Лекция по математике на тему Перпендикулярные прямые в пространстве

Лекция по теме «Перпендикулярные прямые в пространстве»
Две прямые, лежащие в одной плоскости образуют четыре неразвёрнутых угла
острый угол α называется углом между пересекающимися прямыми a и b На экране изображение с постепенным появлением отметок углов и обозначением

На фоне рисунка появляется надпись
a^b=α, где 0° <α≤90°
Рассмотри известную нам фигуру параллелепипед
Все его грани являются прямоугольниками, что доказывает что угол между прямыми АА1 и АВ равен 90 градусов.
Такие прямые в пространстве называются перпендикулярными или взаимно перпендикулярными. На экране изображение

На экране выделяются прямые АА1 и АВ
На экране определение:
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90°.
Таким образом, на данном рисунке DD1 и D1C1 взаимно перпендикулярные прямые.
Перпендикулярность прямых DD1 и D1C1 обозначается так. На экране изображение

На экране изображение
DD1 D1C1
Рассмотрим модель куба. Известно, что его грани это квадраты, следовательно, прямые AA1 , АD перпендикулярные прямые.
Справедливы и другие утверждения:
Прямая DD1 перпендикулярна прямой АD.
Прямая АА1 параллельна прямой DD1.
Совсем не случайно каждая из двух параллельных прямых оказалась перпендикулярна прямой АD. На экране изображение (желательно анимировать проговариваемые прямые одновременно):
AA1⊥АD
На экране обновляется изображение с анимацией.
DD1⊥АD
AA1 ∥ DD1
Данная конфигурация рисунка соответствуют известной в геометрии лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Докажем её.
Рассмотрим параллельные прямые а и b перпендикулярные прямые а и c.
Докажем, что прямая b перпендикулярна прямой с.
Для доказательства через произвольную точку пространства проведем прямые МА и МС, такие, что прямая МА параллельна прямой а и прямая МС параллельна прямой с.
Так как прямые а и с перпендикулярны, то угол АМС равен 90 градусов.
Так как прямая b параллельна прямой а по условию, а прямая а параллельна прямой МА по построению, следовательно, прямая b параллельна прямой МА.
Итак, прямая b параллельна прямой МА, а прямая с параллельна прямой МС. Прямые МА и МС взаимно перпендикулярные прямые, следовательно, прямая b перпендикулярна прямой с. Лемма доказана.
На экране текст:
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
На экране изображение и текст:
Дано: а∥b, a⊥c .
На экране соответствующие тексту автора изменения
Дано: а∥b, a⊥c .
Доказать: b⊥cНа экране последовательные изменения соответственно тексту : Доказательство:
Проведём точку М,
Мa, Мb.
Проведём МА,
МА ∥ a .
Проведём МС,
МС ∥ b .
На экране соответствующие изменения изображения и текста
т.к. a⊥c, то ∠ АМС=90°.
На экране соответствующие изменения изображения и текста
b∥a a∥МАb∥МАНа экране соответствующие изменения изображения и текста
b∥МА с∥МС∠АМС=90°b⊥cДоказанная лемма упрощает решение задач и доказательство теорем. Рассмотрим один из примеров. В тетраэдре МАВС ребра МА и ВС перпендикулярны, Р - точка ребра АВ, причём АР относится к АВ как 2 к 3. Q-точка ребра АС, причём АQ относиться к QC, как 2 к 1.
Доказать, что прямая АМ перпендикулярна прямой PQ.
Для доказательства рассмотрим два треугольника APQ и АВС с общим углом А.
Так как Точка Q делит сторону АC в отношении 2 к 1, то сторона АQ треугольника АРQ составляет 23 стороны АС треугольника АВС. Таким образом в треугольниках АРQ и АВС сторона АР относиться стороне АВ как 2 к 3, сторона АQ относиться к стороне АС как 2 к 3 и угол А у них общий, значит треугольник APQ подобен треугольнику АВС .Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов APQ и АВС, АQР и АСВ, это доказывает параллельность прямых РQ и ВС.
Итак прямая АМ перпендикулярна прямой ВС, а прямая PQ параллельна прямой ВС, тогда согласно доказанной лемме АМ перпендикулярна прямой PQ. На экране изображение и текст
Дано: МАВС-тетраэдр, АМ⊥ВСР∈АВ, Q∈АС, АР:АВ=2:3, АQ:QC=2:1
На экране изменяется изображение и текст с выделением прямых Дано: МАВС-тетраэдр,
Р∈АВ, Q∈АС, АР:РВ=2:3, АQ:QC=2:3
Доказать: АМ⊥ВСPQНа экране обновляется рисунок и текст под слова автора.
Доказательство:
так как АQ:QС=2:1, то АQ:АС=2:3
АQАС=23АРАВ=23∠А-общий∆АРQ∼∆АВС.
так как ∆АРQ∼∆АВС, то
∠ АРQ = ∠ А ВС, ∠ АQР = ∠ АСВ, значит по признаку параллельных прямых РQ ∥ВС.

АМ⊥ВСВС∥РQпо леммеАМ⊥РQ