Урок по геометрии в 9-м классе по теме Площадь круга (практическое получение площади круга)
Орлова Алиция Станиславовна, учитель математики ГБОУ «Школа448»
Урок по геометрии в 9-м классе по теме "Площадь круга"
Цель:
практическое получение формулы площади круга S = ПR2 , S = ПD2 / 4 и применение формул к решению задач;
повторить нахождение площади фигур разной формы.
развивать познавательный интерес учащихся, математическую речь, познакомить их с историческим материалом.
воспитывать аккуратность; умение переключаться и концентрировать внимание при смене видов деятельности.
Ход урока
1. Организационный момент
2.Вопросом о вычислении площади люди заинтересовались ещё с древнейших времен. Наиболее известная задача - это задача Дидоны.
(презентация и сообщение учащегося)
Согласно преданию, отец Дидоны (а точнее Элиссы - так ее звали, пока она жила в Тире) завещал царство ей и ее брату Пигмалиону. Но тот стремился к единоличной власти. Пигмалион убил Сихея (Акербаса), супруга Дидоны. Прихватив сокрови ща семьи, Дидона бежала в Африку, где купила у берберского царя Ярба зем лю.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Эней рассказывает Дидоне о гибели Трои. Картина Пьера Герена, Лувр
Итак, какую задачу так блестяще решила Дидона? “Какую наибольшую площадь можно окружить веревкой заданной длины?”
В геометрии эта задача звучит так: Какая из геометрических фигур с одинаковыми периметрами имеет наибольшую площадь?
Попытаемся и мы ответить на этот вопрос.
3. Домашнее задание у вас было в виде лабораторно-исследовательской работы.
1 вариант рассматривал класс фигур, образованный различными видами треугольников (разносторонний, равнобедренный, равносторонний) с одинаковыми периметрами 18см.
Задание вычислить площадь треугольника.
Пример. 1. Разносторонний треугольник. Р=18см.
а = 3, в= 8, с = 7, тогда S= 6
·3
а = 5, в=7, с= 6, тогда S= 6
·2
Пример2. Равнобедренный треугольник, Р=18см.
а= 5, в=5, с=8, тогда S=12
а=4, в=7, с=7, тогда S =6
·5
Пример3. Равносторонний треугольник.
а=в=с=6, тогда S= 9
·3
Из всех приведенных примеров видно, самая большая площадь получилась у равностороннего треугольника.
Может возникнуть вопрос: выполняется ли это для четырехугольников?
2 вариант
Учащимся предлагается тем же способом провести исследование для параллелограмма, прямоугольника, квадрата.
Пример1. Параллелограмм. Р=20см.
АВ= 1см, ВС= 9см, угол <В= 30°, тогда S= 1
·9sin30°= 9
·0,5=4,5см2
АВ= 2см, ВС= 8см, угол< В=30°, тогда S= 2
·8sin30°= 16
·0,5=8см2
Пример2. Прямоугольник. Р= 20см.
А= 1см, В= 9см, тогда S=9
·1=9см2
А= 2см, В= 8см, Тогда S= 2
·8=16см2
Пример3. Квадрат. Р=20см.
А= 5см, тогда S=5
·5=25см2
Вывод: здесь мы видим ту же картину наибольшая площадь у правильного четырехугольника, то есть у квадрата.
Учащиеся делают заключение: наибольшую площадь будет иметь правильный многоугольник.
А если у этого многоугольника бесконечно много сторон, то он будет похож на окружность. Следовательно, максимальную площадь занимает круг. Как посчитать площадь круга ?
4. На доске заготовлены рисунки различных фигур. Вычислите S фигур.
5. Беседа с классом:
а) Что общего между данными фигурами? ( S = 75 ед2)
б) Что их разобщает? (разная форма)
Вывод: фигуры, имеющие разную форму, но одинаковую площадь, называют равновеликие.
Вопрос классу: “А можно ли построить квадрат, равновеликий кругу с помощью циркуля и линейки?”
Над этой проблемой работал ещё Архимед!
Сможем ли мы с вами ответить на этот вопрос? Что нам для этого нужно? (получить формулу площади круга)
6. Архимед (287-212 до н.э.), вычисляя периметры вписанных и описанных 96-ти угольников, в сочинении «Измерение круга» показал, что периметр вписанного многоугольника с любым числом сторон всегда меньше, а описанного – всегда больше длины данной окружности, и что величина заключается между пределами
3,1408 < [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] < 3,1429. (презентация и сообщение учащегося)
7.Практическая работа.
Цель: получение формулы площади круга.
Оборудование: клей, ножницы, круг, линейка, карандаш, альбомный лист.
8. Выполнение работы:
9.Инструктаж по технике безопасности;
а) Разделить круг на восемь равных частей;
б) Разрезать круг на два полукруга;
в) Сделать надрезы от центра полукругов по радиусу к границе круга; раздвинуть и распрямить с 1-ой по 4-ую на альбомный лист:
г) включить части с 5-ой по 8-ую между частями 1,2,3,4. Вопросы:
а) Какую фигуру напоминает? (параллелограмм)
б) Какова формула его площади?
в) Как найти S?
8. А теперь вернемся к задаче Архимеда.
П
· 3,14 - число иррациональное
Вывод: нельзя построить квадрат равновеликий кругу, с помощью циркуля и линейки!
Поэтому, Архимед не мог в то время ответить на этот вопрос, т.к. не были еще открыты иррациональные числа.
В течении веков усилия многих математиков были направлены на решение этой задачи, получившей название задача о квадратуре круга. Только в конце 19 века было доказано, что такое построение невозможно.
9. Сообщения о числе
·.
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
· – первая буква греческого слова окружность, периферия. Впервые такое обозначение ввел в 1706 году английский математик Джонс. Общепринятым это обозначение стало в 1736 году, после одной из работ Эйлера, великого математика, физика, астронома. Письменная история числа
· начинается с египетского папируса, датируемого примерно 2000 годом до н.э.
В следующих фразах знаки числа
· можно определить по количеству букв в каждом слове:
Что
я
знаю
о
кругах?
3
1
4
1
6
Недавно Джонатан и Питер Борвейны (США) нашли
· с 29 360 128 верными знаками.
Если это число распечатать, оно займет 30 томов по 400 страниц.
Самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа
· состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, - лучше с отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, - и проводят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет. Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист пропускную бумагу или сукно. Бросание иглы повторяется много раз, например сто или, еще лучше тысячу, каждый раз отмечая, было ли пересечение. (Пересечением надо считать и тот случай, когда игла только упирается концом в начерченную линию.)
Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число
·, конечно более или менее приближенно.
Чем большее число падений наблюдалось, тем точнее получается выражение для числа
·. Один швейцарский астроном Р. Вольф в середине прошлого века наблюдал 5000 падений иглы на разграфленную бумагу и получил в качестве
· число 3,159- выражение, впрочем, менее точное, чем архимедово число.
Как видите, отношение длины окружности к диаметру находят здесь опытным путем, причем – это всего любопытнее – не чертят ни круга, ни диаметра, то есть обходятся без циркуля. Человек, не имеющий никакого представления о геометрии и даже о круге, может тем не менее определить этим способом число
·, если терпеливо проделает весьма большое число бросаний иглы.
10. Закрепление.
№1114
11. Домашнее задание: п. 111, №1116а,б; 1117а.
12. Итог урока: Формула для вычисления площади круга? ( S = ПR2 .)
Как можно получить вторую формулу через диаметр круга ? (S = ПD2 / 4)
13PAGE 15
13PAGE 14115
Эней рассказывает Дидоне о гибели Трои. Картина Пьера Герена, Лувр15