Урок алгебры по теме Определение геометрической прогрессии. Формула n — го члена геометрической прогрессии ( 9 класс)
Тема урока «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии».
Место урока: первый урок по теме «Геометрическая прогрессия»
(всего 7 часов).
Тип урока: урок открытия новых знаний.
Цели урока:
- формировать понятие геометрической прогрессии;
- способствовать выводу формулы n-го члена геометрической прогрессии.
Задачи урока:
- повторить понятие последовательности;
- сформировать умения применять выведенную формулу.
Методологическая база:
В ходе урока, на этапе построения проекта выхода из затруднения используются мыслительные операции - анализ, синтез, обобщение, сравнение, выявление закономерностей. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс. Учебник – М: Просвещение 2014г; Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Л.Б. Крайнева. Алгебра. Дидактические материалы для 9 класса – М.: Просвещение, 2009; Миндюк Н.Г., Шлыкова И.С.. Рабочая тетрадь 2 часть. Алгебра 9 класс - М: Просвещение. 2014.
Оборудование и материалы: раздаточные материалы, учебник, УМК, презентация, проектор, интерактивная доска.
№ Этапы урока Содержание Виды деятельности Результаты
учителя учащихся Предметные Личностные Метапредметные (УУД)
1 Мотивация к учебной деятельности.
Цель:
1. Включить учащихся в учебную деятельность;
2. Расширить знания о применении понятия последовательности к решению задач в практической деятельности. - Здравствуйте ребята! Я рада вас видеть на нашем уроке. Хочу для начала прочитать вам легенду о шахматной доске.
(Слайд 2)
(См. Приложение 1)
– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.
(Слайд №3)
- 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 073 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о, повелитель!
- Я думаю, что всем вам интересно, какое отношение имеет эта легенда к нашему уроку!
А ответ на этот вопрос мы с вами найдем в конце урока.
Создает условия для формирования внутренней потребности учеников во включении в учебную деятельность.
Слушают учителя Знать определение степени с целым показателем
Уметь читать многозначные числа
Сформированность мотивации к обучению Коммуникативные: уметь совместно договариваться о правилах поведения общения, следовать им; оформлять свои мысли в устной форме.
2 Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.
Цель:
1.Актуализировать знания последовательности;
2.Актуализировать мыслительные операции для нахождения членов последовательности;
3. Зафиксировать затруднения в нахождении n-го члена последовательности. - А пока что, (Слайд № 4)
Работа в парах
- У вас на партах даны карточки со следующими записями:
1) 2 ; 4 ; 6 ; 8 ;…
2) 1; 2; 4; 8;…
3) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ;…
4) 2; 6; 18; 54;…
5) 1; 4; 9; 16; 25; …
6) -10;10;-10;10; …
-Что представляют собой эти записи?
-Возьмите карточки с последовательностями: № 2 ,
№ 4, №6
2) 1;2;4;8;… 4) 2; 6; 18; 54;… 6) -10 ; 10 ; -10 ; 10; …
- Найдите первый, пятый и седьмой члены последовательности.
- Для нахождения членов последовательности, чем вы пользовались?
(обсуждение).
- В последовательности, под каким номером легче было находить члены последовательности? Почему?
-В последовательности 1;2;4;8;… во сколько раз каждый следующий член больше предыдущего? В 2 раза!
- В последовательности 2; 6; 18; 54;…во сколько раз каждый следующий член больше предыдущего? В 3 раза!
- В последовательности -10 ; 10 ; -10 ; 10; … какую в этом случае вы заметили закономерность ? Умножение на(-1)!
- Откройте учебник алгебры на стр.153. Прочитайте, как называются последовательность у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. (геометрическая прогрессия).
(Слайд 5)
- На слайде формула геометрической прогрессии для любого натурального числа n:
bn+1= bn*q- Какие из последовательностей, у вас на столе, являются геометрическими прогрессиями? (2,4,6)
- На этом же слайде формула знаменателя геометрической прогрессии: q= bn+1bn
(Слайд № 6)
- Как вы думаете, почему она называется геометрической?
- Видимо потому, что каждый её член равен среднему геометрическому, соседних с ним членов.
А такое среднее названо геометрическим, поскольку оно является стороной квадрата, равновеликого прямоугольнику, стороны которого имеют длины, равные тем величинам, от которых берется среднее.
Например, возьмем последовательность чисел 1;2;4;8;… число 4 есть среднее геометрическое чисел 2 и 8, т.е. 4 = 2∙8. Организует фиксирование индивидуального затруднения, выявление места и причины затруднения во внешней речи, обобщение актуализированных знаний Выполняют задания, представленные на слайдах
Отвечают на вопросы учителя
Уметь различать последовательности чисел.
Знать определение геометрической последовательности,
знаменатель геометрической прогрессии.
Сформированность к целенаправленной познавательной деятельности Познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя, преобразовывать информацию из одной формы в другую).
Коммуникативные: уметь слушать и понимать речь других, оформлять мысли в устной форме.
Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий на уроке, высказывать свое предложение.
3 Постановка проблемы.
Цель:
1) Зафиксировать, где возникло затруднение при нахождении членов последовательности;
2) соотнести свои действия с используемым способом действия по нахождению n-го члена последовательности. - Для первой последовательности имеется формула нахождения n-го члена.
- Что нужно сделать, чтобы найти n-ый член, геометрической прогрессии?
Организует фиксирование места затруднения Слушают, фиксируют место затруднения
Отвечают на вопросы учителя
Знать понятие n-го члена, геометрической прогрессии. Готовность к целенаправленной познавательной деятельности Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий на уроке, высказывать свое предложение
4 Построение проекта выхода из затруднения.
Цель: построить проект для нахождения n-го члена, геометрической прогрессии. - Какую цель урока вы бы себе поставили?
- Составьте план по достижению цели.
- Сравните свой план с эталоном.
(Слайд №7)
План проекта.
а) установим зависимость между членами прогрессии;
б) определим, как находится второй, третий, четвертый члены прогрессии;
в) установим взаимосвязь между этими действиями;
г) выведем формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии. Организует уточнение следующего шага учебной деятельности, составление совместного плана действий Составляют, сравнивают и проговаривают план действий с помощью учителя Уметь составлять план действий для нахождения n-го члена, геометрической прогрессии. Научиться находить n-ный член последовательности Готовность к осознанному выбору и построению дальнейшей индивидуальной траектории выхода из затруднения Регулятивные: уметь формулировать учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно; определять последовательность промежуточных целей с учетом конечного результата
5 Реализация построенного проекта
Цель:
1) реализовать построенный проект в соответствии с планом;
2) вывести формулу n-го члена, геометрической прогрессии;
3) уточнить общий характер полученной формулы;
4) зафиксировать преодоление в затруднении.
(Слайд №8)
- Запишите последовательность b1; b2 ; b3 ; …. Данная последовательность является геометрической прогрессией (bn ), где q- знаменатель геометрической прогрессии.
- Как найти b2?
(b2= b1* q)
- Как найти b2?
(b3= b2* q = b1* q2)
- Как найти b4?
(b4= b3* q = b1* q3)
- Как найти b7?
(b7= b6* q = b1* q6)
- Как найти bn?
(bn= bn-1* q= b1* qn-1)
Сравните последнюю запись с карточкой эталоном. bn = b1* qn-1
- Выделите формулу в тетради.
Используя эту формулу, мы можем найти любой член геометрической прогрессии.
Организует реализацию построенного проекта в соответствии с планом, подводящий диалог. Под руководством учителя реализуют составленный план действий. Отвечают на вопросы учителя. Фиксируют новое знание в речи и знаках. Уметь находить любой член геометрической прогрессии используя формулу. Сформированность ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, Познавательные: уметь добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию полученную на уроке).
Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других.
6 Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи
Цели:
организовать усвоение детьми нахождение членов геометрической прогрессии, с их проговариванием во внешней речи.
Слайд № 9
Выразите: b6 ; b20 ; b117 ; bk ; bk+3 .
Слайд № 10
Работа в группах. Задача № 1
- В последовательности – геометрической прогрессии - 2; -6…
Найти пятый член геометрической прогрессии
Решение. Зная первый и второй члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. q = -6 : 2 = - 3. Таким образом b5 = 2 * (-3)4 =162.
Слайд № 11
Работа в группах. Задача № 2
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -84; 42; -21;… Найдите её пятый член.
Решение задачи №2
q = 42 : (-84)= -0,5
b5=-84*(-0.5)4=-5.25
Слайд № 12
Задача № 3
В правильный треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан второй треугольник так, что его вершинами являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т.д. Найдите периметр пятого треугольника.
Ответ: 3 см
(См. №10 стр.64 в раб. тетради)
Приложение 2.
Задачи с практическим содержанием
Организует усвоение и фиксирование учениками нового понятия (значения) с проговариванием во внешней речи и знаках
Под руководством учителя выполняют задания в тетрадях. Фиксируют новое знание в речи. Уметь решать задачи на нахождение n-го члена геометрической прогрессии подставляя в формулу. Способность ставить цели по достижению уровня знаний Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других.
Регулятивные: уметь работать по коллективно составленному плану, проговаривать последовательность действий на уроке
7 Самостоятельная работа с проверкой по эталону
Цели:
1.Создать условия для выполнения учащимися самостоятельной работы на новое знание;
2. организовать выявление места и причины затруднений, работу над ошибками. Самостоятельная работа
№ 1,2,3 страница 62 из рабочей тетради, часть 2
(См. Приложение 3)
Организует выполнение учащимися самостоятельной работы на новое знание, выявление места и причины затруднений, работу над ошибками. Выполняют задания самостоятельно в тетради. Называют с помощью учителя место своего затруднения, причину, исправляют ошибки Уметь самостоятельно записывать и вычислять n-ный член геометрической прогрессии. Самоопределение и самооценка Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий на уроке, вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок.
Познавательные: уметь выделять существенную информацию из математического текста, использовать знаково-символические средства.
8 Рефлексия учебной деятельности
Цели:
1. Зафиксировать новое содержание урока;
2. организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности (Слайд 13)
-Подведем итог работы на уроке.
- Какую цель мы ставили на уроке?
-Назовите тему урока.
- Расскажите, чему вы научились?
- Что помогло нам сегодня на уроке?
- Где можно использовать изученную формулу?
- Оцените свою деятельность на уроке.
- д/з п.27; из ДМ СР № 28 №1-3 по вариантам
(Слайд 14)
«То, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы можете снова воспользоваться, когда в этом возникает необходимость»
Г. Лихтенберг
Организует фиксирование нового содержания, рефлексию, самооценку учебной деятельности Отвечают на вопросы учителя. По схеме рассказывают, что узнали, знают, что получилось.
Осуществляют самооценку.
Записывают домашнее задание. Знать формулу n-ного члена геометрической прогрессии. и уметь её применять Уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности. Регулятивные: уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Приложение 1
Легенда о шахматной доске
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, он приказал привести его, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
– Я желаю достойно наградить вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал – сказал царь.
Мудрец поклонился.
– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь. – Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.
Сета молчал.
– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи, свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на следующий день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
– Повелитель, – сказал Сета, – прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…
– Довольно, – с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя не достойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно. Вечером, отходя ко сну, царь ещё раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
– Повелитель, – ответили ему, – математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчет.
– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам, – я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, – ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…
– Как бы велико оно не было – надменно перебил царь, – житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана.
– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерён, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зёрен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.
С изумлением царь внимал словам старца.
– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье. (Слайд №3)
– 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 073 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о, повелитель!
Хотя детали описания задачи в разных источниках отличаются, суть остаётся неизменной. Когда создатель шахмат (по одним данным — древнеиндийский математик, по другим — легендарный Дравид Велалар по имени Сесса или HYPERLINK "https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%B0_%D0%B1%D0%B5%D0%BD_%D0%94%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%80" \o "Сисса бен Дахир" Сисса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии — риса), за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно. Правитель, чтобы взять реванш над пытавшимся его обхитрить изобретателем, велел последнему пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.
Количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008-09 аграрном году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества. Количество зёрен составляет примерно 0,0031% числа Авогадро. В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма (Troy grain [тройское зерно]: 1 gr = 0,06479891 g), тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1200 триллионов тонн или 1,2 квадриллионов тонн:
Приложение 2
Задачи на практическое применение геометрической прогрессии
Вероятно, первая ситуация, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией – подсчет численности стада, проведенный несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных ситуаций, количество новорожденных и умерших животных пропорционально числу всех животных. Значит, если за какой-то период времени количество овец у пастуха увеличилось с 10 голов до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастит вдвое и станет равным 40.
Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.
Еще один пример геометрической прогрессии – изменение массы радиоактивного вещества со временем. Известно, что за единицу времени такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества определяется величина T – время периода полураспада. Массы нераспавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”. Если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на 1,03. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 3%, т.е. вновь умножится на 1,03. За 20 лет сумма на сберкнижке увеличится в (1,03)20 ≈ 1,8 раза.
Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50% годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)10 ≈ 55,7 раза. Под такой процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.
В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.
Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.
Геометрические прогрессии удивляют своим чрезвычайно быстрым ростом.
В жизни с растущими геометрическими прогрессиями надо обращаться осторожно. Если в геометрической прогрессии растет количество животных в стаде – скоро ему не хватит пастбища. Если растет число распадов в куче плутония – дело идет к атомному взрыву. А если вам обещают большие доходы – лучше не связываться с этими “благодетелями”.
Задача из папируса Райнда«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
Другой знаменитой задачей на геометрическую прогрессию является задача, известная еще в Древнем Египте, появившаяся в русском фольклоре в следующем виде:
“Шли семь старцев,
У каждого старца
По семи костылей,
На каждом костыле
По семи сучков,
На каждом сучке
По семи кошелей,
В каждом кошеле
По семи пирогов,
А в каждом пироге
По семи воробьев.
Сколько всего?”
Приложение 3
Зная первые два члена геометрической прогрессии, найдите следующие за ним четыре члена.
а) 0,5; 0,25;…
б) 4;8; …
2. В геометрической прогрессии первый член равен 12, а знаменатель
равен 2. Найдите указанные члены прогрессии:
а) а3;
б) а6 3. Указаны два члена геометрической прогрессии. Впишите три
предшествующие и три последующие члена этой прогрессии:
…….., ………., ………., 8,32, ………, ……….., ……….. .
Список литература
Алгебра 9 класс. Учебник. /Макарычев Ю.Н. [и др.]. М.: Просвещение 2014г.
Дидактические материалы для 9 класса. Алгебра. /Макарычев Ю.Н. [и др.]. М.: Просвещение 2009.
Миндюк Н.Г. Рабочая тетрадь 2 часть. Алгебра 9 класс. / Н.Г. Миндюк, И.С. Шлыкова. - Москва. Просвещение. 2014.
«Задача о зёрнах на шахматной доске» - [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_зёрнах_на_шахматной_доске.
«Задачи с практическим содержанием на применение геометрической прогрессии» - [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://doc4web.ru/matematika/