Решение иррациональных уравнений и неравенств

Решение иррациональных уравнений и неравенств.
Иррациональные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. В современных контрольно – измерительных материалах ЕГЭ по математике явно или неявно они присутствуют. Простейшие иррациональные уравнения встречались учащимися в 8 – м классе, а более сложные рассматриваются, как правило, только в 11 – м. Поэтому часто возникают иллюзии, что этот материал повторять к экзамену не нужно. При всей простоте решения школьных иррациональных уравнений, ошибок всегда много. Упомянем основные. Возведя в квадрат обе части уравнения, выпускники не считают нужным (или забывают) сделать проверку. Очень часто, записав необходимые условия и отдав тем самым дань форме записи решения иррационального уравнения, одиннадцатиклассники никак не связывают эти условия с найденными значениями переменной. Мало рассматривается уравнений типа f(х) + gх = h (х). Ещё одно заблуждение заключается в очевидности решения уравнений типа 3f(х) = g (х) или 3f(х) + 3g(х) = с, которые либо не рассматриваются вообще, либо решается одно – два уравнения. Но при возведении в степень нужно применять формулы сокращённого умножения, а для многих выпускников куб суммы и куб разности – это давно забытое прошлое.
Иррациональные уравнения.
Простейшее иррациональное уравнение имеет вид: f(х) = g (х). Методы решения иррациональных уравнений основаны, как правило, на возможности перехода от иррационального уравнения к рациональному, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием. Поэтому есть два способа решения иррациональных уравнений: а) переход к рациональному уравнению – следствию с последующей проверкой корней; б) переход к равносильной системе. Краткие теоретические сведения. Уравнение f(х) = g (х) равносильно системе: fх ≥0,gх ≥0,fх=g2х. В системе есть избыточное условие: из уравнения следует выполнение первого неравенства. Избыток не является ошибкой. Так лучше запоминается: арифметический квадратный корень определён для неотрицательного числа; арифметический квадратный корень принимает неотрицательные значения; корнем из неотрицательного числа является такое неотрицательное число, квадрат которого равен числу, записанному под корнем. Другое решение часто называют «методом равносильности». Уравнение f(х) = g (х) равносильно системе: gх≥0,fх=g2х. Примеры с решениями. 1. Решить уравнение х²-8 = - 2х. Решение. Уравнение равносильно системе: - 2х ≥0;х²-8= -2х; х²+2х-8=0х ≤0. Корни квадратного уравнения: - 4; 2. Корень иррационального уравнения: - 4. Ответ: - 4. 2. Найти сумму корней уравнения: 3х²-3х+21 = 5 – х.
Решение. Уравнение равносильно системе: 5-х ≥0,3х²-3х+21=5-х2. 2х²+7х-4=0,х ≤5,х= -4х=0,5х ≤5, х= -4,х=0,5. Корни иррационального уравнения: - 4; 0,5. Их сумма равна – 3,5. 3. Найти сумму корней уравнения ( х + 2) х²-х-20 = 6х + 12. Решение. Перепишем уравнение в виде:(х + 2)(х²-х-20 - 6) = 0. Найдём ОДЗ переменной: х² - х – 20 ≥ 0, х є ( - ∞; - 4] U [ 5; + ∞). Так как произведение равно 0, получим: х + 2 = 0 или х²-х-20 = 6, то есть х = - 2 или х² - х – 20 = 36. Решив данные уравнения, получим корни: х =2, х = 8. х = -7. Значение х = - 2 не входит в область ОДЗ уравнения, следовательно корни иррационального уравнения: 8; - 7. Их сумма равна 1. 4. Найти сумму корней уравнения: 2х+6 - х+1 = 2. Решение. Перепишем уравнение в виде: 2х+6 = 2 + х+1, возведём в квадрат обе части уравнения и получим: 2х + 6 = 4 + 4х+1+ х + 1, х + 1 = 4х+1, (х + 1)² = (4х+1)²; х² + 2х + 1 = 16х + 16, решив данное уравнение получим корни: - 1; 15. Так как при возведении в квадрат мы получили уравнение – следствие, то необходимо сделать проверку. При х = - 1 и при х = 15 исходное уравнение обращается в верное равенство, поэтому оба числа являются корнями уравнения. Сумма корней равна – 1 + 15 = 14. 5. Решить уравнение: 2х-3 + х-6 = 3. Решение: Данное уравнение можно решить аналогично предыдущему – при помощи возведения в квадрат и последующей проверке; покажем другой способ решения этого уравнения. Найдём ОДЗ переменной, решив систему 2х-3 ≥0,х-6 ≥0;х ≥ 6. Функция у = 2х-3 + х-6 является возрастающей на промежутке [6; + ∞), поэтому данное уравнение имеет только один корень (теорема о корне). Легко видеть, что при х = 6 получается верное числовое равенство, значит, 6 единственный корень исходного уравнения. Ответ: 6. 6. Найти корни уравнения: 2х+1х-1 - 2х-12х+1 = 1. Решение. Пусть 2х+1х-1 = у ( по определению арифметического квадратного корня у ≥ 0). Получим уравнение у - 2у = 1. Корнями этого уравнения являются числа 2 и – 1, из которых удовлетворяет условию у ≥ 0 только число 2. Получим: 2х+1х-1 = 2, 2х+1х-1 = 4, откуда х = 2,5. Ответ: 2,5. 7. Решить уравнение: 35+х - 235-х = 625-х². Решение. Найдём ОДЗ переменной: 25 - х² ≥ 0, это промежуток – 5 ≤ х ≤ 5. Разделим обе части уравнения на 35-х. ( Легко проверить. Что х = 5 не является корнем уравнения). Тогда получим уравнение 35+х5-х - 2 = 65+х5-х ; Пусть 65+х5-х = t, t ≥ 0, имеем уравнение t² - t – 2 = 0, откуда t = 2 или t = - 1. Условию t ≥ 0 удовлетворяет число 2. Получим: 65+х5-х = 2, 5+х5-х = 64, х = 6313. Ответ: 6313. 8. Решить уравнение 32-х = 1 - х-1. Решение. Пусть 32-х = а, х-1 = в, в ≥ 0. Имеем уравнение: а = 1 – в. Так как 32-х = а и х-1 = в, то 2 – х = а³ и х – 1 = в². Сложив два последних уравнения, получим: а² + в² = 1. Таким образом получаем систему уравнений а+в=1а³+в²=1. в=1-аа³+1-а2=1. Решив первое уравнение системы, получим а = 0, а = 1, а = - 2. Тогда а=1в=0 или а=0в=1 или а= -2в=3. Откуда 2-х=1х-1=0, или 2-х= -8х-1=9 или 2-х=0х-1=1, Решив системы уравнений, найдём: х = 1, х = 10, х = 2. Ответ: 1; 10; 2. 9. Решить уравнениех+2+2х+1 + х+2-2х+1 = 2. Решение. Можно подметить, что х+2+2х+1 = ( х+1 + 1)², х+2-2х+1 = ( х+1 - 1)², следовательно, имеем уравнение : ( х+1 + 1)², + ( х+1 - 1)² = 2, х+1 + 1 + х+1 - 1 = 2. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: х+1 – 1 ≥02х+1=2 или х+1 – 1 <0х+1 + 1+1- х+1 = 2. Решением первой системы будет 0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству - 1 ≤ х ≤ 0. Ответ: - 1;0. Тренировочные упражнения. Базовый уровень 1. Найдите корни уравнения х²-5х+1 = х-4. Решите уравнения (2 – 8). Если оно имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму корней уравнения. 2. 4х²+5х-2 = 2. 3. 3х²+14х-16 = - 4. 4. - х²+4х+1 = 1 – х. 5. 12-х = - х. 6. (х + 1)х²+х-2 = 2х + 2. 7. х+5 - х = 1. 8. 3+ 5-х = х. Повышенный уровень. Решите уравнение (9 – 13). Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответе запишите наименьший корень уравнения. 9. 3х-2 + 2х+5 = 5. 10. - 43-2х + 6 = 3-2х. 11. х 5х - 5х³ = 2. 12. х² - 4х + 6 = х²-8х+12. Тренировочный тест №1. 1. Решите уравнение х - 6х = 1. 2. Решите уравнение 2х²-х-20 = - х. 3. Решите уравнение 22-2х = х + 1. 4. Решите уравнение 2х-1 = х²-36. 5. Решите уравнение 22-х = х+6х+4 . 6. Найдите произведение корней уравнения (х + 1)х²-6х+17 = 3х + 3. 7. Найдите корни уравнения 2х-1 + х+3 = 2. 8. Решите уравнение х-1 · 2х+6 = х + 3. 9. Найдите произведение корней уравнения х²+32 - 24х²+32 = 3. 10. Найдите наименьший корень уравнения 3х² + 15х + 2х²+5х+1 = 2. 11. Найдите сумму корней уравнения 40 – 14х + х² = 2(х – 4)х 12. Решите уравнение х(3х + 4) + 4х3х+4х + 4 = 0. Ответы: 1) 9; 2) – 4; 3) 3; 4) – 7; 5) – 2; 6) – 8; 7) 1; 8) 5; 9) – 49; 10) – 5; 11) 28; 12) – 2. Тренировочный тест №2. Ответом на задания 1 – 11 должно быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. 1. Решите уравнение 6-х = х. 2. Решите уравнение х = 1 + 7-х . 3. Решите уравнение 1 + 1+хх²-24 = х. 4. Решите уравнение 3х+1 = х-1 + 2. 5.Решите уравнение 3х+7 – х+1 =2. 6. Решите уравнение 4-2х – 2х-3 = 1. 7. Решите уравнение 4х-5 + х-5 = 30. 8. Решите уравнение х² + х²+20 = 22. 9. Решите уравнение 3х+10 - 23х+3 = 0. 10. Решите уравнение 35х+7 - 35х-12 = 1. 11. Решите уравнение 3х-2 + 3х+3 = 32х+1. Ответы: 1)2; 2) 3; 3) 7; 4) 1; 5; 5) -1; 3; 6) 1,5; 7) 630; 8) – 4; 4. 9) – 2; 10) – 3; 4. 11) – 3; - 0,5; 2. Итоговый тест. 1. Найдите произведение корней уравнения х²-5х+36 = 6. 2. Найдите отрицательные корни уравнения 83-2х² = 1. 3. Решите уравнение х-3 = 5 – х. 4. Найдите корни уравнения ³х - 3 = 26х . 5. Решить уравнение 2х + х-3 = 5. 6. Найдите наибольший корень уравнения х² + 4 = 5х²-2 . 7. Найдите корни уравнения 1-2х = х²+х-3. 8. Решите уравнение 11х-2 + 3х = 6. 9. Найдите сумму корней уравнения х-2 + 4-х = 6-х . 10. Решите уравнение х²-4х+5 + х²-4х+13 = - х² + 4х. 11. Решите уравнение 3х-7 = 2 - 3х+1. 12. Найдите наименьший положительный корень уравнения х²-6х+9 + х = 4х²-12х+9. Ответы: 1) 0. 2) – 1. 3) 4. 4) 729. 5) 4. 6) 11. 7) – 4. 8) 1. 9) 6,4. 10) 2. 11) 7. 12) 0.
Иррациональные неравенства. Решение иррациональных неравенств не входит стандарт среднего (полного) общего образования по математике базового уровня, для профильного уровня эта тема также не является обязательной. Тем не менее желательно, чтобы выпускники имели представление о решении иррациональных неравенств. Поэтому им следует показать решение и «через систему неравенств», и применение методов интервалов. Краткие теоретические сведения. Неравенство 2кf(х) ≥ g (х) равносильно совокупности двух систем: gх <0,fх≥0 или gх ≥0,fх>(g(х))2к Неравенство 2кf(х) <g(х) равносильно системе неравенств gх >0,fх<(g(х))2кfх≥0. Алгоритм решения неравенства 2кf(х) > g (х) методом интервалов: 1) найти область определения функции у = 2кf(х) – g(х); 2) решить уравнение 2кf(х) = g (х); 3) отметить на координатной прямой область определения функции, корни уравнения (нули функции) и определить знак выражения 2кf(х) – g(х) на каждом из полученных интервалов. Для решения неравенства 2к+1f(х) < g (х) нужно обе части возвести в степень 2к + 1, при этом получится равносильное неравенство f(х) < (gх)2к+1. Примеры с решениями. 1. Решить неравенство 8х-3 >5. Решение: Так как обе части неравенства неотрицательны, то это неравенство равносильно неравенству 8х – 3 >25, или х >3,5. Ответ: (3,5; + ∞). 2. Решить неравенство 2-4х <3. Решение. Поскольку обе части неравенства неотрицательны и подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит, данное неравенство равносильно системе: 2-4х <9,2-4х ≥0, х > -1,75х ≤0,5. Ответ: (- 1,75; 0,5]. 3. Решить неравенство 5х+8 < 2-3х. Данное неравенство равносильно системе: 5х+8 <2-3х,5х+8 ≥0. х < -0,75,х ≥ -1,6. Ответ: [- 1,6; - 0,75). 4. Решить неравенство х²-5х+4 <х-3.х-3 >0х²-5х+4 <х-32,х²-5х+4 ≥0. решив систему неравенств, получим 4≤х <5.Ответ: 4;5. 5. Решить неравенство х²-х-2 >х-1. Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: х-1 <0,х²-х-2 ≥0 или х-1 ≥0,х²-х-2 >х-22. Решим первую систему х <1х ≤ -1х ≥2;, решим вторую систему х ≥1,х >2. тогда решение исходного неравенства: ( - ∞; -1] U 2; + ∞. Ответ: ( - ∞; -1] U 2; + ∞. 6. Решить неравенство (х+2)х²+4х+3х+4 ≥ 0. Решение. Решим данное неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию f(х) = (х+2)х²+4х+3х+4 . Найдём область определения функции х²+4х+3 ≥0,х+4 ≠0. D(f) = ( - ∞; -4) ∪( -4; -3] ∪ -1;+ ∞. Найдём нули функции: f(х) = 0 при х = - 3 и х = - 1. Далее имеем: х ∈ - ∞; -4∪ - 3 ∪ -1; + ∞.
- 4 -3 -1х Ответ: - ∞; -4∪ - 3 ∪ -1; + ∞. 7. Решите неравенство 2х-1 + х+3 <3. Решение. Решим данное неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию f(х) = 2х-1 + х+3 -3. D(f) = [ 12; +∞). Так как функция f(х) = 2х-1 + х+3 -3 является возрастающей на множестве [ 12; +∞), то уравнение f(х) = 0 имеет не более одного решения. Легко видеть, что х = 1 является корнем уравнения. Далее имеем: - + Ответ: [ 12; +∞). 0,51 8. Решить неравенство 3х²+5х+7 - 3х²+5х+2 >1. Решение. Пусть 3х² + 5х + 2 = у, у ≥0. Тогда у+5 - у ≥1, у+5 > 1 + у. Это неравенство равносильно системе: у+5 >1+у+2у у ≥0, 2 > уу ≥0, 0 ≤у <4. Теперь перейдём к системе: 3х²+5х+2 <43х²+5х+2 ≥0, - 2 <х < 13х ≤ -1х ≥ -23. Ответ: ( - 2; - 1) ∪ [ -23; ; 13).
Тренировочные упражнения. 1. Найдите число целых решений неравенства х-2 ≤3. 2. Найдите наибольшее целое решение неравенства 5-х >2. 3. Найдите количество целых чисел, которые не являются решением неравенства х²-6х+5 > -1. 4. Найдите сумму целых решений неравенства х+2 > 6-х. 5. Найдите количество целых решений неравенства х - 4х+3 <0. 6. Найдите сумму целых решений неравенства (х – 2)16-х² ≥0. 7. Найдите количество целых решений неравенства х+9 >х-3. 8. Решите неравенство хх-2 - 2хх-2 ≥ 3. 9. Найдите количество целых решений неравенства 2х+7 > х + 5-х . Тренировочный тест 1. 1. Найдите наименьшее решение неравенства х-5 ≥ - 2. 1) – 2. 2) 0. 3) 5. 4) другой ответ. 2. Найдите наименьшее решение неравенства х+5 ≥ 5. 1) – 5. 2) 0. 3) 5. 4) 5. 3. Найдите количество целых решений неравенства 12,5-х < 12,5. 1) 13. 2) 12. 3) 11. 4) другой ответ. 4. Найдите количество целых решений системы (х-1)² < 1. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. 5. Найдите наименьшее целое решение неравенства 12,5-х < 12,5 . 1) – 1; 2) -2; 3) 5; 4) 6. 6. Найдите сумму целых решений неравенства х-2 + 5-х ≥ -2 . 7. Найдите сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного решений неравенства (х² + 3х – 10)2х²+5х+2 ≥ 0. 8.