Лекция по математике на тему Параллельные прямые в пространстве

Лекция по теме «Параллельные прямые в пространстве»
Введём определение параллельных прямых в пространстве:
- Две прямые в пространстве называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и
и не пересекаются

Рисунок параллельных прямых на плоскости
ab
Текст
Две прямые в пространстве называются параллельными, если
1) они лежат в одной плоскости и
2) не пересекаются
Обозначение: a||b
Обозначаются параллельные прямые также как и в планиметрииРассмотрим куб.
Прямые АА1 и СС1 параллельны. Согласно определению, они лежат в одной плоскости АА1С и не пересекаются.
Рисунок куба с обозначенными вершинами
DCABD1C1A1B1
Прямые АА1 и СС1 выделятся на рисунке цветом.
Прямые АВ и ВВ1 не параллельны, так как хоть они лежат в одной плоскости, но пересекаются в точке В.
Рисунок куба
DCABD1C1A1B1
Прямые АВ и ВВ1 выделятся на рисунке цветом.
Прямые АВ и СС1 не пересекаются и не лежат в одной плоскости, значит, не параллельны. Рисунок куба
DCABD1C1A1B1
Прямые АВ и СС1выделятся на рисунке цветом.
Вспомним из курса планиметрии аксиому параллельных прямых: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». Рисунок прямой а и точки А, не лежащей на ней. В ходе чтения аксиомы появляется прямая b.
Ааb
Аа, Аb, a||b, b – единственная
Аксиома поможет доказать теорему параллельных прямых.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Текст
Теорема параллельных прямых
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Докажем эту теорему.
Рассмотрим прямую а и точку М, которая не лежит на этой прямой. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна. Через точку М проведем прямую b, параллельную прямой а. Прямая b из условия параллельности лежит в одной плоскости с прямой а. Единственность этой прямой следует из аксиомы параллельных прямых из курса планиметрии. Прямая, параллельная данной существует и она единственная.
Теорема доказана. К предыдущему кадру добавить рисунок плоскости, на ней прямой а и точки М. В ходе чтения доказательства теоремы появляется прямая b.
Мab
Текст:
Доказательство:
а и Ма,
По следствию из аксиом через а и М проходит– единственная.
М b, b||a по опр. параллельных пр. пространства b.
Тогда по опр. параллельных прямых на плоскости b – единственная
Для решения задач потребуется определение параллельных отрезков.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Рисунок параллельных прямых, на которых отмечены отрезки АВ и CD
abАВСD
Текст
Определение
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
АВ || СD
Отрезки АВ и СD параллельны
Задача
Параллельные прямые a и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая c, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости .
Решение.
Так как прямая а лежит в плоскости альфа и прямая с пересекает прямую а, то точка их пересечения лежит в плоскости альфа.
Аналогично точка пересечения b и с лежи в плоскости альфа.
И по аксиоме А2 (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в это плоскости) следует что прямая с лежит в плоскости альфа
Задача
Текст
Дано: а, b , a||b, ca, cb.
Доказать что с.
Картинка

Текст
Доказательство:
a||b
а, ca=P P,
b , cb=M M
P, M, Pc Mc, то (по А2)с