Образовательный материал
Применение «олимпиадного» подхода к организации и проверке письменных работ по математике
Да не обидятся на меня преподаватели прочих предметов, но я глубоко убеждён, что лишь на уроках математики школьников учат думать, «строят» им правильное мышление: логичное, последовательное, аналитическое и критическое. На остальных уроках более или менее успешно используют эти качества разума, но в ответе за их формирование именно мы, учителя алгебры и геометрии.
Именно поэтому важно организовать преподавание таким образом, чтобы учащимся было интересно на уроках. Без этого стимулировать всемерное развитие способностей школьников невозможно. Если на уроках скучно, то учение впрок не пойдёт. Большое значение для создания на занятиях творческой атмосферы имеет также, с моей точки зрения, ставка на здоровую конкуренцию, спортивный азарт (конечно, наряду со стимулированием взаимопомощи, сотрудничества, групповой работы).
Это должно относиться не только к «обычным» урокам, но и к контрольным и иным диагностическим работам. При организации таких работ считаю необходимым реализовывать сформулированное А.Б. Воронцовым, руководителем Международной Ассоциации «Развивающее образование», главное педагогическое требование к контролю и оценке в целом: контроль должен быть мотивирующим и диагностирующим, а оценка – рефлексивной и прогностической. Кроме того, считаю, что даже выполняя контрольную работу, подросток продолжает учиться: рефлексии; умению анализировать и делать выводы на основе этого анализа; распределению времени и сил; выбору правильной последовательности решения заданий; выбору посильных заданий при наличии большого массива последних. Понятно, что подобные навыки не «замыкаются» исключительно на математику, являются общеучебными и, в конечном счёте, крайне полезны для дальнейшей трудовой жизни; в том числе – научной работы.
Для реализации данной цели выполнение обучающимися контрольных и иных письменных работ стремлюсь превратить в творческий процесс, используя имеющийся у меня опыт организации и проверки олимпиад. В частности, каждый из вариантов контрольных работ включает большое количество задач различного уровня сложности с заранее объявленной баллировкой, из которых обучающийся свободно формирует выполняемый им «пакет заданий». При этом каждому заданию присваивается такое количество баллов, чтобы сумма этих баллов равнялась (априорной) оценке, которую учитель полагает соответствующей вложенным в выполнение работы усилиям. Считаю крайне важным для адекватного оценивания обучающихся учитывать не только достижение ими конечного результата, но и путь, по которому они движутся в процессе решения, выдвинутые при этом идеи, трудовые и интеллектуальные затраты, характер и степень важности допущенных ошибок. Поэтому частично решенные задачи также оцениваются в процентах от количества баллов, выставляемых за полностью выполненное задание. Необходимость контроля за усвоением наиболее важных вопросов обеспечивается как включением в общий текст работы в качестве заданий, оцениваемых наибольшим количеством баллов, таких, которые тестируют соответствующие знания и умения, так и выделением среди задач обязательных (естественно, учащимся должно быть объявлено заранее о том, какие задачи являются обязательными, если таковые наличествуют), невыполнение которых влечет вычитание из общей суммы известного школьникам количества баллов. Окончательная оценка за контрольную работу определяется в соответствии с итоговой суммой баллов.
Составной частью общего принципа оценивания являются так называемые штрафы за грубые (именно грубые!) ошибки (например, деление обеих частей неравенства на выражение, меняющее свой знак на рассматриваемом множестве, неверное извлечение квадратного корня из квадрата и т. п.). В зависимости от «уровня грубости» ошибки я вычитаю из суммы баллов треть, две трети или полную «стоимость» задания, в котором эта ошибка допущена.
Осталось рассмотреть вопрос о том, как «переводить» итоги выполнения письменной работы в оценку (с учётом того, что сумма набранных учащимся баллов вполне может оказаться ниже 1 или выше 5. Безусловно, любой труд должен вознаграждаться (а отсутствие оного – наказываться); поэтому значительный «выход» за пределы традиционной пятибальной шкалы в ту или иную сторону влечёт за собой последствия в виде получения дополнительных положительных или отрицательных оценок. После многочисленных проб и ошибок я пришёл к следующему варианту. Каждый полноценный балл выше 5 поощряется выставлением дополнительной пятёрки, а каждый полноценный балл ниже 0,5 карается дополнительной двойкой (что относительно редко, но случается, увы). В пределах же промежутка от 0,5 до 5,5 применяется обычное округление. Не берусь утверждать, что мой способ «перевода» идеален, но он неплохо показал себя в работе.
Результаты выполнения письменных работ обучающимися (именно суммы баллов, а не оценки) оглашаются и анализируются (наряду с типичными или интересными ошибками, а также оригинальными решениями, если таковые имеются) на специальных занятиях и являются своеобразной формой текущего рейтинга. И этот рейтинг весьма интересует школьников и представляет собой мощный положительный стимул их познавательной активности.
Приложение
Примеры контрольных работ с проставленной баллировкой заданий
10 класс. Контрольная работа. «Основы аналитической геометрии в пространстве»
1 вариант
1. (1 б.) Дан правильный 8-угольник А1А2А8 , вершины пронумерованы по ЧС.
_____ ____
Найти А1А2 Ч А3А4. и указать направление этого вектора относительно плоскости страницы (длина стороны равна 1).
2. (1,5 б.) Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найти объём пирамиды A1АBС, если даны координаты вершин А (1; 3; 5), В (2; 3; 4), D (0; 1; 5), С1 (3; 1; 5).
3. (1 б.) Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А (3,5; 8,4; 7), В (5; 5; 4).
4. (1 б.) Найти тангенс угла между плоскостями 5x + 3y – z + 6 = 0 и 2x – 6y + 8z = 2.
5. (1 б.) Найти расстояние от точки А (1; 2; 3) до плоскости 5x + 2y – 2z = 0.
6. (1,5 б.) Найти расстояние между множествами точек в пространстве, заданными неравенствами
(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 4)2
· 1 и x2 + y2 + z2
· 3.
2 вариант
1. (1 б.) Дан правильный 16-угольник А1А2А16 , вершины пронумерованы по ЧС.
____ ____
Найти А2А3 Ч А5А4 и указать направление этого вектора относительно плоскости страницы (длина стороны равна 1).
2. (1,5 б.) Найти площадь параллелограмма ABCD, если даны координаты трёх его вершин А (1; 2; 3), В (5; 3; 2), D (4; 3; 5).
3. (1 б.) Найти каноническое уравнение линии пересечения плоскостей x + y + z = 0 и 2x – y – z + 1 = 0.
4. (1 б.) Найти синус угла между прямой, проходящей через точки А (1; 5; 3) и В (5; 7; 3), и плоскостью 3x – y – 2z + 5 = 0.
5. (2 б.) Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А (2; 4; 2) на плоскость 12x – 3y – 4z – 17 = 0.
6. (1,5 б.) Найти расстояние между множеством точек в пространстве, заданным неравенством
x2 + (y – 1)2 + (z – 1)2
· 1, и плоскостью x + y + z + 1 = 0.
3 вариант
1. (1 б.) Дан правильный 8-угольник А1А2А8 , вершины пронумерованы по ЧС.
____ ____
Найти А1А2 Ч А3А4 и указать направление этого вектора относительно плоскости страницы (длина стороны равна 1).
2. (1,5 б.) Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найти его объём, если даны координаты его вершин B (3; 0; 7), C (1; 5; 3), D (2; 0; 3), B1 (4; 2; 3).
3. (1 б.) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А (2; 1; 0), В (3; 1; 1), С (3; 6; 7).
4. (1 б.) Найти котангенс угла между прямой (x – 3)/2 = (y – 2)/3 = z/2 и прямой, проходящей через точку А (3,7; 2,1; 8) перпендикулярно плоскости yz.
5. (2 б.) Найти точку, симметричную точке А (1; 1; 0) относительно плоскости 4x + 4y – 2z – 17 = 0.
6. (1 б.) Найти расстояние между плоскостями 2x – y – z = 3 и -4x + 2y + 2z – 1 = 0.
10 класс. Применения производной. Контрольная работа
1 вариант
2 вариант
1.(1 балл) На графике данной функции f(x) найти все такие точки, в каждой из которых касательная к графику перпендикулярна заданной прямой
f(x) = 13 QUOTE 1415; y + x = 0
f(x) = 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415; y – x – 1 = 0
2. Найти для данной функции: а) (1 балл) нули и асимптоты
б) (1,5 балла) интервалы монотонности и экстремумы
f(x) = 13 QUOTE 1415
f(x) = 13 QUOTE 1415
3.(1 балл) Найти интервалы выпуклости-вогнутости и точки перегиба графика функции
x4 – 6x2 + 4
5x4 – 3x2 + 4
4.Найти пределы
а) (1,5 балла) 13 QUOTE 1415
а) (1,5 балла) 13 QUOTE 1415
б) (1 балл) 13 QUOTE 1415
б) (1 балл) 13 QUOTE 1415
7 класс. «Многочлены». Контрольная работа
1 вариант
2 вариант
1. Привести многочлен к стандартному виду
а) (0,5 б.) (2x - 5)(3 - 5x)
а) (0,5 б.) (5 - 2x)(4x - 7)
б) (1 б.) (3x2 + 2x - 3)(5 - 2x) - (x - 2)(x + 2)
б) (1 б.) (-2x2 + 7x - 2)(4 - 3x) - (x + 4)(x - 4)
в) (1 б.) (2x2y3 - 3x5y2)(4 xy4 - x4y3) - 8x3y7
в) (1 б.) (7x5y2 - 5x2y3)(3xy4 - 2x4y3) + 14x9y5
г) (1 б.) (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)
г) (1 б.) (3 + 5x)(9 - 15x + 25x2)
д) (1,5 б.) (x-2)3
д) (1,5 б.) (3-x)3
2. (1 б) Привести к стандартному виду и вычислить значение при заданных значениях переменных
(3x - 2y)(81x4 + 54x3y + 36x2y2 + 24xy3 +16 y4) при x = - 2/3 ; y = 3/2
(2x + 3y)(16x4 - 24x3y + 36x2y2 - 54xy3 + 81y4) при x = - 3/2 ; y = - 2/3
3. (по 1 баллу за каждый пункт) Дан многочлен
(3x + 2)5 – (3x - 2)5
(2y - 3)5 + (2y + 3)5
а) Будет ли стандартный вид данного многочлена содержать одночлены чётной степени? А нечётной степени? Почему?
б) Укажите степень, старший коэффициент, старший член и свободный член данного многочлена.
в) Какой одночлен первой степени входит в стандартное представление данного многочлена?
Замечание. Приводить данный многочлен к стандартному виду совершенно не обязательно. Достаточно ответить на вопросы.
7 класс. Системы линейных уравнений. Контрольная работа
1 вариант
2 вариант
1 (а, б – по 1 б; в – 1,5 б) Решите системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
1 (а, б – по 1 б; в – 1,5 б) Решите системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2 (1 б) Задача. Гриша работал за станком 3 ч, а Толя работал 4 ч. Вместе они сделали 44 детали. Сколько деталей сделал каждый из них, если за 1 ч работы они вместе сделали 13 деталей.
2 (1 б) Задача. Настя и мама приготовили 110 пельменей, причем Настя работала 2 ч, а мама 3 ч. Сколько всего пельменей сделала Настя и сколько мама, если вместе за 1 ч они делали 43 пельменя?
3 (1 б) Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через точки А( 4; 2 ) и В( -4; 0 ). Напишите уравнение этой прямой.
3 (1 б) Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через точки А( 2; -1 ) и В( -2; -3 ). Напишите уравнение этой прямой.
4 (1,5 б) Задача. Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения.
4 (1,5 б) Задача. Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 92 км. За 5 ч по течению катер проходит на 10 км больше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения.
5 (1 б) Найдите такие числа а и b, что равенство 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется одновременно при х = 1 и при х = -1.
5 (1 б) Найдите такие числа а и b, что равенство 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется одновременно при х = 1 и при х = -1.
6 (1 б) Задача. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 25, а утроенная сумма этих чисел равна 75. Найдите эти числа.
6 (1 б) Задача. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 64, а удвоенная разность самих чисел равна 4. Найдите эти числа.
7 (1 б) Задача. 2 гири и 3 гантели весят 47 кг, а 3 гири тяжелее 6 гантель на 18 кг. Сколько весит гиря и сколько – гантеля?
7 (1 б) Задача. 4 блокнота и 3 ручки стоят 90 р., а 3 блокнота дороже двух ручек на 25 р. Найдите цену блокнота и цену ручки.
8 класс. «Функции и графики». Контрольная работа
1 вариант
2 вариант
1. Задаёт ли данная формула функцию, отображающую x на y? Ответ докажите. Для функций найдите область определения.
а) (0,5 балла) 3x + 2y = 7;
б) (),5 балла) |y – 1| = 3x – 2;
в) (1 балл) x2 + 2y – 3x = 5;
г) (1 балл) (y + 2)(3x – 1) = (5 – 2y)(2 + 3x)
1. Задаёт ли данная формула функцию, отображающую x на y? Ответ докажите. Для функций найдите область определения.
а) (0,5 балла) 5y + 4x = 3 – 2x – 2y;
б) (0,5 балла) (y – 3)2 = 5 – 2x;
в) (1 балл) 3y – 2x2 + 2 = 5 + 4x;
г) (1 балл) (2 - 3y)(3 +2x) = (5y + 2x)(2x + 5)
2. Построить график функции и по графику найти область определения, область значений, нули и промежутки знакопостоянства функции. Укажите асимптоты графика, если они есть.
а) (1 балл) y = 2x2 – 4x + 3
б) (1,5 балла) y = 13 QUOTE 1415
в) (2 балла) y = |2x – 1| – | x + 1| – 2
2. Построить график функции и по графику найти область определения, область значений, нули и промежутки знакопостоянства функции. Укажите асимптоты графика, если они есть.
а) (1 балл) y = -3x2 – 6x + 2
б) (1,5 балла) y = 13 QUOTE 1415
в) (2 балла) y = |3x + 6| + | x + 1| – 4
3. (1 балл) С помощью преобразования графиков построить график
y = 213 QUOTE 1415 + 4
3. (1 балл) С помощью преобразования графиков построить график
y = 313 QUOTE 1415 – 2
4. (2 балла) Построить график функции и по графику найти область определения, область значений, нули и промежутки знакопостоянства функции: y = 13 QUOTE 1415
4. (2 балла) Построить график функции и по графику найти область определения, область значений, нули и промежутки знакопостоянства функции: y = | 13 QUOTE 1415
класс. Системы алгебраических уравнений. Контрольная работа
1 (0,5 б.) Решить графически
13 EMBED PBrush 1415
1(0,5 б.) Решить графически
13 EMBED PBrush 1415
2 (0,5 б.) Решить графически
13 EMBED PBrush 1415
2(0,5 б.) Решить графически
13 EMBED PBrush 1415
3 (1 б)
13 EMBED PBrush 1415
3 (1 б)
13 EMBED PBrush 1415
4(1 б)
13 EMBED PBrush 1415
4(1 б)
13 EMBED PBrush 1415
5(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
5(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
6(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
6(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
7(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
7(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
8(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
8(1,5 б)
13 EMBED PBrush 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native