Методическая разработка «Методы решения занимательных и олимпиадных задач»

Государственное казенное общеобразовательное учреждение Калужской области «Областной центр образования»








Методическая разработка

«Методы решения занимательных и олимпиадных задач»










Автор: Стоян Ирина Борисовна, учитель математики высшей категории, почетный работник общего образования РФ, педагогический стаж 30 лет


















г. Калуга, 2016





Содержание


1.Введение
стр. 3

2. Основная часть. Считаем страницы
2.1. Лист и страница
стр.3

2.2. Нумерация страниц
стр. 4

2.3. Инвариант «четность»
стр. 6


3. Заключение
стр.7


Библиографический список
стр. 7


1.Введение
Актуальность исследования. В сборниках математических задач на смекалку часто встречаются задачи о книгах, в которых требуется подсчитать количество страниц. При решении этих задач используются разные приемы: инвариант «четность», подсчет цифр, используемых для нумерации страниц, разница между понятиями «лист» и «страница» и т.д. Разные задачи могут приводить к одной и той же математической модели. Выбор удачной модели решения, как и выбор рационального способа решения, – уже половина решения.
При решении занимательных задач из различных математических сборников возникла гипотеза о существовании математической модели решения таких задач.
Объектом исследования являются занимательные и олимпиадные задачи по математике
Предметом исследования являются занимательные и олимпиадные задачи, связанные с подсчетом количества страниц в книге.
Цель работы: исследовать общие закономерности и приемы решения задач о подсчете страниц.
Задачи:
1. Рассмотреть и классифицировать задачи, связанные с подсчетом количества страниц в книге.
2. Выявить общие закономерности и приемы, встречающиеся при решении задач.
3. Сделать выводы о возможности и рациональности применения данных методов.
2.Основная часть. Считаем страницы
2.1. Лист и страница
Задача 1. Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?» «Семь» – отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» - опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» - отвечает тот. «Правильно» - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?
Решение. Всего нарисовано 12 кружков, 5 на одной стороне листка и 7 – на другой.
Задача 2. 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина книги, если в ней 240 страниц?
Решение. 1) 240:2=120 (листов)
2) 120:60=2 (см)
Ответ. 2 см.
Эти задачи связаны с двумя понятиями: «лист» и «страница». Несмотря на то, что каждый знает, что у листа две страницы и количество страниц всегда четно, правильный ответ дают не сразу. Ошибаются не только ученики, в пособии для внеклассной работе приведена следующая задача:
Задача 3. Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 328, а номер последней записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?
Приводим решение из пособия:
Поскольку страница должна иметь номер другой, нежели начальная, четности, то её номер 823. Ответ: 495 страниц.
Безусловно, автор решения ошибается, страниц должно быть четное количество. Так, в чем же ошибка?!
Мы считаем, что изначально некорректно назван в условии номер первой страницы, он чётен. Но возможно составитель задачи и задумал этот ход, назвав последнюю страницу куска книги первой. Тогда номер первой (или последней, если считать в обратном порядке) 283. Чтобы найти количество страниц, надо от номера последней вычесть номер первой и прибавить единицу: 328 - 283 + 1 = 46 (страниц).
Таким образом, автор решения ошибся дважды.
При написании работы мы нашли ещё одну «неправильную» задачу.
Задача 4. В книге 825 страниц. Сколько цифр потребовалось для нумерации всех её страниц?
2.2. Нумерация страниц
Задача 5. Для нумерации страниц книги понадобились 183 цифры. Сколько страниц в книге?
Решение. На первые 9 страниц понадобится 9 цифр, остается 174.
174 : 2 = 87. Значит, всего 9 + 87 = 96 страниц.
В этой задаче при делении остатка цифр на два получается число, меньшее ста, и решение простое. А если страниц больше, и для их нумерации понадобятся и трехзначные числа? Количество цифр, необходимых для нумерации страниц оформлены в виде следующей таблицы:
Количество цифр
Число страниц
Номера первой и последней страницы

9
9 страниц
1-9

180
90 страниц
10-99

2700
900 страниц
100-999

36000
9000 страниц
1000-9999


Результаты таблицы легко запомнить: количество цифр, необходимых для нумерации однозначных страниц 9, двузначных – 9х20, трехзначных – 9х300, четырехзначных 9х4000 и т.д.
Задача 6. Для нумерации страниц учебника потребовалось 414 цифр. Сколько страниц в учебнике?
Решение. Воспользуемся результатами таблицы. На первые 99 страниц понадобится 189 цифр, остается 414 – 189 =225 цифр.
225 : 3 = 75 (страниц).
И, наконец: 99 + 75 = 174 (страницы).
Задача 7. Для нумерации страниц словаря потребовалось 6869 цифр. Сколько страниц в словаре?
Решение. Воспользуемся результатами таблицы. На первые 999 страниц понадобится 2889 цифр, остается 6869– 2889 = 3980 цифр.
3980 : 4 = 995(страниц).
И, наконец: 999 + 995 = 1994 (страницы).
Задача 8. Окончив читать книгу, Вася подсчитал, что для нумерации всех её страниц потребовалось 301 цифра. Покажите, что он ошибся.
Решение. Для нумерации страниц, пронумерованных однозначными числами, потребуется 9 цифр, двузначными – 180. Оставшиеся 112 цифр должны делиться на 3, но 112 на 3 не делится.
Задача 9. Ученик решил пронумеровать свою тетрадь. Для этого он решил писать номера страниц только на одной стороне, ставя нечетные номера 1, 3, 5, 7 и т.д. Всего он написал 134 цифры. Сколько всего страниц в этой тетради? Сколько раз ученик написал цифру 8?
Решение. На запись однозначных чисел ушло 5 цифр: 1, 3, 5, 7,9. На запись двузначных – в 2 раза меньше, указанных в таблице: 90.
Остается : 134 – 95 = 39 (цифр), которые ушли на запись трехзначных цифр.
39:3=13. Первая страница 101, далее посчитаем по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, где C – число страниц, N1 и N2 – номера первой и последней страницы соответственно. N2 = С + N1 – 1, N2 = 13х2 + 101 – 1 = 126 (страниц).Цифру 8 он написал пять раз: 81, 83, 85, 87, 89.
Задача 10. Журнал состоит из 16 вложенных друг в друга двойных листов. На каком двойном листе сумма чисел, обозначающих номера страниц, будет наибольшей?
Решение. Подсчитаем количество страниц: 13 EMBED Equation.3 1415. Страницы на двойных листах расположены следующим образом:
1-й – 1,2,63,64;
2-й – 3,4,61,62;
.
16-й – 31,32,33,34.
Суммы чисел, равностоящих от концов, одинаковы и равны 65. Следовательно, сумма чисел, обозначающих номера страниц, на каждом двойном листе 65+65=130.
2.3. Инвариант «четность»
При решении олимпиадных и нестандартных задач применяется метод инварианта.
Основным методом решения является нахождение такого свойства исходного объекта, которое не меняется при выполнении действий, указанных в задаче. Такое свойство называется инвариантом. В качестве инварианта часто рассматриваются четность.
Задача 11. Мальчик говорит своему приятелю: «Я посчитал, что для перенумерования всех страниц вот этой маленькой книги, начиная с первой страницы её, потребовалось ровно 100 цифр». Не сможете ли вы, не видя самой книги, проверить, правильно ли подсчитал мальчик число цифр?
Решение. На первые девять страниц книги потребуется девять цифр: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. На каждую следующую страницу потребуется две цифры. Следовательно, на все оставшиеся страницы, начиная с десятой, потребуется четное число цифр. Сложенное с девятью, это число даст нечетную сумму, то есть число, не равное 100.
Ответ. Подсчет неверен.
Задача 12 Петя купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990? 
Решение. На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна. 1990 – число четное.
Ответ. Не могло.
Таким образом, инвариантом для решения рассматриваемых задач могут являться и четность страниц, и четность цифр, используемых для их нумерации.
3. Заключение
В работе рассмотрены задачи трех типов:
1. Задачи, в которых подсчет страниц осуществляется по номеру первой и последней страницы. Метод решения – формула 13 EMBED Equation.3 1415, где C – число страниц, N1 и N2 – номера первой и последней страницы соответственно.
2. Задачи, в которых подсчет страниц осуществляется по количеству цифр, используемых для их нумерации. Для решения задач удобно воспользоваться результатами таблицы: количество цифр, необходимых для нумерации однозначных страниц 9, двузначных – 9х20, трехзначных – 9х300, четырехзначных 9х4000 и т.д.
3. Задачи, для решения которых используется инвариант «четность».
Возможные инварианты: четность страниц, четность цифр, используемых для их нумерации, четность цифр на листе.
Библиографический список
1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.-272 с.
2. Шатилова А.С., Шмидтова Л.М. Занимательная математика. КВНы, викторины. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 128 с.: ил.
3. Фарков А.В. Математические олимпиады: методическое пособие / А.В. Фарков. – М.: Гуманитар. Изд. Центр ВЛАДОС, 2004. -143с. – (Библиотека учителя математики).
4. Мазаник А.А. Реши сам. – 2-е изд., перераб. – Мн.: Нар. Асвета, 1980. – 239 с.,ил.
5. Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. – М., Просвещение, 1980. – 79 с.
6. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 192 с.: ил.
 Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.-272 с., стр.9
 Шатилова А.С., Шмидтова Л.М. Занимательная математика. КВНы, викторины. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 128 с.: ил., стр.32
 Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.-272 с., стр.8

Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. – М., Просвещение, 1980. – 79 с., стр.16
 Фарков А.В. Математические олимпиады: методическое пособие / А.В. Фарков. – М.: Гуманитар. Изд. Центр ВЛАДОС, 2004. -143с. – (Библиотека учителя математики), стр.32
 Мазаник А.А. Реши сам. – 2-е изд., перераб. – Мн.: Нар. Асвета, 1980. – 239 с.,ил., стр.34
 Мазаник А.А. Реши сам. – 2-е изд., перераб. – Мн.: Нар. Асвета, 1980. – 239 с.,ил, стр.34
 Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 192 с.: ил., стр.36
 Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. – М., Просвещение, 1980. – 79 с., стр.37
Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 192 с.: ил., стр.15
 Германович П.Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. Пособие для учителя. – М.: Учпедгиз, 1960, стр.20
 Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994.-272 с., стр.14









13PAGE 15


13PAGE 14815