Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).
Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).
Аннотация:
Предлагается общий подход к решению задач о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки. В качестве примера показано деление угла на три равные части (Трисекция угла).
Ключевые слова:
угол; деление угла; трисекция угла.
Введение.
Трисекция угла задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.
Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведённого утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.
Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей, что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.
Вступительная часть.
Проведём прямую линию a и построим на ней
·CDE. Условно назовём его «базовым» (Рис.1).
Выберем на линии a произвольную точку F и проведём ещё одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами:
1.
·1-
·3=y1;
·3-
·5=y3;
·1-
·5=y1+y3;
2.
·2-
·4=y2;
·4-
·6=y4;
·2-
·6=y2+y4;
3. y1/y2 =y3/y4 ;
Пояснение1. к п.3: Пусть углы -
·C,
·D,
·E являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника
·CDE. Тогда можно записать:
·C+
·D+
·E=1800 – сумма углов
·CDE;
·C+y2+
·D-(y2+y1)+
·E+y1=1800 – сумма углов
·CGE;
Пусть y1/y2=n или y1=n*y2, тогда,
·C+y2+
·D-(y2+y1)+
·E+n*y2=1800
Сумма углов
·CHE:
·C+(y2+y4)+
·D-(y2+y4+y1+y3)+
·E+n*(y2+y4)=1800 , откуда
y1+y3=n*(y2+y4) или y1+y3=n*y2+n*y4, и так как y1=n*y2,то
y3=n*y4 и следовательно y1/y2 =y3/y4 =n.
Далее, возьмем две произвольные точки на линии a – N и M, и проведём через них две линии c и d как показано на Рис.2. Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (
·1-
·3)/(
·3-
·5)= (
·2-
·4)/(
·4-
·6)= y1/ y3= y2/ y4;
Деление угла на три равные части.
На окружности с центром в точке A отложим угол E1AE2=
· (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично три угла - CAC1, C1AC2, C2AC3 каждый равный
·. Разделим угол E1AE2, в точках K1,K3, на три равных угла -
·E1AK1,
·K1AK3,
·K3AE2 равных
·/3. Проведём прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями точки C,E1 и C2,E. (см. Рис. 3.2)
Через точку K – пересечения линий, и точку K1 проведём прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K2 и проведём через неё две прямые из точек C и C2.
Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC2). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y1/y2 =y3/y4=1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить угол на три равных части.
Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла
·=500 .
Вариант 1.
На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C1C2=B1B2=B2B3=B1B4 равные
·=500 - относительно центра окружности. Половину дуги C1C2 – CC1 делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B1 и D, и точки B3 и C. Соединяем между собой точки B1 и C, B3 и C1. Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол
·=C1AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен
·/3.
·
Вариант 2.
На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C1C2=B1B2=B2B3=B1B4=
·=500 - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B1 и C, B3 и C1. Отложим углы y2=2y1 (см. Рис 4.2) от линий B1C и B3C1 и проведём прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол
·=C1AG
·16.670, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен
·/3.
Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла
·=500) показано на Рис.5
Деление угла на нечётное количество (>3-х) равных углов.
В качестве примера рассмотрим деление угла
·=350 на пять равных между собой углов.
Способ №1.
На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C2AC1=B1AB2=B2AB3=B3AB4=B4AB5=B5AB6=
·=350.(см. Рис.6)
Делим угол C2AC равный половине угла C2AC1 пополам в точке E. Соединяем точки
E,C2,B1,B2,B3 между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем Вариант 2 из ранее приведённого примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечётное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B3E и B1C2 в точках B3 и B1 соответственно, отложим углы y1 и y2в соотношении 1:4. Из точек B3 и B1 проведём прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C2AK=
·=70 будет искомым.
Способ №2.
Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ј угла C2AC1 – угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.
Построение правильного семиугольника.
Примем, что n – число разбиений (количество секторов на которое делится угол).
Тогда если n-1=2k(1), где k – любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n-1
·2k(2) – то угол делится в два этапа, вначале на n-1, а затем уже на n. При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y1/y2 = 1/n-1(3).
Поясним это на примере построения правильного семиугольника.
Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 600,умножить её на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможных вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 600 будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем, на втором этапе, на семь. С этой целью, разделим угол 300 на три равных сектора по 100(см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=100 отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 600.
Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 600 используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D1CD2=600 симметрично к средней линии и угол D2CD3=600 примыкающий к нему. В точках D1 и D3 построим углы y1 и y2 к линиям D1E и D3L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) – то есть 1 к 6.
Проведём прямые линии под углами y1 и y2. Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=600/7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL ещё шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.
Заключение.
Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение – невозможность его применения непосредственно для углов > 600, что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.
Библиографический список:
1. Метельский Н. В. Математика. Курс средней школы для поступающих в вузы и техникумы. Изд. 3-е, стереотип. Мн., «Вышэйш. Школа», 1975 г. 688 с. с илл.
Рисунок 2Рисунок 3Рисунок 4Рисунок 5Рисунок 9Рисунок 10Рисунок 11Рисунок 1215