Математическая регата по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Математическая регата
по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
Цели: обучающие – закрепить знания, умения и навыки учащихся по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», формировать навыки решения задач на применение теоретических знаний, формировать вычислительные навыки учащихся;
развивающие – способствовать развитию мышления, памяти, произвольного внимания и речи учащихся; умений применять изученный материал на практике и в жизни;
воспитательные – расширять кругозор учащихся, познакомить с фрагментами истории комбинаторики, воспитывать культуру общения, сотрудничество.
Ход урока.
I.Организационный момент.
Сегодня на уроке мы повторим тему «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». После небольшой разминки (устной работы), мы проведём математическую регату.
Устная работа.
Учитель. И так, разминка.
Задачи разминки решаем устно, или с прикидкой на черновике, можно решение задач записать в тетради, поэтому запишите число, классная работа.
(слайд 2)
Задача 1. Отправляясь в путешествие, на завтрак мы можем выбрать плюшку, кекс, пряник и запить их чаем, кефиром или кофе. Из скольких вариантов завтрака мы может выбрать?
– Составим сначала все завтраки с кофе: кофе и плюшка, кофе и кекс, кофе и пряник, всего – три; завтраков с чаем – тоже три, завтраков с кефиром – тоже три.
Значит, мы может выбрать завтрак из 9 вариантов.
Учитель: На практике часто встречаются задачи, решая которые
приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций (вариантов). Как называются такие задачи?
– Задачи, в которых мы осуществляем полный перебор всех вариантов или всевозможных комбинаций называются комбинаторными.
Учитель: А как называется раздел математики, в котором рассматриваются такие задачи?
– Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.
Все необходимые материалы для нашего путешествия лежат в сейфе, а код был утерян. Известно, что он состоит из цифр 2,4, 5, 9.
(слайд 3)
Задача 2. Сколько комбинаций можно составить и
з цифр 2, 4, 5, 9, используя в записи числа каждую из них не боле одного раза, чтобы открыть наш сейф.
Учитель. При решении задачи можно использовать способ рассуждения, который мы называем перебором всевозможных вариантов, и выписать все возможные комбинации чисел можно данный перебор вариантов проиллюстрировать на схеме, которую мы называем деревом вариантов.
А как решить задачу устно, не выписывая числа, не изображая дерево вариантов?
– Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать 4-мя способами, так как после выбора 1 цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать 3-мя способами. 3-ю цифру можно выбрать (из оставшихся 2-х) двумя способами, а 4-ю одним способом( оставшаяся одна цифра) Следовательно, число искомых комбинаций равно произведению 4 · 3 · 2 ∙ 1, т.е. 24.
(слайд 4)
Итак, карта нашего маршрута перед нами. Но!
Задача 3. Из пункта А в пункт В ведут 4 дорог, а из пункта В в пункт С – 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут нас из А в С?
(слайд 5) Сколько существует вариантов совершить наше путешествие?
– Из А в В можно попасть 4-мя способами, а из В в С – 3-мя способами. По правилу произведения 4 · 3 = 12 путей.
Учитель. Как называют правило, на котором основано решение задачи?
– При решении использовали комбинаторное правило умножения.
(при желании учащиеся формулируют это правило)
Задача 4. Перед нами 12 возможностей совершить наше путешествие. Известно, что три пути более безопасные, а остальные полны трудностей. Какова вероятность, что выбранный путь будет безопасен?
(слайд 6)
Находясь в путешествии некоторые из нас могут написать письма друзьям.
(слайд 7)
Задача 5. А сколькими способами можно разложить 5 разных писем по одному в 5-ть конвертов?
– 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов.
(слайд 8)
Задача 6. Среди почтовых голубей два белых. Какова вероятность, что ваше письмо понесет домой белый голубь?
Учитель. В данной задаче мы столкнулись с произведением подряд идущих натуральных чисел. Какое обозначение существует для такого произведения?
(слайд 9)
– произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!
п! = 1 · 2 · 3 · …· п.
(слайд 10)
Задание 6. Что больше и во сколько раз 6! · 5! и 5! · 6 ?И так, я думаю, мы провели хорошую разминку и подготовились к регате.
III. Математическая регата.
Учитель. И так отправимся в путь, регата началась.
1 заплыв (тур).
Проверка знаний теории (каждому экипажу даются тесты с заданиями 1 тура, за верный ответ – 1 балл).
Задание 1 (слайд 11)
ТЕСТ 1. Выбрать правильное определение.
А. Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
В. Сочетанием из п элементов по к (к ≤ п) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определённом порядке из данных п элементов.
С. Размещением из п элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из п элементов. Ответы пояснить.
(слайд 12)
ТЕСТ 2. Выбрать верное утверждение.
А. Число сочетаний можно вычислить по формуле Сп = п!
В. Формула для вычисления числа размещений из п элементов по m :
С. Число всевозможных перестановок из п элементов вычисляется по формуле
Р пк = п!/(к!(п – к)!).
По количеству набранных баллов 2 экипажа выходят во второй
заплыв (тур)
Задание 2. (формулы записаны на доске, установить соответствие)
Сформулируйте определения перестановки, сочетания, размещения.
Запишите формулы для вычисления перестановок, сочетаний, размещений, запишите их в тетради.
Перестановки – выборки из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком расположения.
Формула Рn=n!
Размещения – выборки из n элементов по k , которые отличаются и составом и порядком расположения этих элементов.
Формулы
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k, элементов, выбранных из данных n элементов.
Формула
(слайд 13) (формулы записаны на доске, установить соответствие)
3. Решите задачи.
1 заплыв (тур).
(слайд 14)
а) Сколькими способами можно разместить за круглым столом 6 человек?
(слайд 15)
б) В регате участвуют 8 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены 3 различные медали?
(слайд 16)
в) Из 9 членов команды надо выбрать 3-х дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор.
(слайд 17)
г) Вычислите. 16! - 15! = 15!(16-1) = 14!*15*15 = 15
14!*15 14! *15 14!*15
Историческая справка. (заранее подготовил ученик)
Комбинаторика – ветвь математики, которая возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании и т.д.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных положений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая лучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга, когда появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Приспособления таких игр археологи находили в древних захоронениях, например в пирамиде египетского фараона Тутанхамона.
О таких играх английский поэт Уордсворд писал:
Не нужно нам владеть клинком,
Не ищем славы громкой.
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить, тонким.
Со временем появились нарды, карты, шашки, шахматы и т.д. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Толчком к развитию комбинаторики послужили азартные игры, прежде
всего игра в кости. Игроки пытались понять, почему одни суммы выпадают чаще, другие – реже. Задача оказалась совсем не простой. Этой проблемой в XVI- XVII в занимались многие известные математики.
Но не только азартные игры послужили толчком к исследованиям математиков. Ещё одна причина – тайна переписи. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами учёные. Так, ещё в конце XVI в., во время войны Франции с Испанией, расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха III и испанцами занимался Франсуа Виет. Навыки в работе со сложными шифрами помогали учёным при разгадке письменности древних народов.
В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказалась биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилось с появлением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.
2 заплыв (тур). Решение задач.
Каждому экипажу даются задачи с выбором правильного ответа. За каждый верный ответ – 1 балл.
Задание.
(слайд 18-19)
Решить задачи и проверить друг друга
1) Из города А в город В ведут 3 дороги, из города В в С – 2 дороги, из С в Д – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город Д через города В и С?
А. 3 · 2 · 4 = 24 способа;Б. 3 + 2 +4 = 10 способов;С. Другое решение.
2) Курьер должен разнести пакеты в 8 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
А. 1 + 2 + 3 + …+ 8;В. 8!С. Другое решение.
3) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать 2-х для участия в олимпиаде по математике и русскому языку?
А. С302;В. А302;С. Р30;.
4) В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами можно сделать?
А. С164 + С123;В. С164 · С123;С. Другое решение.
5) Сколько различных стартовых 6-к можно образовать из числа 10 волейболистов?
А. С106;В. А106;С. Другое решение.
(слайд 20) Ответы: А; В; В; В; А
Задания дополнительного (утешительном) заплыва.(если команды набрали одинаковое количество баллов)
Задача. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать? (Ответ: А302 )(слайд 21)
Рефлексия
Итоги урока.
Сообщаются результаты регаты, и оценивается работа учащихся на уроке.