МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Реализация системно-деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса произвольного угла

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Реализация системно-деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса произвольного угла
Тема: Синус и косинус произвольного угла
(10 класс, алгебра)
Цели урока:
Обучающая: ПРАКТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ
формирование у обучающихся понятий синуса, косинуса произвольного угла посредством организации обучающей деятельности по усвоению определений;
умения находить синус, косинус любого угла посредством формирования у обучающихся ориентировочной основы действий (ООД) по алгоритму;
формирование умения применять понятия (через организацию деятельности, адекватной усваиваемому содержанию) посредством решения задач, а именно:
задачи на непосредственное применение понятий;
установления внутриматематических связей через решение задач построения угла (определение местонахождения точки единичной окружности по четвертям) по известному значению синуса, косинуса;
задачи на нахождение по известным одной из функций угла и его расположения в одной из четвертей единичного круга остальных трёх тригонометрических функций этого угла;
установление межпредметных связей и обучение практическому применению понятия посредством решения практико-ориентированных задач.
Развивающая: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ
умение самообучения посредством соотнесения этапов решения эталонам;
развитие у обучающихся логического мышления посредством требования обязательности обоснования своих действий;
грамотности математической речи посредством организации этапа громкой речи;
умений планирования через составление плана решения задачи и алгоритмизацию отдельных этапов решения задач;
Воспитывающая: ЛИЧНОСТНЫЕ КАЧЕСТВА
формирование у школьников стойкого познавательного интереса к предмету посредством использования на уроке интересных исторических фактов, создания ситуаций затруднения, выстраивания серии заданий по принципу доступности, последовательности изучения материала от простого к сложному;
навыков самоорганизации, самостоятельности через организацию самостоятельной деятельности;
коммуникативных навыков через организацию взаимной проверки заданий в парах;
навыков самоконтроля посредством организации проверки и самопроверки выполненных заданий.
Оборудование урока:
Интерактивная доска или проектор, раздаточный материал (карточки-опоры), демонстрационная модель тригонометра.

Ход урока
Организационный момент
I этап – подготовительный
Цель этапа:
сообщение обучающей цели урока (цель заявлена темой урока);
актуализация опорных знаний, необходимых для усвоения темы.
Учебные действия, необходимые на данном этапе:
умения распознавать понятия: декартова система координат, декартовы координаты, абсцисса точки, ордината точки, окружность, радиус-вектор, угол поворота радиус-вектора, нулевой угол, полный угол поворота, положительный и отрицательный углы, четверти координатного круга;
умение находить синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника;
умение применять основное тригонометрическое тождество для острых углов, а также знание табличных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов 300, 450 ,600;
умение применять формулу длины дуги, соответствующей данному центральному углу окружности;
умение строить любой угол (любой градусной меры и знака) на единичной окружности и обратно – по чертежу определять градусную меру и знак угла поворота;
умение соотнесения (отождествления) точки единичной окружности с углом поворота радиус-вектора и обратно;
умение ориентироваться по четвертям координатного круга;
умение представлять угол любой градусной меры в радианах и обратно, любой угол, выраженный в радианах переводить в градусы;
умения выражать любой угол в градусной и радианной форме: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Задачи на повторение могут быть заданы на экране, вопросы задаваться последовательно фронтально всему классу с последующим обсуждением правильности ответов.
Деятельность учителя – озвучивает задание
Ответьте на вопросы:
Выполните задание на печатной основе. Отметьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу (по слайду с последующей проверкой):
900, 1800, 2700, 3600; 2) -300, -450, -600; 3) 1200, -1350, -1500; 4) 2400, -3300, -2250


Запишите градусную и радианную меру углов поворота, изображенных на рисунках:


Укажите угол поворота в таблице.

1
2
3
4
5
6
7
8

Градусная мера










Радианная мера









Какой четверти принадлежит точка, соответствующая числу: 1, 3, 5, 12, -8?
Правильный ответ:




Решите задачи из геометрии 8 класса.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415 13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
В последней задаче примите гипотенузу равной единице. Как в этом случае будут выражены катеты?
Деятельность учащихся: решают и объясняют решения.
Деятельность учителя – организует самопроверку на экране
II этап – мотивационный
Цель: организация предварительного ознакомления учащихся с обучающей целью урока, возбуждение у обучающихся интересу к изучаемой теме, создание «внутренней», или познавательной, мотивации посредством предложения учащимся задачи, создающей при решении проблемную ситуацию (ситуацию затруднения).
Учебные действия, необходимые на этом этапе: логические действия по сравнению – установление сходства и отличия, выделение общего, общеучебные – применение знаний в практической ситуации, формулирование гипотез для решения поставленной проблемы.
Деятельность учителя – зачитывает историческую справку (можно с презентации)
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА:
Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т.д.)  В основе всех математических открытий лежит практическое решение задач: как составить правильный календарь, имеющий огромное значение для древних земледельцев? Как научиться точно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил? Как составить точные географические карты? Как правильно определить большие расстояния на поверхности Земли? 
На небосводе Земли люди с древних времен видели 5 планет: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Наблюдения невооруженным глазом не позволяли различить ни остальные планеты, ни детали на их поверхностях. Лишь с изобретением телескопа удалось разглядеть наших соседей по Солнечной системе поподробнее и обнаружить еще три планеты Уран, Нептун и Плутон. Первым в этой триаде был открыт Уран.
Ночная страсть музыканта42-летний профессиональный музыкант Вильям Гершель на жизнь зарабатывал преподаванием музыки и игрой на скрипке и гобое в местном оркестре, но главной страстью его жизни была астрономия. В саду во дворе своего дома Гершель установил им же самим изготовленный телескоп и занялся исследованием звездного неба. Уже седьмой год вел он свои наблюдения. И это не было праздным любопытством: Гершель поставил перед собой грандиозную задачу нанести на карту неба все звезды Северного полушария.13 марта 1781 года он изучал расположение светил в районе созвездия Тельца. Одна из звезд в пределах этого участка показалась Гершелю странной вместо яркой точки она имела вид небольшого диска, поэтому в дневнике наблюдений он сделал такую запись: «необычного вида либо звезда, окруженная туманностью, либо комета».Первоначально Гершель посчитал все же, что это комета, о чем вскоре и послал сообщение в Королевское общество. За свое открытие он в том же году был избран членом Лондонского Королевского общества и получил степень доктора Оксфордского университета. А спустя 2 месяца после открытия Гершеля петербургский академик Андрей Лексель вычислил параметры орбиты этого небесного тела, показавшие, что оно вращается вокруг Солнца по кругу, радиус которого в 19 раз превышает радиус орбиты Земли. Но самое удивительное состояло в том, что небесное тело, открытое Гершелем, имело круговую орбиту, характерную исключительно для планет кометы движутся по сильно вытянутым параболам. Стало ясно, что Гершелю удалось обнаружить еще одну, седьмую планету, а Солнечная система, границы которой до сих пор проводились по орбите Сатурна, в одночасье расширилась вдвое. Так был открыт Уран. Обнаружение этой планеты было огромным событием, которое можно сравнить с открытием Америки или с первыми полетами людей в космос.Как удалось определить, что новое небесное тело – не комета? (знание законов движения комет, траекторий и графиков движения).
А какие графики движения на сегодняшний день знаете Вы?
Деятельность учителя – фронтально задает серию вопросов, подводящих к необходимости изучения нового материала.
Деятельность учащихся: предлагают, выходят к доске и записывают решения.
Изобразите схематически график к данной задаче по заданному виду движения тела:
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. По пути он делал привал, затем продолжил движение. Определите, на каком расстоянии он находился в определенный момент времени t;
Предполагаемый ответ:
В определенный момент с определённой начальной скоростью под углом к горизонту брошен камень. Определите высоту, на которой находится камень в определенный момент времени t;
Предполагаемый ответ:
Человек бежит по кругу. Как определить его местонахождение в определенный промежуток времени t?
Предполагаемый ответ: учащиеся предложат нарисовать окружность. Но так как вид движения носит циклический (периодический) характер, то с определением координат местонахождения бегуна в конкретно заданный промежуток времени возникнет ситуация затруднения
Деятельность учителя – задает серию вопросов, подводящих к необходимости изучения нового материала. Можно организовать поисковую беседу:
Поисковая практическая задача: Итак, человек бежит по кругу с определённой скоростью v. Вопрос: Нарисовать предполагаемый график движения бегуна. Вы нарисовали окружность с центром в начале отсчета. Как по графику окружности определить местонахождение спортсмена в определенный промежуток времени t?
1 предполагаемый вариант решения: Представим, что бегун движется по прямой, то есть выпрямим траекторию движения и попытаемся вычислить его путь.
Расстояние от точки старта можно вычислить по формуле пути 13 EMBED Equation.3 1415, скорость умножить на время, получим расстояние. Далее, чтобы определить в какой точке окружности спортсмен находится в данное время, нам потребуется знать длину круга, то есть нужно знать длину беговой дорожки, длину окружности.
Вопрос: Как узнать длину окружности? Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, где R – радиус данной окружности.
Вопрос: Допустим, радиус R - известен, тогда и длину окружности вы вычислите. Ваши дальнейшие действия?
Ответ: Тогда из найденного расстояния вычтем длину окружности столько раз, пока не получим остаток, меньший длины окружности. Это и будет расстоянием от точки старта.
Вопрос: Покажите местонахождение бегуна (ситуация затруднения - в каком направлении откладывать остаток?)
Ответ: В направлении движения бегуна. Вопрос: Согласитесь, что такой способ слегка трудоемок. Существует ли ещё способ или даже готовая формула для вычисления длины пройденного пути?
2 вариант ответа: Представим, что бегун движется по окружности, или по части окружности – по дуге.
Тогда из курса геометрии нам известна формула дуги l, соответствующей центральному углу 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Но тогда, кроме радиуса R, мы должны еще знать градусную меру центрального угла. И найденное расстояние будет выражено в радианах, например: 13 EMBED Equation.3 1415
Вопрос: Придумайте другой способ определить местонахождение спортсмена.

Возможен еще один вариант ответа:
Предложат поместить в центр окружности наблюдателя и наблюдать за его движением изнутри, поворачиваясь на 360 градусов.



Рассмотрим похожую задачу.
Задача: Ученый- астроном наблюдает за движением звезд, его цель - составление карты звездного неба, причем звезды, как вы знаете, находятся в непрерывном движении. Он находится в роли наблюдателя, находящегося внутри сферы. Как он на практике определит и запишет смещение звезд?
Ответ: Будет измерять углы между выбранными направлениями.
Вопрос: А как удобнее представить результаты наблюдений?
Ответ: Начертит окружность или карту и будет наносить измеренные углы или записывать результаты в письменном виде, в табличном виде.
Вопрос: Удобно ли и быстро ли ориентироваться по таким записям? (риторический вопрос). Нужна система, и такая система есть.
Подведем итог интриги: Задачи практического характера в свое время привели к необходимости рассматривать модель движения по окружности, а не только по прямой (от пункта А до пункта В), как мы умеем.
Вопрос: Как можно сформулировать данную задачу на математическом языке?
Ожидаемый ответ: Нахождение координат точки, находящейся на окружности (или точки, двигающейся по окружности).
Вопрос: Сколькими числами определяется точка, находящаяся на окружности?
Приходим к выводу, что здесь есть два варианта:
одной (назовем её угловой) координатой - длиной дуги, пройденной этой точкой от начала отсчета);
двумя декартовыми координатами.
На данном рисунке показано отличие в обозначении координат точки Мt и М(x;y) . Координата t – это «угловая» координата, равная длине дуги 13 EMBED Equation.3 1415, пройденной движущейся точкой от начальной точки, а пара чисел (x;y) – это декартовы координаты в привычной нам прямоугольной системе координат.

Перед наукой в свое время стояла задача – научиться совмещать эти модели движения тела по окружности, то есть совместить эти два круга. При совмещении оказалось, что декартовы координаты можно вычислить, зная синус и косинус угла поворота точки, и наоборот, по декартовым координатам можно определить угол поворота точки.
Примечание: Задача существенно упростится, если длину радиуса принять за единицу.
13 EMBED Equation.3 1415
Астрономия, которая дает нам наиболее наглядное представление о данной задаче движения тела по окружности, определяет положение объектов в небесной сфере с помощью углов. Можно сказать так: в качестве переменной очень часто выступает угол. Поэтому мы обсудим вопрос об измерении углов.
Геометрический угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, вершины угла. Чтобы сравнивать углы, удобно закрепить их вершины в одной точке и вращать стороны. При этом углы могут превосходить углы треугольника, то есть быть больше 1800, больше полного круга (1800) и иметь разные направления обращения.

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла это отношение катетов прямоугольного треугольника. Сегодня мы знакомимся с иным подходом к понятиям синуса, косинуса, когда угол имеет произвольную величину и направление.
III этап – ориентировочный
Цель: введение определений (определения – конструктивные, способ введения – абстрактно-дедуктивный) синуса, косинуса произвольного угла и формирование умения определять их значения по определению.
Учебные действия, необходимые для усвоения определений понятий: ведущая деятельность - работа по алгоритму (специальные математические действия), вычисление значений, распознавание.
Деятельность учителя: озвучивает цель.
Цель сегодняшнего урока – научиться вычислять тригонометрические функции любого угла – синуса и косинуса - и применять эти умения при решении задач.
Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель числовая окружность, но не простая, а особая окружность.
В математике условились использовать единичную окружность окружность с радиусом 1. Это будет наша беговая дорожка» - числовая окружность.
Определение. Числовая окружность – единичная окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности). Уравнение числовой окружности: x2 + y2 = 1.
Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = R2. Заметим, во-вторых, что R = 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х2+у2 = 1.
Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х.
Движение по числовой окружности происходит против часовой стрелки.
Если движение по числовой окружности происходит по часовой стрелке, то значения получаются отрицательными.
Деятельность учителя: предъявляет для записи определения синуса и косинуса на экране и озвучивает задание для обучающихся – разобраться в конструкции определений, найти сходства и отличия.
Деятельность учащихся: изучают определения.
Определения предъявляются в печатном виде, либо на экране.
Определение.
Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.
Если М(t)=М (x, y), то x = cos t, y = sin t.
Деятельность учащихся: решают и записывают определения.
Деятельность учителя: организует усвоение определений через систему вопросов, предъявляемых фронтально.
Деятельность учащихся: отвечают на вопросы:
Какие компоненты используются в определениях? (числовая окружность; угол поворота; точка; абсцисса, ордината);
Что общего в определениях и в чем различие? (общее – точка, угол, различие – абсцисса и ордината);
Объясните, почему рассматриваемая окружность называется единичной. (её радиус равен 1);
Объясните, почему окружность называется числовой? (потому что длина дуги – это число)
При совмещении двух моделей мы получили два нуля – две начальные точки отсчета. Объясните, почему.
Еще раз прочтите определение. Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t. Что обозначает координата t?
ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Этап закрепления определений через использование карточек-опор
Цель этапа: освоение алгоритма решения новой для обучающихся задачи, задачи на непосредственное применение понятий – задачи определения значений синуса, косинуса любого угла на единичной окружности.
Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные – контроль, самоконтроль, коммуникативные умения. Учащимся предъявляется задача с решением (материальная основа), смотрите приложение.
Деятельность учителя – озвучивает задание: Разберитесь с образцом определения синуса и косинуса угла по печатному образцу.
Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия: в свойствах изучаемых понятий, в результате-образце, в составе и порядке исполнительных операций.
Приложение
Материальная основа (раздается каждому ребенку в печатном виде).
Алгоритм нахождения sin t и cos t

Задача: Найти 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Решение:
а)13 EMBED Equation.3 1415,
направление обхода – положительное, против часовой стрелки,
б) откладываем угол 13 EMBED Equation.3 1415 от начальной точки А (1; 0);
в) отмечаем точку пересечения стороны угла с единичной окружностью – точку М;
г) теперь нам угол не нужен, нужна только точка М.
1. Убеждаемся, что окружность является единичной;
2. Определяем градусную меру угла и направление обхода;
3. Откладываем угол от начальной точки А(1; 0);
4. Отмечаем точку пересечения стороны угла с единичной окружностью – точку Мt;
5. Отвлекаемся от угла. Теперь нам нужна только точка М.


Через отмеченную точку проводим перпендикуляры на ось Ох и ось Оу;



Определить значение абсциссы и ординаты (x; y) точки t (то есть декартовы координаты точки М);
М (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Записать ответ: cos t= х, sin t = y.

Примечание: Из курса геометрии вам известны табличные значения синуса и косинуса для угла 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому в данной задаче точный ответ таков: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Деятельность учителя – озвучивает вопрос: На печатном образце показан пример для угла 1-й четверти. Что изменится при попадании точки в другие четверти?
Ответ: Знаки у чисел.
Деятельность учителя – высвечивает информацию на экране:
Каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:
у точек первой четверти х > 0, у > 0;
у точек второй четверти х < 0, у > 0;
у точек третьей четверти х < 0, у < 0;
у точек четвертой четверти х > 0, у < 0.
Четверть
1-я
2-я
3-я
4-я

Sin t
+
+
-
-

Cos t
+
-
-
+




Обратите внимание на новый тригонометр на экране. На нем очень хорошо показано, как уживаются вместе две системы – угловая и декартовая. Декартовые координаты записаны в виде пар чисел, в скобка, а угловые – внутри круга, причем для удобства приведены две формы записи угла – радианная и градусная.




Этап закрепления умений применения понятий
через использование карточек-опор
Деятельность учителя: предъявляет задачу для самостоятельного решения на экране для самостоятельного решения с использованием печатной карточки-опоры.
Цель: формирование ориентировочной основы действия (ООД) по освоению алгоритма решения новой для обучающихся задачи, задачи на непосредственное применение понятий – задачи определения значений синуса, косинуса любого угла на единичной окружности.
Задания
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если:

№1. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) 0; 1; б) -1; 0; в) 0; 1; г) 1; 0.

№2. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) 0; -1; б) -1; 0; в) -1; 0; г) 0; 1.

№3. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.

№4. а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия.
Деятельность учителя: контролирует и направляет работу учащихся в парах.
Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (на экране):
Деятельность учащихся: выполняют самопроверку

IV этап - этап обучения применению понятий

Цель этапа: формирование умения применять знания через организацию деятельности, адекватной усваиваемому содержанию и установление внутренних математических связей посредством решения задач на применение понятий в измененных ситуациях:
введение дополнительного действия с углами;
оценка наибольших и наименьших значений синуса и косинуса;
арифметические действия с синусами и косинусами;
упрощение выражений, содержащих арифметические действия с синусами и косинусами на применение основного тригонометрического тождества и его следствий.
Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму и в измененных условиях, регулятивные – планирование, контроль, самоконтроль, коммуникативные умения.
Деятельность учителя: контролирует и направляет работу учащихся в группах.
Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемых действий.

ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

№1. Найдите значение выражения:

а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) 0; б) 0,5; в) 0; г) -0,5.

№2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:

а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) -3; 3; б) -2;2; в) -1; 3; г) 1; 7.
№3. Определить знак числа:

а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) «+»; б) «-»; в) «-»; г) «-».
№4. Упростите выражения:

а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 1; г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) -1.

Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (на экране):
Деятельность учащихся: выполняют самопроверку
V этап - этап домашнего задания
Цель: развитие поисковых и коммуникативных умений, навыков самоорганизации и совершенствование умения применять знания:
Деятельность учителя – озвучивает задание
Задания по группам:
Номера из учебника по изученному материалу;
Установить, почему абсцисса точки в декартовой системе координат точно равна косинусу угла, образованного радиус-вектором с положительным направлением оси абсцисс, а ордината – синусу этого угла;
Заполнить таблицу слева и, пользуясь ключом справа, расшифровать пословицу. Углы, данные в градусах, необходимо перевести в радианы и наоборот. Учащимся предлагается объяснить смысл пословицы.
1000

800

3000

-2000

-8300
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
























Добудешь
13 EMBED Equation.3 1415
Мечом
3300
Добыть
-1200

Не
-720
Знанием
13 EMBED Equation.3 1415
Мечей
13 EMBED Equation.3 1415


Сможешь
1350



Ответ: Знанием добудешь тысячи мечей, но мечом знания добыть не сможешь.
Деятельность учащихся: записывают, самоорганизуются в группы.




V этап - этап установления математических связей
(планировать на следующее занятие)
Цель занятия: расширение объема понятий, установление внутриматематических связей посредством решения задач, адекватных содержанию понятия, а именно:
установление дополнительных математических связей между синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом через решение задачи: по известному значению одного из четырех тригонометрических функций острого угла вычисления оставшихся трех значений (основное тригонометрическое тождество, вычисление тангенса как отношение синуса к косинусу);
решение более трудной – обратной задачи: определение угла (углов) по известным значениям синуса и косинуса (множественность, серийность решений);
в процессе обучения решению задач - организация деятельности по формированию ориентировочной основы действия (ООД), алгоритмизация;
КОНТРОЛИРУЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (на второе занятие)
Цель этапа: контроль усвоения алгоритма решения задачи на непосредственное применение понятий – задачи вычисления значений синуса, косинуса любого угла по числовой окружности.
Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные – контроль, самоконтроль, коммуникативные - взаимообучение.
Деятельность учителя: предъявляет задачи для самостоятельного решения (на экране).
Самостоятельная работа для групп по 4 человека на 4 варианта
Вариант №1
1.Найдите значение выражения:
2 sin13 EMBED Equation.3 1415- 2 cos13 EMBED Equation.3 1415+ 3 tq 13 EMBED Equation.3 1415 - ctq13 EMBED Equation.3 1415.
2.Известно, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите:
sin13 EMBED Equation.3 1415, если cos13 EMBED Equation.3 1415= - 0,6.


3.Найдите значения тригонометрических функций угла 13 EMBED Equation.3 1415, если известно, что:
ctq13 EMBED Equation.3 1415= - 2,5 и 13 EMBED Equation.3 1415- угол IV четверти.
4.Вычислить
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант №2
1.Найдите значение выражения:
sin (-13 EMBED Equation.3 1415) + 3 cos13 EMBED Equation.3 1415 - tq 13 EMBED Equation.3 1415 + ctq 13 EMBED Equation.3 1415
2.Известно, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите:
cos13 EMBED Equation.3 1415, если sin13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415

3.Найдите значения тригонометрических функций угла 13 EMBED Equation.3 1415, если известно, что:
ctq13 EMBED Equation.3 1415= - 2,5 и 13 EMBED Equation.3 1415- угол IV четверти
4.Вычислить
13 EMBED Equation.3 1415.

Варианта №3
1.Найдите значение выражения:
2 sin13 EMBED Equation.3 1415 - 3 tq13 EMBED Equation.3 1415 + ctq (- 13 EMBED Equation.3 1415) – tq 13 EMBED Equation.3 1415
2.Известно, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите:
tq13 EMBED Equation.3 1415, если cos13 EMBED Equation.3 1415= - 13 EMBED Equation.3 1415.
3.Найдите значения тригонометрических функций угла 13 EMBED Equation.3 1415, если известно, что:
ctq13 EMBED Equation.3 1415= - 2,5 и 13 EMBED Equation.3 1415- угол IV четверти
4.Вычислить
13EMBED Equation.31415sin
· – sin (13EMBED Equation.31415 +
· ).
Вариант №4
1.Найдите значение выражения:
3 tq (-13 EMBED Equation.3 1415) + 2 sin13 EMBED Equation.3 1415 - 3 tq 0 – 2 ctq 13 EMBED Equation.3 1415
2.Известно, 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите:
sin13 EMBED Equation.3 1415 , если ctq13 EMBED Equation.3 1415= -2
3.Найдите значения тригонометрических функций угла 13 EMBED Equation.3 1415, если известно, что:
ctq13 EMBED Equation.3 1415= - 2,5 и 13 EMBED Equation.3 1415- угол IV четверти
4.Вычислить
13EMBED Equation.31415 .

Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ:
ОТВЕТЫ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (на третье занятие)
Решение простейших уравнений вида 13 EMBED Equation.3 1415

Mt

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeTimes New RomanВыразите длину дуги NTimes New RomanTimes New Romanчерез радиус и Times New Romanцентральный угол A