Проектная работа Лента Мебиуса

МБОУ – «Русско-Акташская СОШ»
Альметьевского муниципального района РТ
Проектная работа 9 класса
«Лента Мебиуса»
Учитель математики:
Васильченко Наталия Валерьевна

В одной руке у вас ножницы. В другой большое кольцо, склеенное из длинной бумажной ленты. Ножницы протыкают эту ленту и аккуратно разрезают ее вдоль – точно посередине. «Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца. Еще последний «вжик» - и …». Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального. «Такого не бывает», – скажите вы. Бывает. И даже еще не такое. Если только в руках у вас не обычное бумажное кольцо, а удивительная лента Мёбиуса.
Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул ее конец на пол-оборота (то есть на 1800), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради – теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.
Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса – односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.
Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Точно посередине – вы уже пробовали. А вот если разрезать ленту на расстоянии ее ширины от края, то получаются два кольца – но! – одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо посередине, то у вас окажется весьма «затейливое» переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?.. Попробуйте сами!
Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 3600)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.
Однако свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.
Нетрудно догадаться, о чем вы сейчас задумались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить.
Что ж, любопытство ваше оправдано. И у вас есть отличная возможность удовлетворить его самостоятельно! Но при этом неплохо было бы воспользоваться такими советами:
Взять не бумажную ленту, а полоску любой ткани.
Продеть ее сквозь металлическое кольцо.
Повернуть один из концов полоски на 3 оборота, т.е. на 5400.
Сшить оба конца.
Теперь можно взять ножницы и аккуратно разрезать матерчатое кольцо вдоль посередине. Интересно узнать, что у вас получится в результате этого эксперимента?
Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на 4 оборота, на 5, на 6 и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в ширины края, и в … Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится : «Просто, как все гениальное». Видимо, верно и обратное утверждение: «Гениально, как все простое».
И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики – ТОПОЛОГИЯ.
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.