Конспект урока по алгебре по теме: «Преобразование графиков: симметрия относительно осей координат»

Урок в 9 классе по теме: «Преобразование графиков: симметрия относительно осей координат»
Учитель: Шарова С. Г., МБОУ «Гимназия» городского округа г. Урюпинск Волгоградской области
Тип урока: открытие нового знания.
Основные цели:
Метапредметные:
Тренировать умение фиксировать свое затруднение, выявлять причину его возникновения.
Тренировать умение ставить цель своей деятельности и планировать работу по реализации поставленной цели.
Тренировать умение работать в парах и группах.
Предметные:
Сформировать умение выполнять следующие преобразования графиков: симметрия относительно осей координат.
Сформировать умение применять данные преобразования графиков для построения графиков функций вида: y = f(–x), y = –f(x), y = –f(–x) из графика y = f(x).
Закрепить умение решать уравнения, содержащие знак модуля.
Ход урока
Мотивация к учебной деятельности
- Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим знакомство с преобразованиями графиков функций, которые позволяют строить графики более сложных функций оптимально.
- Как вы понимаете высказывание американского педагога Дайан Силверс Рейвич: «Человек, который знает «как», всегда найдёт работу, а человек, который знает «почему», будет его начальником». (слайд 2)
Возможный ответ: Перед человеком, задумывающимся о причинах тех или иных явлений, способов действий, открывается больше возможностей. Он может сделать или организовать что-то более продуктивно, более эффективно.
- Ребята, я вам желаю интересной работы на уроке: уверена, вы сегодня найдете интересные способы для достижения цели и будете пользоваться ими в дальнейшем осознанно.
- Подготовку к открытию нового начнем с проверки домашнего задания. Сейчас каждой группе будет предложен подробный образец выполнения задания из домашней работы. Организатор группы фиксирует все затруднения, возникшие у членов группы. В группах вы выявляете причины возникших затруднений.
- Не забудьте! При проверке домашнего задания вам нужно составить список эталонов, которыми пользовались при выполнении заданий.
2. Самостоятельная деятельность и организация учебного затруднения.
(Идет работа в группах)
Домашнее задание.
Задание №1.
a). Построить график функции y=x3+3x2+3x+1.
Решение. Для того чтобы построить график данной функции, необходимо преобразовать правую часть, воспользовавшись формулой (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
Получим y=(x+1)3. Сдвинем график y=x3 вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево.
0
-1
y=(x+1)3y=x3
b) Построить график функции y=x3+3x2+3x-3Решение. Для того чтобы построить график данной функции необходимо преобразовать правую часть, выделив куб суммы. Получим y= (x+1)3-4.
y=x3→ y= (x+1)3→y= (x+1)3-4.
Сдвиг по оси абсцисс влево на 1 единицу и вниз по оси ординат на 4 единицы.
0
y= (x+1)3y=x3y= (x+1)3-4
в) Построить график функции y=x3-15x2+75x-123.
Решение. Для того чтобы построить график данной функции необходимо преобразовать правую часть, выделив куб разности:
y=x3-3∙5∙x2+3∙52∙x-125+125-123=(x-5)3+2.
y=x3→ y=(x-5)3→y=(x-5)3+2.
Сдвиг по оси абсцисс вправо на 5 единиц и вверх по оси ординат на 2 единичных отрезка.
0
y=(x-5)3+2y=(x-5)3y=x3
Задание №2.
Построить график функции y=3-1x.
Построить график функции y=3-1x+1.
Решение.
Для того чтобы построить график функции y=3-1x, необходимо выполнить сдвиг вспомогательного графика функции y=-1x вдоль оси OY вверх на 3 единицы.
Для того чтобы построить график функции y=3-1x+1, необходимо выполнить сдвиг вспомогательного графика функции y=-1x вдоль оси OX влево на 1 единицу, вдоль оси OY вверх на 3 единицы.
а)
y=3-1xy=-1x
б)
y=-1xy=-1x+1y=3-1x+15
-1
0

Задание №3.
Построить график функции y=2x.
Построить график функции y=4x.
Решение.
Чтобы построить график y=2x, увеличим ординаты вспомогательного графика y=x в 2 раза (k>1), не меняя область определения (Df=0; ∞)),то есть растянем график y=x от оси OX в 2 раза.
y=2xy=x
Чтобы построить график y=4x, уменьшим абсциссы вспомогательного графика y=x в четыре раза (k>1), не меняя область значения функции (Ef=0; ∞)), то есть сожмем график y=x к оси OY в 4 раза.
y=4xy=x
После проверки домашнего задания в группах.
Возможные ответы учащихся.
При выполнении заданий повторяли:
приемы построения графиков функций с помощью сдвигов вдоль осей координат.
Приемы построения графиков функций с помощью сжатия или растяжения вдоль осей координат.
-Задание на пробное действие.
- Ребята, при выполнении задания №3 вы работали с графиком функции y=x.
- Как вы строили график данной функции?
x 0 1 4 9
y 0 1 2 3
Возможный ответ учащихся:
Составили таблицу значений функции
4
1
0

Теперь я предлагаю вам следующее задание:
Постройте графики функций:
y=-x; б) y=-x; в) y=--x, преобразовав график y=x.
Учащиеся самостоятельно пытаются построить графики заданных функций. Время на выполнение заданий ограничено.
- Обсудите в группах, какие затруднения могут быть?
Одна из групп отвечает, остальные уточняют, дополняют.
Возможные варианты ответов:
Я не могу построить график данной функции.
Я не могу объяснить, что мой ответ верный.
Я не могу проанализировать, как изменится область определения и множество значений функций
и т. д.
3.Выявление места и причины затруднения.
-Посовещавшись в группах в течение 30 секунд, ответьте на вопрос:
Почему возникло затруднение?
Одна из групп отвечает, остальные уточняют, дополняют.
Возможные варианты ответов:
– Необходимо было построить графики функций, содержащие знак корня, применяя преобразования. Затруднение возникло в определении преобразований. Причина в том, что мы не знаем пока, какое преобразование можно применить в тех случаях, когда функция содержит знак минус перед данной функцией, знак минус перед аргументом данной функции и знак минус одновременно перед данной функцией и перед ее аргументом.
4. Построение проекта выхода из затруднения.
- Посовещавшись в группах в течение 30 секунд:
1) сформулируйте цель дальнейшей деятельности;
2) сформулируйте тему урока.
Одна из групп озвучивает результат обсуждения, остальные уточняют, дополняют при необходимости.
Возможный вариант ответа:
Цель: Узнать, какие преобразования графика функции у = f(x) необходимо выполнить, чтобы получить графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x).
Тема урока: «Преобразования графиков функций».
– Составьте в группах план ваших действий.
Учащиеся работают в группах, составляют план действий.
Возможный вариант ответа:
Выполнить задания, предложенные учителем,
Проанализировать результаты.
Сформулировать правило.
Сравнить его с эталоном.
5.Реализация построенного проекта
- Итак, вернемся к заданию
Постройте графики функций:
а)y=-x; б) y=-x; в) y=--x, используя таблицу значений функции, и пронаблюдайте, как расположены построенные графики по отношению к графику y=x относительно осей координат, начала отсчета. Обобщите сделанные вами наблюдения и составьте правила построения таких функций. Сопоставьте свои выводы с выводами на слайдах.
Возможный вариант ответа:
а)
0
y=xy=-x;

б)
0
y=-xy=x
в)
0
y=--xy=x
а) Преобразование y = f(x) y= –f(x) изменяет все ординаты точек графика y=x на противоположные y=-x при фиксированных значениях абсцисс. Область определения функции y=-x D (f) = [0; +∞), а область значений E(f) = (–∞; 0].
Значит, график функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.
Б) Преобразование y = f(x) y= f(–x) изменяет все абсциссы точек графика y=x на противоположные y=-x при фиксированных значениях ординат. То есть область определения функции y=-x D (f) = (–∞; 0], а область значений E (f) = [0; +∞).
Значит, график функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.
В) Последовательное применение рассмотренных выше двух преобразований:
y = f(x) y = – f (–x) меняет абсциссы и ординаты точек графика на противоположные. Область определения функции y=--x D (f) = (–∞; 0], а область значений E(f) = (–∞; 0].
Значит, график функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат.
Случаи преобразования графика функции
Симметрия относительно оси абсцисс
График функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.
Симметрия относительно оси ординат
График функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.
Симметрия относительно начала координат
График функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат
Учащиеся сравнивают свои правила с эталоном на слайде:
Случаи преобразования графика функции
Симметрия относительно оси абсцисс
График функции у = – f(x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси абсцисс.
Симметрия относительно оси ординат
График функции у = f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью осевой симметрии относительно оси ординат.
Симметрия относительно начала координат
График функции у = – f(–x) можно получить из графика у = f(x) с помощью центральной симметрии относительно начала координат
– Удалось преодолеть затруднение?
− Что теперь необходимо сделать?
6. Первичное закрепление во внешней речи
- Выполните задание: постройте график функции у = f(–x), если f(x) =x2-4x-5.
Работа выполняется фронтально.
Решение:
Для того чтобы построить график функции у = fx=x2-4x-5, можно преобразовать правую часть, выделив квадрат двучлена:
x2-4x-5=x2-2∙2∙x+22-22-5=(x-2)2-9.
Для построения графика функции у = f(–x) необходимо построить график f(x) =x2-4x-5 и применить к нему следующее преобразование: симметрию относительно оси ординат: у = f(–x) = x2+4x-5.
fx=x2-4x-5f(–x) = x2+4x-5
-Выполните задание:
Постройте графики функций у = – f(x), у = – f(–x), если fx=x2-4x-5Задание выполняется в парах, по вариантам. Проверка осуществляется по пробному образцу.
Пробный образец.
Для построения графиков функций у = – f(x), у = – f(–x) необходимо построить график у = fx=x2-4x-5 и применить к нему следующие преобразования:
Симметрию относительно оси абсцисс: у = – f(x) =-x2+4x+5;
Y
Симметрию относительно начала координат: у = – f(–x) = -x2-4x+5– f(–x) = -x2-4x+5– f(x) =-x2+4x+5fx=x2-4x-5x
После самопроверки проводится рефлексия: выясняется, есть ли ошибки, если есть, то проговаривается, как надо было выполнить задание.
7.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону
- Мы шли с вами по плану, предложенному вами:
Выполнить задания, предложенные учителем,
Проанализировать результаты.
Сформулировать правило.
Сравнить его с эталоном.
-Что дальше необходимо сделать?
- С какой целью будете выполнять самостоятельную работу?
Возможный вариант ответа:
Понять полностью ли разобрались в новой теме, нет ли затруднений.
Для самостоятельной работы учащимся предлагается задание:
Постройте графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x), если f(x)= -3x+2Учащиеся выполняют самостоятельную работу и проводят самопроверку по эталону для самопроверки.
Подробный образец.
f (x)= -3x+2. Для построения графиков функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x) необходимо построить f (x) = -3x+2 и применить к нему следующие преобразования:
симметрию относительно оси абсцисс: у = –f(x) = 3x-2;
симметрию относительно оси ординат: у = f(–x) = 3x+2;
симметрию относительно начала координат: у = –f(–x) = -3x-2.
–f(–x) = -3x-2f (–x) = 3x+2–f(x) = 3x-2f (x) = -3x+2X
Y

Проанализируйте в группах результаты выполнения самостоятельной работы.
Назовите, в каких местах и почему возникли затруднения.
Организаторы групп озвучивают результаты анализа работ.
8. Включение в систему знаний и повторение.
Решите уравнения:
x=-3;
x=-2x+7;
4x+5=-x;
3x+2=-x+5;
5-3x=2x.
Решение.
Не имеет решения, так как по определению x≥0.
Уравнение x=-2x+7 не имеет решения, так как левая часть равенства по определению модуля числа неотрицательна, а правая – по условию и определению модуля неположительна. При x=0 выражение 2x+7≠0.
4x+5=-x⇔-x≥0,4x+5=-x4x+5=x,,⇔x≤0,x=-1,x=-53.⇔x=-1,x= -53.
3x+2=-x+5⇔-x+5≥03x+2=-x+5,3x+2=x-5,⇔x≤5,x=34,x=-3,5⇔x=34x=-3,55-3x=2 x⇔2x≥05-3x=2x5-3x=-2x⇔x≥0x=1x=5⇔x=1,x=5.
9. Рефлексия деятельности на уроке
- Ребята, что необходимо сделать в конце урока?
Возможный вариант ответа:
Проанализировать свою работу.
Определить новые знания, которые открыты на уроке.
Сформулируйте цель, которая стояла перед вами.
Определите, достигнута ли цель.
Перечислите средства и способы, которые вам помогли достичь цели.
Оцените деятельность группы и каждого участника группы на уроке.
Сформулируйте неразрешенные затруднения на уроке, если они есть.
Группы работают с карточкой.
Учащиеся обсуждают работу на уроке, организаторы озвучивают результаты анализа деятельности групп.
- А теперь каждый проанализируйте свою работу.
Учащиеся заполняют индивидуальные карточки
Понятия и способы действий Знаю Получилось применить
Преобразование графика функции с помощью симметрии относительно оси абсцисс. Преобразование графика функции с помощью симметрии относительно оси ординат. Преобразование графика функции с помощью симметрии относительно начала координат. Домашнее задание
Постройте графики функций у = –f(x), у = f(–x), у = –f(–x), если:
fx= 4x-3,
fx=x2-3x+4,
fx= 2-2x.
Повторить эталоны.