3 А4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда V = 13 EMBED Equation.3 1415 (куб. ед.)
д) Длина высоты, опущенной из точки А4 на грань А1 А2 А3
13 EMBED Equation.3 1415
Получим: 13 EMBED Equation.3 1415 (ед.)
е) Синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415= (-10; 4; 1) – вектор нормали к плоскости А1А2А3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
а) -10x + 4y + z + 1 = 0
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415(кв. ед.)
г) V = 13 EMBED Equation.3 1415 (куб. ед.)
д) 13 EMBED Equation.3 1415 (ед.)
е) 13 EMBED Equation.3 1415.

3. Вычислить пределы:
3.
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415,
в) 13 EMBED Equation.3 1415,
г) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
4x2 – 3х – 1 = 4(x – 1)(x +13 EMBED Equation.3 1415); 6
· 4 = 6(x – 1)(x + 13 EMBED Equation.3 1415);
D = 9 – 4
·4
·(-1) = 25 D = 4 – 4
·6
·(-4) = 100
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Сделаем замену 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415

4. Вычислить производную
4.
а) 13 QUOTE 1415
б) 13 QUOTE 1415
в) 13 QUOTE 1415
г) 13 QUOTE 1415
д) 13 QUOTE 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
а)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
б)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
в)
13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцируем равенство по х
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
е) Продифференцируем равенство по х
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ.
а) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415

5. Вычислить интегралы:
5.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
б)
13 EMBED Equation.3 1415
в)
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
г)
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ.
а) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415

6. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию
6. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415. Данное уравнение решаем методом Бернулли.
Полагая 13 EMBED Equation.3 1415, приводим уравнение к виду 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Приравняем скобку к нулю: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляем полученное значение 13 EMBED Equation.3 1415 в уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 - общее решение дифференциального уравнения
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native