Методическая разработка занятия по математике «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур»

Методическая разработка
занятия по математике
«Аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур»
Составила преподаватель
математики Жинелеева Г.Н.
Тема занятия: Аксиомы стереометрии и следствия из них. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.
Вид занятия: лекция
Цели занятия:
Обучающие:
сформировать представления студентов об основных понятиях и аксиомах стереометрии, систематизировать наглядные представления студентов об основных понятиях стереометрии (точках, прямых, плоскостях);
сформировать представление о взаимном расположении двух прямых в пространстве; сформировать навык чтения и построения чертежей.
Развивающие:
развивать пространственное воображение студентов, логическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность студентов, математическую речь, память, внимание.
Воспитательные:
воспитывать у студентов ответственное отношение к учебному труду, формировать эмоциональную культуру и культуру общения.
Методы обучения: словесный, наглядный, практический.
Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, модели прямых, плоскостей, пространственных фигур.
Литература:
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10 -11 кл., учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2016.
Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенько А.К. Математика (підручник для студентів ВНЗ І-ІІ р.а. технічних спеціальностей) – К.: Вища школа, 2001
Глейзер Г. И. История математики в школе 9 – 10 классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1998. – 351с.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10 - 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – М.: Дрофа, 1999. - 208с.
5. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Сост.: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. - 336с.
Математика в Открытом колледже http://www.mathematics.ru
СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ
I.Организационный момент.
II.Мотивация темы занятия, сообщение целей занятия.
III.Изучение нового материала.
План лекции.
Возникновение и развитие геометрии;
Введение в стереометрию;
Аксиомы стереометрии;
Следствия из аксиом стереометрии;
Взаимное расположение двух прямых в пространстве;
Параллельное проектирование и его свойства;
Изображение пространственных фигур.
IV.Обобщение изученного материала.
V.Формирование умений и навыков студентов.
VI.Домашнее задание.
VII.Подведение итогов занятия.
ХОД ЗАНЯТИЯ
Организационный момент.
Приветствие, объявление даты, проверка присутствующих студентов на занятии. Проверка готовности студентов к занятию по геометрии.
Мотивация темы и цели занятия.
Мы продолжаем изучать предмет «геометрия», но, мы выходим на другой уровень геометрии – стереометрию. Сегодня нам предстоит узнать, почему этот раздел изучается отдельно, какие задачи нам предстоит решать и, наконец, с помощью каких теоретических основ эти задачи будут решаться.
Преподаватель предлагает студентам следующую задачу-головоломку:
сложите шесть карандашей так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине карандаша.
Дает время для ее решения. Если никто из студентов не смог предложить верный вариант, то преподаватель сообщает, что для решения данной задачи необходимо выйти в пространство и сложить карандаши в виде пирамиды. Демонстрирует решение. Говорит, что невозможно на плоскости, оказывается возможным в пространстве.

Изучение нового материала.
1. Возникновение и развитие геометрии.
(Сообщения студентов, презентация)
<Слайд 1> Для удовлетворения непрерывно возрастающих потребностей человеческого общества, возникла и развивалась геометрия.
<Слайд 2> Геометрия – одна из древнейших наук. Она зародилась в Древнем Египте свыше 4000 лет назад.
<Слайд3> В Древнем Египте плодородные земли были расположены на очень узком участке земли – в долине реки Нил. Каждую весну Нил разливался и удобрял землю плодородным илом. Но при разливе реки смывались границы участков, менялись их площади. Тогда пострадавшие обращались к фараону, он посылал землемеров, чтобы восстановить границы участков, выяснить, как изменилась их площадь и установить размер налога.
Ремесленникам необходимо было изготавливать посуду, строителям - подбирать камни различной формы для строительства храмов и пирамид, астрономам – измерять углы для определения положения звезд.
<Слайд 4> Так как в основном речь шла о земельных участках и различных измерительных работах, то древние греки, узнавшие от египтян об этой науке, назвали ее геометрия, т.е. землемерие.
<Слайд 5> Древние египтяне были замечательными инженерами. Об этом свидетельствуют всем известные египетские пирамиды. Но геометрии как науки у них не было.
<Слайд 6> Большую лепту в развитие геометрии внесли вавилонские ученые. Около 6000 лет назад они изобрели колесо, научились измерять длину окружности. Они были замечательными астрономами.
<Слайд 7> Настоящей наукой геометрия стала только у древних греков. Греки не только заметили свойства «египетского «треугольника, но и сделали интересное открытие.
<Слайд 8> Две с половиной тысячи лет назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
<Слайд 9> Греческий математик Фалес научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени. Полагают, что Фалесу принадлежит первое доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и некоторые другие теоремы начальной геометрии. Древние греки приписывали Фалесу первое в истории науки предсказание солнечного затмения, которое произошло якобы точно в срок, предсказанный Фалесом (28 мая 585г. до н. э.)
<Слайд 10> Много практических задач решил греческий ученый и изобретатель Архимед. Он определил, что объем вписанного шара равен 2\3 объема цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на могильном камне вырезали чертеж этой задачи: шар в цилиндре. Потом, 200 лет спустя, по этому чертежу нашли могилу Архимеда.
<Слайд 11> Ученый древней Греции Евклид собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал по стереометрии. К 300-м годам до н. э. геометрия становится самостоятельной математической наукой. К этому времени ученый Евклид написал книгу, названную им «Начала».
В «Началах» Евклид развил аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формируются основные положения (аксиомы). Из них путем последовательных рассуждений сумел вывести все теоремы геометрии. «Начала» Евклида более полутора тысяч лет переписывались от руки в Греции, Италии и других странах. С возникновением книгопечатания «Начала» сотни раз перепечатывались на всех языках мира.
<Слайд 12> В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая в «Началах» Евклида называлась пятым постулатам: «Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых, при продолжении в туже сторону пересекаются».
Эта аксиома параллельности – с самого начала показалась не совсем очевидной. Попытки доказать пятый постулат длились около 2000 лет.
<Слайд 13> 174 года назад великий русский ученый Николай Иванович Лобачевский пришел к выводу, что аксиома параллельности Евклида не может быть доказана. Лобачевский заменил пятый постулат новым предложением: через точку вне данной прямой и в одной с ней плоскости можно провести более чем, одну прямую, не пересекающую данную прямую». Он показал, что это предложение ведет не к противоречию, а своеобразной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида. Лобачевского высмеивали, но это не заставило великого ученого отказаться от своих идей. Через 12 лет после его смерти была найдена поверхность, на которой справедлива новая геометрия.
<Слайд 14> Геометрия Евклида – геометрия земных пространств и расстояний. Геометрия Лобачевского – геометрия гигантских межпланетных и исчезающих малых атомных пространств, она включает геометрию Евклида как составную часть, как частный случай.
<Слайд 15> Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией творений природы и человека. В стереометрии исследуются математические модели тех материальных объектов, с которыми ежедневно имеют дело строители, токари, фрезеровщики, конструкторы, архитекторы. Без знаний стереометрии невозможно построить дом, машину, завод, невозможно правильно вести самолет, запустить ракету, исследовать строение вещества.
2. Введение в стереометрию.
Вы с 7 класса начали знакомиться с курсом геометрии. С 7 по 9 классы вы изучали первый раздел геометрии – планиметрию. Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.
Геометрия – часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел. (от греч. ge - земля и metreo - измеряю).
Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур, расположенных в пространстве. (от греч. «стерео» - объемный и «метрия» - измерения).
Основные понятия планиметрии: точка, прямая.

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость.


Такие понятия, как «точка», «прямая», «плоскость» вводят без определений и называют основными (неопределяемыми) понятиями.
Рассмотрите модели геометрических фигур и попробуйте увидеть, из каких самых простых объектов они составлены. Вершины геометрических тел можно рассматривать как точки. Точка – это идеализированный маленький объект, размером которого можно пренебречь. Евклид определял точку как то, что не имеет частей. Точки на чертежах обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …
Стороны многоугольников, ребра многогранников, отрезки представляют собой части прямых. Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, …
Плоские грани многогранников – это части плоскостей. Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ,... 
3. Аксиомы стереометрии.
Свойства неопределяемых понятий раскрывают с помощью аксиом.
Аксиома – положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности.
Далее мы сформулируем аксиомы стереометрии.
Аксиома1:
175757795100Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.
ВОПРОСЫ:
-сколько плоскостей можно провести через три точки?
-всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
Аксиома 2:
left16151100 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
ВОПРОСЫ:
-верно ли: если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
- если три точки окружности лежат в плоскости, то …?
Аксиома 3:
12029214326200 Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
4. Следствия из аксиом стереометрии.
32227611071100
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Параллельное проектирование и его свойства.
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость. Параллельная проекция всем хорошо знакома из жизни- тень фигуры. Солнце находится от нас так далеко, что его лучи в любой момент времени можно считать практически параллельными. Поэтому тень от любого предмета на дороге или стене дома представляет собой проекцию этого предмета на плоскость дороги или стены параллельно лучам солнца.
-3810103251000Пусть задана некоторая плоскость α, и некоторая прямая а, пересекающая плоскость α.
Проекцией точки А на плоскость α называется точка А1 - точка пересечения с плоскостью α прямой, параллельной прямой а, проходящей через точку А. Плоскость α называется плоскостью проекцией, прямая а – проектирующей прямой или прямой, задающей направление проектирования. Все прямые, параллельные прямой а, задают одно и то же направление проектирования. Проекцией некоторой фигуры называется множество проекций всех ее точек.
Свойства параллельного проектирования:
Проекция прямой есть прямая, проекция отрезка – отрезок.
Параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется.
Отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется.
Линейные размеры плоских фигур (длины отрезков, величины углов) не сохраняются.
Изображение пространственных фигур.
В стереометрии изображением фигуры называют любую фигуру, подобную параллельной проекции данной фигуры. Для данной фигуры форма ее изображения зависит от положения данной фигуры относительно плоскости проекций и о направления проектирования.
Преподаватель с помощью тени показывает параллельные проекции плоских фигур на плоскость и вместе со студентами делает выводы. Для этого использует модели треугольников, четырехугольников, окружности.
Фигура в пространстве Изображение фигуры на плоскости
Произвольный треугольник ( равнобедренный, равносторонний, прямоугольный) Произвольный треугольник
Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб Параллелограмм
Трапеция Трапеция
Окружность Эллипс
Обобщение изученного материала.
Аксиомы стереометрии описывают:
Способ задания плоскости:
Плоскость можно провести через три точки, не лежащие на одной прямой.
Плоскость можно провести через прямую и не лежащую на ней точку.
Плоскость можно провести через две пересекающиеся прямые.
Плоскость можно провести через две параллельные прямые.
Взаимное расположение прямой и плоскости:
Прямая принадлежит плоскости;
Прямая пересекает плоскость;
Прямая параллельна плоскости.
Взаимное расположение плоскостей:
Плоскости пересекаются по прямой;
Плоскости не имеют общих точек.
Формирование умений и навыков студентов.


Домашнее задание.
Работа с конспектом лекции.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10 -11 кл., учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углублённый уровни. М.: Просвещение, 2016.
с.3-7 задачи № 6,7,11
Подведение итогов занятия.
Какой раздел геометрии мы сегодня начали изучать?
Назовите основные понятия стереометрии.
Сформулируйте аксиомы стереометрии.
Назовите способы задания единственной плоскости.
Какое может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве?
Какой метод используют при изображении пространственных фигур?