Математический марафон 11 класс

Учитель математики высшей категории Селезнева Ольга Евлампиевна гимназия №1 г.Белебея
С целью пропаганды математических знаний, вовлечения учащихся в активные занятия математикой, выявления одаренных детей, активизации деятельности и повышения квалификации учителей средних школ и гимназий в нашем городе проходит математический марафон в три этапа среди учащихся 11 классов.
Материал первого тура марафона
1). Решите уравнение: 2|х + 1| + |х – 3| = 6.
2). Решите неравенство: x2+ х-12 ≤ х.
3). Два лыжника стартовали на дистанции 10 км друг за другом с интервалом 6 минут. Второй лыжник догнал первого в двух километрах от точки старта. Дойдя до поворота на отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстояние 1 км от точки поворота. Найдите скорость второго лыжника.4). Найдите точку максимума функции: у = 6 + 81х - х33.
5). При каких значениях а для всех х , причем 1 < х < 3, выполняется неравенство x2 + ах + а2 - 6а -7?
6) а) Решите уравнение: sin2х = sin (х + п2 ); б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (5п6; 3п]
7). В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, АВ = 153, ВС = 12. Найдите котангенс внешнего угла при вершине А.8). Решите уравнение: 2х4 - 21х3 + 74 x2 - 105 х + 50 = 0.
9). Найдите абсциссу точки графика функции f(х) = 5x2 - 4х – 1, в которой угловой коэффициент касательной равен 16.
10). В треугольнике АВС на стороне АВ = 12 выбрана точка Д таким образом, что АД = 3. Найдите площадь треугольника АСД , если угол ВАС равен 30 градусам и угол АСД равен углу АВС.