Практическая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Построение геометрического и гипергеометрического распределения дискретной случайной величины»

Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»
специальность среднего профессионального образования
230401 Информационные системы (по отраслям)
Курс -3
Практическая работа
Тема: «Построение геометрического и гипергеометрического распределения дискретной случайной величины»
Методические указания и теоретические сведения к практической работе
Цель:
расширение и закрепление знаний о дискретных случайных величинах
закрепление умений решать задачи на вычисление вероятности дискретных случайных величин, случайных событий
закрепление умений составлять ряды распределения вероятностей дискретных случайных величин
Продолжить работу по формированию ОК 2,3,4,6,7
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы
1 . Геометрическое распределение. 
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p ( 0 < p < 1) и , следовательно, вероятность его непоявления
q = 1 - p. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х1= 1, х2= 2, …
Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P ( X = k ) = q k-1p.
Определение. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:
P ( X = k ) = q k-1p , где .
Замечание 1: Полагая k = 1,2,…, получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0< q <1). По этой причине распределение называют геометрическим.
Замечание 2: Ряд сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна .
Этот закон распределения и называется геометрическим распределением. Название происходит из того, что величина  представляет собой геометрическую прогрессию, с первым членом p и знаменателем q.
В качестве примера рассмотрим стрельбу по некоторой цели до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов  и сохраняет постоянное значение р (0 < p < 1). Тогда количество произведенных выстрелов будет случайной величиной с геометрическим распределением вероятностей. 
Геометрическое распределение определяется одним параметром р.
Пример 1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:
P ( X = 3 ) = 0,42·0,6 = 0,096.
Пример 2. Стрелком производятся выстрелы по мишени до первого попадания. Вероятность попадания в каждом выстреле равна p=0,6. Построить ряд распределения количества произведенных выстрелов.
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число произведенных выстрелов до первого попадания. Возможными значениями Х являются натуральные числа =1, =2, =3, …. Множество значений Х является бесконечным счетным множеством, как и ряд натуральных чисел.
Вероятность того, что случайная величина принимает значение =1, т.е. попадание происходит при 1-м выстреле, по условию задачи равна =p=0,6. Вероятность принятия случайной величиной значения =2 (попадание происходит при 2-м выстреле) подсчитывается как вероятность сложного события по теореме умножения вероятностей. Непопадание в мишень в первом выстреле и попадание во втором – события независимые. Поэтому =(1–p) ×p=(1–0,6)×0,6=0,4×0,6=0,24. Аналогичным образом находятся вероятность  значения случайной величины =3: =(1–p) ×(1–p) ×p=(1–0,6)× (1–0,6)×0,6=0,4×0,4×0,6=0,096, вероятность =×0,6=×0,6=0,0384, =×0,6=×0,6=0,01536 и т.д.
Подсчитаем вероятность того, что случайная величина принимает значение =k. Это означает, что попадание произошло лишь в k-м выстреле, а до этого был k-1 промах. Так как все выстрелы независимы друг от друга, то по теореме умножения вероятностей =.
Таким образом, ряд распределения случайной величины запишется так:
X 1 2 3 4 5 … k …
p 0,6 0,24 0,096 0,0384 0,01536 … …
 
Многоугольник распределения случайной величины построен на рис.6.4 до значения =5 (множество значений дискретной случайной величины – бесконечное)

Рис. 1.
 
Можно заметить, что ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины, образует бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,4 и первым членом p=0,6:
0,6; 0,6×0,4; 0,6×; 0,6×; 0,6×; … .
Поэтому распределение случайной величины в примере (2) называют геометрическим.
2. Гипергеометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами  a, b,  n,  если ее возможные значения  0, 1, 2, ... , m, … , а  имеют вероятности:            
Гипергеометрическое распределение возникает, например, когда из урны, содержащей  а  черных и  b белых шаров, вынимают n шаров. Случайной величиной, подчиненной гипергеометрическому закону распределения, является число белых шаров среди вынутых.
Пример 3. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.
Решение. По условию задачи, а = 20, b = 30, n = 5, m = 3. Искомая вероятность
Пример 5. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов (С610).
Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей C47 способами; при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандартных деталей можно С23 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно C47 * C23.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
P (A) = (C47 * C23) / C610 = 1 / 2.
Пример 6. Из 10 телевизоров на выставке оказались 4 телевизора фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбраны 3 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.
Содержание практической работы
Задача 1. (гипергеометрическое распределение)
 В партии из 9 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди четырех взятых деталей наугад ровно три стандартных.
Решение.
53340152400
В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых деталей наугад ровно три стандартных
Задача 2. (гипергеометрическое распределение)
В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей есть хотя бы одна стандартная.
Решение.

Задача 3. (гипергеометрическое распределение)
В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара; Х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины  Х и вероятность события х > 1.
Решение.
Возможные значения случайной величины  . Соответствующие им вероятности р0, р1, р2, р3  подсчитываем классическим способом:




Вероятность события х >1 равна:
 
Задача 4. (гипергеометрическое распределение) Из 10 телевизоров на выставке оказались 5 телевизоров фирмы «Самсунг». Наудачу для осмотра выбраны 4 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Самсунг» среди 4 отобранных.
Решение. Из 10 телевизоров на выставке оказались 4 телевизора фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбраны 3 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.Решение. 


Задача 5. (геометрическое распределение) Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания в цель при одном выстреле постоянна и равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет при четвертом выстреле.
Решение. Обозначим событие А – попадание стрелком в цель при выстреле, случайная величина X – число выстрелов, которое нужно сделать до первого попадания в цель. Из условия задачи очевидно, что выполняются все предпосылки геометрического распределения, т.е. можно принять, что случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p=0,7. Учитывая, что по условию p=0,7; q=1-p=1-0,7=0,3; k=4, имеем:
Задача 6. Имеется 50 деталей, среди них окрашенных – 25. Случайным образом выбраны 5 деталей. Какова вероятность, что среди них 4 детали окажутся окрашенными?
Решение. Обозначим X – случайная величина, которая характеризует число окрашенных деталей в выбранной партии из 5 деталей. Очевидно, что случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение и может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5.
По условию задано: а=25, b=25, n=5, m=4.
Задача 7. (геометрическое распределение) Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. (см. ниже)