справочное пособие для студентов 1 курса для специальностей: «Механизация сельского хозяйства», «Земельно-имущественные отношения», «Землеустройство», «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», «Природоохранное обустройство территори

ГБУ КО ПОО
«ОЗЕРСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»
«Согласовано»
Заместитель директора по образовательной деятельности
____________ И.В.Филипенко
«___»___________20___г.
«Утверждаю»
Директор ГБУ КО ПОО
«Озерский техникум природообустройства»
____________Е.В.Юлдашева
«___»________20___г.
МАТЕМАТИКА
справочное пособие для студентов 1 курса
для специальностей: «Механизация сельского хозяйства», «Земельно-имущественные отношения», «Землеустройство», «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», «Природоохранное обустройство территорий», «Лесное и лесопарковое хозяйство»
Озерск
2014г.
Методическое пособие одобрено цикловой комиссией математических и естественнонаучных дисциплин Озерского техникума природообустройства.
Составила Белякова Л.И., преподаватель математики Озерского техникума природообустройства.
Расмотрено на заседании ПЦК
Протокол №___ от «___»_______ 20___г.
Председатель ПЦК _____________ М.С. Леончук
Введение.
Справочное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины «Математика». Справочник формул окажет помощь студентам первого курса в организации работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.
При пользовании справочным пособием, студентам необходимо обратить внимание на то, что основные понятия и определения, формулы расположены в алфавитном порядке.
Данное справочное пособие не заменяет учебника, но помогает в освоении теоретических знаний и практических навыков при изучении дисциплины «Математика».
Абсолютная погрешность.
Определение:
Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью.
Формула:
∆=x-a,
где ∆ - абсолютная погрешность, x – точное значение величины, a – приближенное значение величины.
Число больше или равное абсолютной погрешности называется границей абсолютной погрешности.
Формула:
h≥x-aгде: h – граница абсолютной погрешности.
На практике граница абсолютной погрешности равна цене деления прибора, которым ведется измерение.

Арифметическая прогрессия
Определение:
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.

an = a1 + d(n – 1) an = ak + d(n – k)
2an = an-1 + an+1 an + am = ak + al, если n + m = k + l

Арифметический квадратный корень
Определение Формулы
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - () - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.


Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b10, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q 0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.

bn = b1 qn – 1 bn = bk qn – k
bn2 = bn-1 bn+1 bn bm = bk bl, если n + m = k + l

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Декартова система координат. Расстояние между точками.
Расстояние между точками:
Координаты вектора:
т. C - середина отрезка AB:
Уравнение окружности:
Деление с остатком:
Формула деления с остатком:n = mk + r,
где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 r < m
Пример:
Любое число можно представить в виде:
n = 2k + r, где r = {0; 1} или
n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел:{2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общих
делителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173 102 ; 0,00003173 = 3,173 10-5
Форма записи:3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3
Длина окружности, площадь
Длина окружности:
Площадь круга:
R
d
хорда
дуга
диаметр
радиус
O

Дроби
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Составная дробь
Значения тригонометрических функций для некоторых углов
0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)


N/A N/A
N/A N/A N/A
N/A N/A
N/A N/A N/A
-9924-92769Значения обратных тригонометрических функций
Функция Значения
0 1
2 1
arccosx /2 /3 /4 /6 0
arcsinx 0 /6 /4 /3 /2
Функция 0 1 arctgx 0 /6 /4 /3 arcctgx /2 /3 /4 0 x1
x2
x3
x4
y
x
Исследование графика функции
x1 – точка перегиба;
x2, x4 – точки максимума;
x3 – точка минимума.
Такие точки называются критическими.
Условие для нахождения критических точек функции:


+ 0 + 0 - 0 + 0 -
max min max
y
x
x1
x2
x3
yb
a
ya
x4
b
c
d

Исследование функции
Область определения:
Множество значений:
Корни функции:
Критические точки
Промежутки возрастания:
Промежутки убывания:
Квадратная функция
y = ax2 + bx + c,D = b2 – 4ac - дискриминант
y
x
x0
x1
x2
y0
M
M(x0,y0) – вершина параболы:
Уравнение параболы, проходящей через точку M: y = a(x – x0)2 + y0
x1, x2 – корни параболы: ax2 + bx + c = 0

y
x
a>0
D<0
y
x
a>0
D=0
y
x
a>0
D>0

y
x
y=x2
y=2x2
y=0,5x2

y
x
a<0
D<0
y
x
a<0
D=0
y
x
a<0
D>0

Квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
Дискриминант:D = b2 – 4ac
уравнение
x
x1
x1; x2
не имеет корней
имеет один корень
имеет два корня
D < 0
D = 0
D > 0
Если

Формула корней:
Разложение на линейные множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Конус
Конус




H

R

Координаты вектора
Координаты вектора:
Длина вектора:
Умножение вектора на число:
Куб

куб


Линейная функция
y = kx + b, k – угловой коэффициент, b – свободный член
y
x
xA
xB
yA
yB
B
A


y
x
y=2x
y=2x+5
y=-0,5x+5
y=-1
5
-1
-2
x=-2

k = tg


Пусть y1 = k1x + b1
и y2 = k2x + b2.
Тогда:


y
x
y=2x
y=x
y=0,5x
y= -x

Линейное уравнение:
ax + b = 0 (a 0)
Если a = 0 b 0 уравнение не имеет решений x
Если a = 0 b = 0 уравнение имеет бесконечно много решений x R
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .
a - основание логарифма (a > 0, a 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм:
где e = 2,71828
Формулы






Логарифмическая функция
y
x
y=log2 x
1
y=log0,4 x
y=log4 x
y=logax
y
x
a>1
1
a<1

Метод интервалов
1)
a
b
c
d
+
+
+
+
-


2)
a
b
c
d
+
-
+
-
+


Множество значений сложной функции
Какие значения может принимать выражение:
Пусть , где

2
4
1
y=log2z
z
y
z=x2-2x+5
4
1
x
z
x (-;)

z [4;)

y [2;)

Модуль: уравнения и неравенства
1.
2.
3.
4.
5.
Модуль
Определение Формулы
x 0 x - y x - y
-x=x x y = x y
x x x : y =x : y
x + y x + y x2 = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a b), a > b (a b)

Основные свойства:




Область определения функции
Функция Условие
f(x) 0
f(x) 0
f(x) > 0
f(x) 1
f(x) > 0
f(x) /2 + т
-1 f(x) 1
Обратные триг функции
Функция Свойства
Область определения Множество значений
arccosx [0; ]
arcsinx [-/2; /2]
arctgx (-/2; /2)
arcctgx (0; )
Определение тригонометрических функций

1
0
-1

00
900
1800
2700
cos
cos
0
-1
1
00
900
1800
2700


sin
sin
0
-1
1
900
1800
2700


tg
tg
0
-1
1
00
1800
2700


ctg
ctg




Определенный интеграл

Первообразная элементарных функций
№ f(x) F(x) № f(x) F(x)
1 6

2 7
3 4 8
5 9
Периодическая дробь
.
Правило:
Перпендикулярность, коллинеарность
Перпендикулярные вектора:

Коллинеарные вектора:


Площадь криволинейной трапеции
x=a
y
x
y=f(x)
x=b
y=0

Площадь фигуры, ограниченной линиями: x=a; x=b; y=0 и y=f(x)


x1
y
x
y=g(x)
y=f(x)
x2

Площадь фигуры, ограниченной линиями: y=f(x) и y=g(x).
Найти точки пересечения x1 и x2 из условия: f(x)=g(x)


Площадь треугольника

a
ha
a
b
c
a
b



Показательная функция
y
x
y=2x
1
y=0,5x
y=3x
y = ax
y
x
a>1
1
a<1

Правила вычисления первообразной функции
Определение:Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если .

Функция Первообразная



Правила вычисления производной функции

Сложная функция:


Правильная пирамида
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Все боковые рёбра равны между собой и все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.



Правильный многоугольник
Правильный многоугольник:
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.
Сторона правильного n–угольника:
Площадь правильного n–угольника:

O
r
R


Преобразование графика функции
y
x
y = f(x)
y = - f(x)
y
x
y = f(x)
a
y = f(x+a)

y = f(x)
y = f(x)+b
y
x
b

y
x
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
y
x
y =b f(x)
y
x
y = f(x)
y = f(ax)

Призма

призма


прямая призма


Признаки делимости чисел:
Признак Пример
На 2 Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой …….6
На 4 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. ……12
На 8 Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. …..104
На 3 Числа, сумма цифр которых делится на 3. 570612
На 9 Числа, сумма цифр которых делится на 9. 359451
На 5 Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. …….5
На 25 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. ……75
На 10 Числа, оканчивающиеся нулём. ……0
Производные элементарных функций
№ Функция Производная № Функция Производная
1 6
2 7
3 8
4 5 9

Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:

Сколько процентов составляет число A от числа B?
B-100%
A-x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,751,2A = 0,9A = 90%A
A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
Ответ:уменьшилось на 10%.
Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

Ответ:уменьшится на 20%
Прямоугольный параллелепипед

прямоугольный параллелепипед
V=abc
d2=a2+b2+c2


Прямоугольный треугольник
bc

ac – проекция катета a

b

h

a

Теорема Пифагора: Площадь:
Тригонометрические соотношения:
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Радиусы окружностей:
Высота, опущенная на гипотенузу:
Катеты:
Равносильные уравнения:
Исходное уравнение Равносильное уравнение (система)





Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.
Все углы равны 600.
Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Радиусы окружностей:
Площадь
Свойства прямых и плоскостей

A
S
O
B
M
C
D
(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
– расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
 – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:


A
A’
B
B’

Свойства тригонометрических функций
Функция Свойства
Область определения Множество значений Четность-нечетность Период
cosx cos(-x)= cosx 
sinx sin(-x)= -sinx 
tgx tg(-x)= -tgx 
ctgx ctg(-x)= -ctgx 

Свойства элементарных функций
Функция Область определения Множество значений
y = ax + b x R y R
x 0 y 0
y = x x R y 0
y = x2 x R y 0
x 0 y 0
y = ax x R y > 0
y = logax x > 0 y R
y = logxa x > 0, x 1 y R
Скалярное произведение



Скалярное произведение


Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
Среднее геометрическое:

Степенная функция
y
x
y=x3
y=x5
y = xn
y
x
y=x2
y=x4

Степень
Определение
, если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени


Формулы


Сумма, разность векторов








Таблица значений
Функция Значения
 00 
 300 
 450 
 600 
 900
cosx 1 0
sinx 0 1
tgx 0 1 -
ctgx - 1 0
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0
x1 + x2 = - p
x1 x2 = q
Универсальная подстановка


Уравнение движения
Пусть - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.
Тогда: ,
где – скорость, - ускорение.


Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции
в точке имеет вид:,
где - угловой коэффициент касательной.






касательная




Угол - угол наклона касательной к оси абсцисс.

Замечание:
В уравнении прямой линии: , параметр - называется угловым коэффициентом, и две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Тригонометрические уравнения
Косинус:




Синус:



Общая формула:


Уравнения с тангенсом и котангенсом


Усеченная пирамида

Усеченная пирамида

H

Усеченный конус
Усеченный конус



R1
R2
H

Формула дополнительного угла
, где

Формулы двойного аргумента



Формулы обратных триг функций


Если 0 < x 1, то
arccos(-x) = - arccosx
arcsin(-x) = - arcsinx Если x > 0 , то
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) = - arcctgx
Формулы половинного аргумента



Формулы произведения функций



Формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Формулы суммы аргументов:



Формулы суммы функций



Функция корень
y
x





y
x

Функция модуль
y
x
y=x

Функция обратной пропорциональности



y
y

y=2x-a+b
x
x

Цилиндр
Цилиндр




H

R

Четность-нечетность функций
Определение:
Функция y = f(x) называется четной, если: f(-x) = f(x)
Функция y = f(x) называется нечетной, если: f(-x )= - f(x)
Примеры:
четные функций:y = x, y = x2, y = cosx
нечетные функций:y = 1/x, y = x3, y = sinx, tgx, ctgx, arcsinx, arctgx
Свойства:
График четной функции симметричен относительно оси Oy.
График нечетной функции симметричен относительно начала
системы координат О.

Числовые множества:
Натуральные числа N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа Z = N { 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа Q = Z
Действительные числа R = Q
Шар
Шар




R

Шаровой сегмент


Шаровой сектор, сегмент
H
R
Шаровой сектор



H
R





0 360 2π0 1 0 Не сущ.
-π6IV четверть 330 11π6-1232-33-3-π4315 7π4-2222-1 -1
-π3300 5π3-3212-3-33-π2270 3π2-1 0 Не сущ. 0
III четверть 240 4π3-32-12333225 5π4-22-221 1
210 7π6-12-32333180 π0 -1 0 Не сущ.
II четверть 150 5π612-32-333135 3π422-22-1 -1
120 2π332-123-3390 π21 0 Не сущ. 0
I четверть 60 π3321233345 π422221 1
30 π612323330̊ 0 0 1 0 Не сущ.
sinacosatgactgaЛитература
Основная
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие., 5-е изд. - М.: Высшая школа, 2002 г .
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /Под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1987 г. - ч. 1./
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /Под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1987 г. - ч. 2./
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /Под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1989 г./
А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 375с.
А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешков, Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2.: Задачник для общеобразовательных учреждений; Под ред. А.Г.Мордковича. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 315с.
Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений. - М: Академия, 2003 г.
Дополнительная
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб. Пос. - Изд. 3-е. - М.: Физматлит, 2000 г.
Ведина О.И., Десницкая В.Н. Математика: Математический анализ для экономистов: Учебник/ Под ред. А.А. Гриба. - Филинъ, 2001 г.
Выгодский М.Я. справочник по высшей математике. - Росткнига, 2001 г.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. - 2-е изд., испр. - Дело. 2001 г.
Москинова Г.И. дискретная математика: Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учеб. Пос. - М.: Логос, 2000 г.
Методические рекомендации по математике /Под ред. Я.С. Городского. - М.: Высшая школа, 1990 г./
Михеев В.С. Краткий справочник по математике. - Красногорск, 1996 г.
Интернет-ресурсы:
WWW.ALLMATHEMATIKA.RUWWW.BYMATH.NETWWW.WIKIPEDIA.ORGWWW.UZTEST.RUМАТЕМАТИКА
справочное пособие для студентов 1 курса
для специальностей: «Механизация сельского хозяйства», «Земельно-имущественные отношения», «Землеустройство», «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», «Природоохранное обустройство территорий», «Лесное и лесопарковое хозяйство».
Составитель Л.И. Белякова
«Озерский техникум природообустройства»
ул. Пограничная, 23,г. Озёрск, Калининградская область, 238120
тел./факс8(401-42)3-23-71;E-mail:info@otp39.ru