Олимпиадные задания по математике для учащихся 6-8 классов

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ

6 класс

Можно ли разложить несколько арбузов в 98 корзин, расставленных по кругу так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?

В ковре размером 4x4 м моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1x1 м, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки считать точечными)

За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Завтра будет дождь»,- подумал Петя. Прав ли он?

Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 выбрать три числа, сумма которых будет равна 50.

Разрежьте фигуру на две равные части











Ответы:

Да. В первую – 1, во вторую – 2, в третью – 1 и т.д. (В корзинах с нечетными номерами – по одному арбузу, с четными – по два)

2. 16 ковриков - 1x1. Т.к. 16 > 15, то один из ковриков без дыр.






















Петя не прав. Действительно, кот мог чихнуть и просто так, из-за болезни, поэтому дождя завтра может и не быть.

19+25+6=50










ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ


7 класс

Найдите закономерность в построении последовательности чисел 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122

Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142, 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?

Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающихся прямые? Для каждого случая сделайте рисунок.

При сложении четырех чисел из-за нечеткой их записи в первом числе в разряде сотен цифра 2 была принята за 5, во втором числе в разряде тысяч цифра 3 принята за 8, в третьем числе в разряде единиц цифра 9 принята за 2, а в четвертом числе в разряде десятков цифра 7 принята за 4. В результате сложения получилось 28975. Найдите ошибку результата и верную сумму.

Дан луч ОВ: О(0;0), В(8;6). Постройте все точки, получающиеся из данной точки В последовательным поворотом луча ОВ на прямые углы около начала координат против часовой стрелки. Определите вид фигуры, полученной в результате последовательного соединения указанных точек.

Ответы:

Надо иначе поставить запятые: 11, 12, 13, 14,

Число 163.

6, 4, 1 – точек.

а) б) в)




(5-2)·100+(8-3)·1000+(2-9)+(4-7)·10 = 300+500-7-30 = 5263.Ошибка допущена на 5263. Верная сумма: 28975-5263 = 23712.

Квадрат ВВ1В2В3 y

В1 В

x

В2 В3



ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ

8 класс

Существует ли такое целое число, которое при делении на 9 дает остаток 2, а при делении на 6 остаток 1?
Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415

На отрезке АВ взята точка С. Через точки А и В проведены по одну сторону от АВ параллельные лучи. На них отложены отрезки АД=АС и ВЕ=ВС. Точка С соединена отрезками прямых с точками Д и Е. Докажите, что ДС(СЕ.

В классе учатся 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: немецкий, французский. 6 человек изучают только немецкий. Одновременно два языка – английский и немецкий изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий. Сколько человек изучают каждый из языков, и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415

Ответы:

1. m(Z 1) m = 9n+2, n(N
2) m = 6k+1, k(N
9n+2 = 6k+1
9n+1 ( 6k, т.к. 6k делится на 3, а 9n+1
не делится на 3, значит такое число не существует.

13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415 , значит
13 EMBED Equation.3 1415 Е
Д y
(АДС=(АСД=x, (ВЕС=(ВСЕ=y, (АСВ=180( x x y
2x+2y=180(, x+y=90(, (ДСМ=90(, т.е.ДС(СЕ x y .
А С В
Только французский: 40-34=6 человек
Только немецкий: 25-6=19 человек
Немецкий с английским или французским: 19-6=13 человек
Английский и немецкий: (13+3)/2=8 человек 34
Немецкий и французский 13-8=5 человек А Н
Только английский: 34-19=15 человек.
40 Ф
13 EMBED Equation.3 1415