Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем, содержащих тригонометрические функции, как средство формирования универсальных учебных действий на уроках математики в процессе подготовки учащихся к ЕГЭ (профильный уровень)
Киселева М.В., учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №17»
Цель: расширения спектра методов решения задач, способствующих углублению знаний, подготовки к ЕГЭ, а также интеллектуальному развитию учеников.
Задачи по формированию УУД
Познавательных:
Создание ситуации для формирования умения сравнивать и анализировать факты, осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задачи, осуществлять перенос знаний в новые условия.
Регулятивных:
Создание ситуации для оценки – выделения и осознания учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознания качества и уровня усвоения, на основе этого постановка учебной задачи, а также осуществление контроля в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном и коррекция своих действий (если возникла необходимость).
Коммуникативных:
Организация фронтальной и индивидуальной работы для формирования умения с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, проявлять инициативное сотрудничество в поиске информации, участвовать в коллективном обсуждении проблем, отстаивать свою точку зрения.
Для более эффективной организации повторения методов решения тригонометрических уравнений можно совместить эту работу с решением иррациональных уравнений и уравнений с модулем. Когда? В конце 10 класса во время итогового повторения на уроках; на факультативах, элективных курсах, во время индивидуальных занятий, в 11 классе в течение всего учебного года опять же на факультативах и индивидуальных занятиях, включать уравнения в домашние задания.
Методом решения иррационального уравнения типа fx=gx является равносильный переход к системе g(x)≥0fx=g2(x)
Уравнение Ответ Комментарии
cos2x=1+2sinx x=πn Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла
2sinx=5cosx-1 x=π3+2πn 5cosx-cos2x=-2sinx x=-π3+2πk 7-cosx-6cos2x=4sinx x=2πk;
x=π-arccos34+2πk Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла, запись ответа содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями
5-2sinx+3cos2x=23cosx x=-π2+2πn;
x=-arcsin23+2πk 8-17sinx+2cosx=0 x=π-arcsin14+2πk Прежде всего надо «уединить радикал»
1-3sinx+10cosx=0 x=-2π3+2πk 7sinx-cos2x+2cosx=0 x=5π6+2πk, где k∈Z10cosx-4cosx-cos2x=0 x=±π3+2πk 6-sinx-7cos2x+sinx=0 x=-1n+1arcsin13+πk 13-18tg x=6tg x-3 x=arctg23+πk Уравнение сводится к квадратному. Ответ содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями. Неравенство более сложное.
3-4sinx=2sinx-1 x=-1narcsin58+πk sin2x-2cos2x=2sinx x=π4+2πk;
x=π2+2πk Применяется вынесение за скобку общего множителя решение однородного уравнения 1-ой степени.
4cos2x-2sin2x=2cosx x=2πk;
x=-π4+2πk 4cosx+3sin2x-2cosx=1 x=π4+2πk;
x=arctg5+πk В результате преобразований получается однородное тригонометрическое уравнение 2-ой степени.
3sinx-2sin2x-sin2x+3cos2x=0 x=π4+2πk;
x=π-arctg3+2πk 2sin3x+2=4sin3x+3 Затрудняет решение сложный аргумент, в одном из уравнений надо применить формулу суммы косинусов.
9+10sin2x=32-sin2x x=-1n+1π12+πn2 cosx+cos3x=-2cosx x=±2π3+2πk;
x=π2+πk 1-2sin4x+6cos2x=0 x=π2+12arctg5+πk;
x=3π8+πk sinx+3cosx=2+cos2x+3sin2x x∈-π3+2πk; 2π3+2πk,
n∈Z При решении неравенства используется метод введения вспомогательного угла, может возникнуть трудность при проверке корней
72-3sin2x=sinx+cosx x=π4+2πk;
x=π-arctg5+2πk 61-tg2x=4sinx x=π6+2πk;
x=5π6+2πk Применив условие равенства дроби нулю, тождество tgx=sinxcosx и основное тригонометрическое тождество уравнение сводится к квадратному.
1+sin2xcosx=cos2x x=πk 34cos2x+1=2cos2x+2 x=±π6+πk Уравнения содержащие радикалы третьей степени, решают возведением в куб обеих частей уравнения, применяя при этом формулы куба суммы и разности в таком виде:
a+b3=a3+b3+3aba+b
a-b3=a3-b3-3aba-b
Уравнение Ответ
3sin2x+3cos2x=34 x=π4+2πk
32-tg x+37+tg x=3 x=-arctg6+πk;
x=π4+πk
3sin2x-3cos2x=32cos2x x=π4+πk2
Уравнения, содержащие два и более квадратных корня.
Уравнение Ответ Комментарии
cos2x+12+sin2x+12=2 x=π4+πk2, n∈ZТак как выражения под знаком квадратного корня положительные, после преобразований (возведение в квадрат дважды) уравнение сводится к квадратному.
4cos2x+1+4sin2x+3=4 x=±π6+πk Первый шаг при решении следующих уравнений заключается в ведении новой переменной.
Уравнение Ответ Комментарии
cosx+32-cos2x-cosx32-cos2x=1 x=π4+πk2;
x=2πk cosx+32-cos2x=t
sinx+2-sin2x+sinx2-sin2x=3 x=π2+2πk sinx+2-sin2x=t
Применить условие равенства произведения нулю требуется при решении следующих уравнений.
sinxcosx∙1tg2x+1=0
4sin2x+16sinx+7∙log15cosx=0
3cos2x+2cosx∙1-2sinx=0
25-4x2∙3sin2πx+8sinπx=0
tg19π3-tg x∙6cos15π4∙cosx2-cosx-3=0
Уравнения, в которых применяется тождество a2=aУравнение Ответ Комментарии
cosx+sin2x-2sin2x+4cos2x=0 x=5π4+2πk;
x=π+arctg3+2πk sin2x-2sin2x+4cos2x=
=sin2x-4sinxcosx+2cosx2=
=sinx-2cosx2=
=sinx-2cosx
1+tgx+19ctgx=1cos2x-1 x=-arctg16+πk;
x=-arctg13+πk 1cos2x-1=tg2x=tgx
Раскрываем модуль по определению. Для проверки корней можно использовать единичную окружность.
Уравнение Ответ Комментарий
sinxsinx=1-cos2x x=π4+2πk
x=3π4+2πk После раскрытия модуля получаем простейшее тригонометрическое уравнение
cosx=cosx-2sinx x=2πk
x=-3π4+2πk После раскрытия модуля получаем однородное уравнение первой степени
sinx=sinx+2cosx x=π2+2πk
x=-π4+2πk cosx=sinx x=π4+2πk
x=-π4+2πk 3sinx=cosx x=π6+2πk
x=5π6+2πk 2cos2x=cosx x=π2+πk
x=π3+πk
x=-π3+πk После раскрытия модуля при решении уравнения используем разложение на множители
cosx=cosx∙x+1,52 x=-0,5
x=π2+πk ctgx=ctgx+1sinx x=2π3+2πk После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю
3tgx=3sinx x=πk sinx=tgxsinx x=πk
x=-π4+2πk
x=π4+2πk После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю, вынесение за скобку общего множителя и решим однородное тригонометрическое уравнение первой степени
x+3sinx=x+3 x=π2+2πk, k≥0
x=-3
x=-π2+2πk, k≤-1 При решении придется сравнивать корни тригонометрического уравнения с числом (-3)
5sin4x∙cosxsin4x=cos2x+3 x=-π3+2πk
x=-2π3+2πk После раскрытия модуля уравнение сводится к квадратному, усложняет решение аргумент 4xsin2x-3cos2x=1 x=±π4+πk Применяется метод вспомогательного угла
2sinx-1+2sinxtgx=tgx x=-1k∙π6+πk
x=±3π4+2πk Для разложения на множители применяется группировка, усложняет решение проверка условия sinx≥12, sinx<12 cosx≥12, cosx<12
2cosx-1=2sin2x-2sinx cos3x+cosx=sin2x x=π2+πk
x=π6+πk
x=π+2πk Применив формулу суммы (разности) косинусов и формулу синуса двойного угла, разложить на множители, далее уравнение сводится к квадратному.
sin3x+sinx=sin2x x=-2π3+2πk
x=π2+2πk
x=πk 1sin2x+2ctgx-4=0 x=π4+πk2 В результате преобразований получаем однородное тригонометрическое уравнение второй степени
Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе
fx=g(x)
g(x)≥0f2x=g2(x)
Уравнение Ответ
sinx-cosx=1-sin2x x=π42
x=π4+πk
sinx-cosx=23cos2x x=π4+πk
x=π12+πk
5sinx+2cosx=-3cosx x=3π3+2πk
x=arctg15+π+2πk
sinx+cosx=2cos2x x=π12+πk
x=-π12+πk
Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе
fx=g(x)
g(x)≥0fx=g(x)fx=-g(x)
Уравнение Ответ Комментарий
2sin2x=cos4x x=±12arccos17-14+πk
x=π4+πk2
x=±π6+πk, k∈Z 2sin2x≥0 для всех xcos2x+3sin2x=22sinx x=-1k∙π4+πk, k∈Z
x=-1k+1∙π4+πk, k∈Z cos2x+3sin2x≥0 для всех xЛитература
Подготовка к единому государственному экзамену: математика. Методические материалы. Вологда 2009.
Задачник-практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия: для поступающих в вузы. /В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, М. 2005г.
3000 конкурсных задач по математике 2-е издание, М. 1998г.
Математика. ЕГЭ – 2008. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион, 2007г.