Методические рекомендации по решению текстовых задач по математике при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Методические рекомендации
по решению текстовых задач по математике при подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Никонорова Л.А.,
учитель математики
МОУ Детчинская средняя общеобразовательная школа
Текстовые задачи – традиционно трудный материал для значительной части школьников на ГИА и ЕГЭ. Вместе с тем, задачи играют важную роль в организации учебно-воспитательного процесса. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Все математические задачи появились из практического соображения. Ещё в далёком прошлом одним из стимулов изучения математики была потребность зарождающегося строительства и, возникшей вслед за ним, архитектуры. С задачами (житейскими, производственными, научными и др.) человек встречается ежедневно. Научиться решать задачи, понимать их сущность, владеть общими методами поиска их решения чрезвычайно важно. И овладение умениями решать текстовые задачи является существенным фактором математического образования: они представляют собой мощное орудие формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. Во многом это связано с необходимостью четкого осознания различных соотношений между описываемыми в тексте задачи объектами.
Основы знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе. С помощью текстовой задачи формируются важные обще-учебные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи учащегося. В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений, неравенств, и систем уравнений и неравенств.
Актуальность выбранной темы определяется тем, что далеко не все ученики основной школы осваивают алгебраический метод решения текстовых задач даже на базовом уровне. Причин тому великое множество. Одни из них носят общий характер: устоявшийся страх перед задачей, отсутствие общих представлений о рассматриваемых в задачах процессах, неумение устанавливать, что дано в задаче, что надо найти, выявлять по тексту взаимосвязи рассматриваемых в задаче величин. Другие свидетельствуют о несформированности определенных умений и навыков: незнание этапов решения задачи, непонимание содержания и цели собственной деятельности на каждом из них, неумение решать уравнения или неравенства (или их системы) определенного вида, неумение производить отбор корней уравнения или решений неравенства в соответствии с условием задачи и т. д. Недостатки в овладении необходимыми приемами рассуждений, незнание общих методов решения задач не дают возможности многим школьникам успешно работать над конкретной задачей.
Остановимся на вопросе о  классификации   задач. Все  текстовые  математические задачи по числу действий, выполняемых для их  решения, делятся на: простые и составные. Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из главных понятий начального курса математики – понятие об арифметических действиях. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. Таким образом, для решения составной задачи, надо установить систему связей между данными и искомым, а затем выполнить арифметические действия.
Опыт показывает, что решая табличным методом, учащиеся видят как различные задачи, переводя на математический язык, становятся похожими. При правильном и последовательном выполнении всех этапов решение текстовой задачи становится чисто механической работой, для выполнения которой не нужно по сто раз перечитывать текст задачи, надеясь получить неожиданное творческое озарение. И выпускникам остается лишь отработать технику решения дробно рациональных уравнений. После этого они начинают спокойно «брать» и решать задачи любого типа.
Виды текстовых задач
В демоверсии КИМ по математике для ЕГЭ профильного уровня предложены две текстовые задачи 1 и 11. Результатом решения этих задач должно стать целое положительное число. Задания типа 1 проверяют умение выполнять арифметические действия, делать прикидку и оценку. Эти задания являются, действительно, очень простыми, что вводит учеников в заблуждение, и они начинают искать подвох.
Задания типа 11 можно разделить на основные группы задач по данной теме: задачи на движение; задачи на работу; задачи на проценты; задачи на смеси, сплавы и концентрацию.
Этапы решения задач
Процесс решения задачи можно разделить на следующие этапы:
Осмысление условия задачи (1 этап).
Моделирование ситуации, описанной в условии задачи. Итак, вы прочитали текст задачи. Не торопитесь сразу ее решать. Во-первых, запишите подробно условие. Нужно перевести все словесные данные на математический язык. При выборе неизвестных, необходимо, чтобы неизвестных было как можно меньше.
Составление плана решения задачи (2-й этап).
Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения. Если краткое условие записано грамотно и понятно, то составить уравнение очень легко, нужно только понять, что требуется. Результатом решения уравнения является нахождение неизвестной или нескольких неизвестных. Осуществление плана решения задачи (3-й этап).
План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:
1). Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершён правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.
2). Обратить внимание учащихся на необходимость выбора такого способа оформления решения, чтобы зафиксировать решение в краткой и ясной форме.
Изучение найденного решения задачи (4-й этап).
Заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи. Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения. Последнему этапу решения задачи - проверке и исследованию полученного решения присвоен особый статус этапа, на котором осуществляется самоконтроль. Некоторые ученики пишут, не думая, в ответ то число, которое они нашли в процессе решения уравнения, но это не всегда правильно. Иногда требуется провести дополнительные расчеты, чтобы получить именно то, о чем спрашивается в задаче.
В методике преподавания математике выделены различные формы самоконтроля, проводимые после завершения этапа реализации намеченного плана.
Вот примеры таких форм.
1. Проверка совпадения размерности ответа с требованием задачи. Например, при нахождении пути значение скорости (км/ч) умножается на значение времени (ч). Умножение наименований должно дать наименование длины (км).
2. Проверка ответа по здравому смыслу. Например, скорость пешехода не может быть равной 15 км/ч, количество рабочих не может быть дробным и т. д. (Предложить детям задать вопрос «Может ли такое быть?»)
3. Проверка с помощью грубой прикидки. При этом данные грубо округляются, и выясняется порядок возможного результата.
4. Проверка совпадения размерности ответа с требованием задачи. Например, при нахождении пути значение скорости (км/ч) умножается на значение времени (ч). Умножение наименований должно дать наименование длины (км).
План подготовки учащихся к решению текстовых задач.
Вводное занятие. Понятие текстовой задачи.
Типы текстовых задач. Алгоритм решения текстовых задач.
Понятие текстовой задачи, этапы решения текстовой задачи, наглядные образы как средство решения математических задач, рисунки, схемы, таблицы, чертежи при решении задач, арифметический и алгебраический способы решения текстовой задачи.
2. Задачи на проценты.
Понятие процента, вводные задачи на доли, задачи на дроби, задачи на пропорции, процентное отношение, нахождение числа по его процентам, типы задач на проценты, процентные вычисления в жизненных ситуациях:
( распродажа, тарифы, штрафы, банковские операции, голосования), примеры решения задач, процентные расчеты на ЕГЭ, процентные изменения, простой и сложный процентный рост, задачи, связанные с изменением цены, задачи о вкладах и займах, формула сложных процентов.
3. Задачи на смеси и сплавы.
Задачи на смеси и сплавы, основные допущения при решении задач на смеси и сплавы, задачи, связанные с понятием «концентрация», «процентное содержание», объёмная концентрация, исследовательская работа, процентное содержание, формула сложных процентов.
4. Задачи на работу.
Понятие работы, понятие производительности, алгоритм решения задач на работу, вычисление неизвестного времени работы; путь, пройденный движущимися телами, рассматривается как совместная работа; задачи на бассейн, заполняемый одновременно разными трубами; задачи, в которых требуется определить объём выполняемой работы; задачи, в которых требуется найти производительность труда, задачи, в которых требуется определить время, затраченное на выполнение предусмотренного объёма работы, система задач, подводящих к составной задач. В таких задачах обычно работу выполняют несколько человек или механизмов, работающих с постоянной для каждого из них производительностью. Правила решения задач на работу очень просты. Сначала желательно рассмотреть алгоритм решения задачи (например, при помощи таблицы). A p t, то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти t или p.При решении таких задач возможны два случая:
1) Объем выполненной работы известен, т.е. если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.2) Объем выполненной работы неизвестен, т.е. если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна).
5. Задачи на движение.
Движения навстречу друг другу; движение в одном направлении, движение в противоположных направлениях из одной точки; движение по реке, движение по кольцевым дорогам; средняя скорость, движение протяженных тел.
Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:
Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.
Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.
Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х + у), а против течения – (х – у).
При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь. При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.
В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо придорожного столба, идущего параллельно путям пешехода, лесополосы определенной длины, другого двигающегося поезда. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.
При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи.
Задача1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.
Решение: Зная скорость движения v = 60 км/ч и время, равное 30 секунд = 1/120ч, за которое он проезжает мимо столба, можно найти длину поезда как пройденное расстояние
s = 60 *1/120= 0,5 (км) = 500(м). Ответ:500м
Задача2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.
Решение: Зная скорость движения v = 90 км/ч и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 0,8 км за t = 1/60 ч, можно найти длину поезда как пройденное расстояние
s = 90 *1/60 = 1,5 (км) плюс длина лесополосы 0,8 км и получим длину поезда равную 2,3км или 2300м. Ответ: 2,3км.
Практические советы:
1. Записываем формулу-ключ: S = Vt.
2. Определяемся с иксом, расписываем через икс все данные. Особое внимание на величины, входящие в формулу-ключ: путь, скорость, время. Эти величины – основа решения задач на движение. Стараемся снять всю возможную информацию с задачи.
3. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения.
4. Записываем уравнение. Если никак не записывается, читаем задачу. Скорее всего,  вы использовали не все данные из задачи или не увидели в тексте подсказки. Она, подсказка, всегда есть.
5. Решаем уравнение. Проводим отбор корней.
Заключение
Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения. Редкие ученики могут сделать это самостоятельно. Надо помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Нельзя забывать, что "умение решать задачи есть искусство, приобретаемое практикой".При подготовке к ЕГЭ и ГИА выпускники решают задачи на движение, работу, производительность труда, процентный прирост, процентное содержание и др. Имея опыт решения текстовых задач не только с помощью составления уравнений, но и арифметическим способом, они выбирают наиболее рациональный способ решения задачи.
Подготовка к итоговой аттестации в современной школе – это комплекс учебных и воспитательных мероприятий, направленных на развитие творческих, интеллектуальных способностей учащихся, воли, трудолюбия, чувства долга и ответственности. Игнорирование одной из составляющих комплекса ведет к разрушению целостности учебного процесса, к потере интереса к учению, плохой успеваемости и деградированною личности. Итогом работы педагога должно стать не просто хорошо сданное ГИА и ЕГЭ, а воспитание творческой, жизнеспособной личности.
Библиографический список
М.К. Кузин Задачи как цель и средство обучения математике Журнал. «Математика в школе», №4, 1980г.
В.П. Рудченко Текстовые задачи и развитие продуктивного мышления учащихся Журнал. «Математика в школе», №4, 1993г.
А.В.Шевкин Текстовые задачи в школьном курсе математики» (5-9 классы). - М.: Педагогический университет “Первое сентября”. 2006.
Шевкин А.В.Текстовые задачи по математике.- М.:ИЛЕКСА,2011.
Ященко И.В.и др. Подготовка к ЕГЭ по математике.-М.:МЦНМО,2014.