Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Показательная функция, ее свойства и график Пример 1. Решить уравнение и неравенства:
Функция y=2x190504445Свойства функции y=2x1)Df=(-∞;+∞);
2) функция не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Ef=(0;+∞)8) выпукла вниз;
-27305323850Точно таким же свойством обладает любая функция вида y=ax, где a>1.
-28575192405Функция y=12xСвойства функции y=12x 1);
2) функция не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего и наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Ef=(0;+∞)8) выпукла вниз.
Рис.1
1882140214630 Точно таким же свойством обладает любая функция вида y=ax, где 0<a<1.
3746598425 а) 2x=1; б) 2x=4; в) 2x>1; г) 2x<4.
19145252540а) Построив в одной системе координат графики функций y=2x и y=1, замечаем, что они имеют общую точку (0;1).
Значит, уравнение 2x=1 имеет единственный корень x=0. Итак, из уравнения 2x=20: получили x=0. Аналогично б) замечаем x=2. Итак, из уравнения 2x=22: получили x=2.
в) график функции y=2x расположен выше графика функции y=1 при x>0 (см. рис.). Значит, решением неравенства 2x>1 служит промежуток (0;+∞)
г) график функции y=2x расположен ниже графика функции y=4 при x<2 (см. рис.). Значит, решением неравенства 2x>4 служит промежуток (-∞;2)
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Если a>1, то равенство at=as справедливо тогда и только тогда, когда t=s.
Теорема 2. Если a>1, то равенство ax>1 справедливо тогда и только тогда, когда x>0; неравенство ax<1 справедливо тогда и только тогда, когда x<0. (рис 1)
Пример 2. Решить уравнения и неравенства: а) 13x=1; б) 13x=3; в) 13x>1; г) 13x<38183880-175260а) Построив в одной системе координат графики функций y= 13x и y=1, замечаем, что они имеют общую точку (0;1). Значит, уравнение 13x=1 имеет единственный корень x=0. Итак, из уравнения 13x= 130: получили x=0. Аналогично б) замечаем, что графики пересекаются в точке (-1;3), x=-1. Итак, из уравнения 13x= 13-1: получили x=-1. в) график функции y= 13x расположен выше графика функции y=1 при x<0 (см. рис.). Значит, решением неравенства 13x>1 служит промежуток (-∞;0). г) график функции y= 13x расположен ниже графика функции y=3 при x>-1 (см. рис.). Значит, решением неравенства 13x<3 служит промежуток (-1;+∞) . Справедливы следующие теоремы: Теорема 3. Если 0<a<1, то равенство at=as справедливо тогда и только тогда, когда t=s.
Теорема 4. Если 0<a<1, то равенство ax>1 справедливо тогда и только тогда, когда x<0; неравенство ax<1 справедливо тогда и только тогда, когда x>0.
Показательные уравнения и неравенства
Опр: показательным уравнением называют уравнения вида af(x)=ag(x), где
а – положительное число, a≠1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Теорема 5. Показательное уравнение af(x)=ag(x) (где a>0, a≠1) равносильно уравнению fx=g(x). Пример 3. Решить уравнения: а) 22x-4=64; Представим 64 как 26, перепишем заданное уравнение в виде 22x-4=26. Это уравнение равносильно уравнению 2x-4=6, откуда находим: x=5.
б) 132x-3,5=13; Представив 13 как 1312, перепишем заданное уравнение в виде 132x-3,5=130,5, тогда 2x-3,5=0,5, откуда x=2.
Выделяют основные методы решения показательных уравнений.
Функционально-графический
Метод уравнивания показателей (пример 3).
Метод введения новой переменной (пример 4) Пример 4. Решить уравнение 4x+2x+1-24=0Заметив, 4x=(22)x=22x=(2x)2, а 2x+1=2∙2x, перепишем заданное уравнение 2x2+2∙2x-24=0. Введем новую переменную y=2x, тогда уравнение примет вид y2+2y-24=0.
Находим корни y1=4, y2=-6. Решаем два уравнения 2x=4; 2x=-6, из первого получаем x=2, второе уравнение не имеет корней. Ответ: 2.
Показательным неравенством называют неравенства вида af(x)>ag(x), где
а – положительное число, a≠1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Для решения неравенства af(x)>ag(x) разделим обе части неравенства на ag(x), получим неравенство af(x)agx>1. Далее имеем: afx-g(x)>1, т.е. at>1, где t=fx-g(x).Рассмотрим два случая:
Если a>1, то неравенство at>1 имеет место тогда и только тогда, когда t>0 (см. теорему 2). Значит, fx-gx<0, т.е. fx>g(x). Если 0<a<1, то неравенство at>1 имеет место тогда и только тогда, когда t<0 (см. теорему 4). Значит, fx-gx<0, т.е. fx<g(x).Теорема 6. Если a>1, то показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству того же смысла: fx>gx. Если 0<a<1, то показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: fx<gx.Пример 5. Решить неравенства:
а) 22x-4 > 64;
Это неравенство равносильно неравенству того же смысла
2x-4>6, откуда находим: x>5.
б) 132x-3,5<13; Представив 13 как 1312, перепишем заданное неравенство в виде 132x-3,5<130,5, Здесь основание 13<1. Значит неравенство равносильно неравенству противоположного смысла 2x-3,5>0,5, откуда x>2.
в) 0,5x2-3x≤0,53x-8Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла x2-3x≥3x-8. Найдем корни квадратного трехчлена x2-6x+8, x1=2, x2=4. Решаем неравенство методом интервалов. Находим: x≤2, x≥4.